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第二章
数列单元测试卷一（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.（2018华南师大附中综合练习三）等差数列满足，，（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.B
【解析】设公差为，则，，所以
.故选B.
2.（2018福建泉州二模）已知是等比数列，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.C
【解析】设公比为，因为，，所以，所以
，故选C.
3.（2018辽宁实验中学第九次模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请计算此人第二天走的路程”.该问题的计算结果为（
）
A.
24里
B.
48里
C.
96里
D.
192里
【答案】.C
【解析】设第一天走了里，依题意有6天内每天走的路程成公比为的等比数列，所以，解得，所以第二天走的路程为里.故选C.
4.（2018江西重点中学下学期联考）在数列中，，，N则的值为（
）
A．
B．5
C．
D．
【答案】.B
【解析】，所以是周期数列，周期为，则.故选B.
5.（2018四川内江三模）已知等比数列的各项均为正数，若，则的最小值为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】.D
【解析】设公比为，由得，即，所以
，当且仅当时，等号成立.故选D.
6.（2018辽宁大连二十四中最后一卷）已知数列的前项和，若数列单调递减，则的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】.A
【解析】因为，所以，，所以为单调递减数列，所以，且.所以，
且，化简得且，所以，故选A.
7.（2018湖南衡阳一模）已知数列前项和为，若，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】.D
【解析】因为，整理得，等式两边同时除以得，又可得，所以数列可看作以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.所以.故选D.
8.（2018河北唐山二模）设是任意等差数列，它的前项和、前项和与前项和分别为、、，则下列等式中恒成立的是
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.D
【解析】设等差数列的前项的和为，则由等差数列的性质，可得，，，成等差数列，所以，解得，又因为
，把代入，得，故选D.
9.（2018江西高三质监）已知等比数列的首项，前项和为，若，则数列的最大项等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.D
【解析】由已知得，，
所以，由函数的图像得到，当时，数列的最大项等于15．故选D.
10.（2018安徽蚌埠三模）数列的前项和记为，N，，，，则
（
）
A．
B.
C.
D.
【答案】.A
【解析】因为，，N，，所以，，，，，…，所以数列是周期数列，周期为，因为，所以
.故选A.
11.（2018河北衡水中学第16次模拟）已知数列是各项为正数的等比数列，点、都在直线上，则数列的前项和为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.C
【解析】因为点、都在直线上，所以，可得，，可得，则公比，，所以，故选C.
12.（2018四川联测促改4月联考）已知等比数列中，，，且，则的取值范围是
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.D
【解析】设等比数列的公比为，则，解得，所以，
所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以．故的取值范围是．故选D．
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.（2018湖南湘潭四模）已知数列是公差为的等差数列，且，，则
.
【答案】.
【解析】依题意，，则，
所以，所以，
所以
，又，所以，故.
14.（2018广东东莞第三次调研）已知等比数列的各项均为正数，且，则
.
【答案】.
【解析】由得，，所以
.
15.（2018河南郑州三模）设有四个数的数列，，，，前三个数构成一个等比数列，其和为，后三个数构成一个等差数列，其和为，其公差非零，对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于，则的取值范围是
.
【答案】.
【解析】依题意，得，，得，又，
所以，即.因为对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于，所以，得.又检验知时不符合题意.所以，的取值范围是的取值范围是.
16.（2018湖北黄冈等八市3月联考）
已知数列首项，函数有唯一零点，则数列的前项的和___
_．
【答案】.
【解析】由，得
，所以为偶函数，且存在唯一零点，所以，所以，，，有，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以数列的前项的和为
①，②，两式相减，得
，所以.
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.（2018安徽黄山一模）已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列
的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．
……………………………1分
由，，得，解得．……………………………3分
所以．
……………………………4分
由，，得，又，解得．
所以．
……………………………5分
（2）因为，
……………………………7分
所以，，……………………………9分
所以．……………………………12分
18.（2018安徽安庆二模）已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，N，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.
【解析】（1）设数列的公差为，则，N，……………1分
由，，成等比数列，
得，即，……………………………3分
解得（舍去）或.
所以数列的通项公式为，N.
……………………………5分
（2）因为，…………………7分
所以
.
……………………………10分
由即，得，
所以使成立的最大的正整数.
……………………………12分
19.（2018山东潍坊一模）公差不为的等差数列的前项和为，已知，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
【解析】（1）设的公差为，由题意可知，，………………2分
即，解得，，
所以.
…………………………………………………5分
（2）令，则
，……………………………6分
所以，
……………………………7分
两式相减得，
…………………………………………………………10分
所以.
………………………………………………………12分
20.（2018广东广州一模）已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
【解析】（1）因为数列是首项为1，公差为2的等差数列．
所以，
……………………………2分
所以.
……………………………3分
当时，，
……………………………4分
当时，，………………5分
而时，也满足上式，
所以数列的通项公式为.
……………………………6分
（2）当时，，所以，……………………………7分
当时，由，……………………………8分
有.……………………………9分
两式相减，得，……………………………10分
因为，所以时也符合公式.
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
……………………………12分
21.（2018广东东莞二模）已知等比数列与等差数列，，，，，成等差数列，，，成等比数列.
（1）求，的通项公式；
（2）设、分别是数列，的前项和，若，求的最小值.
【解析】（1）设数列的公比为，数列的公差为，则
，解得（舍去）或，
所以，.
（2）由（1）易知，，
由，得，
因为是单调递增数列，
且，，
所以的最小值为.
22.（2018广西桂林、百色、崇左三模）记公差的等差数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试问：在数列中是否存在三项，，，，，N恰好成等比数列？若存在，求此三项；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由，，得.…2分
所以，……………………………3分
.……………………………5分
（2）假设存在三项，，成等比数列，则，………………………6分
即有，
整理得，
若，则，
………………………………………………8分
因为，，，N，
所以是有理数，
这与是无理数矛盾.
……………………………………………………10分
若，则，从而，这与矛盾.
………………11分
综上可知，不存在满足题意的三项，，.
……………………………………12分
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数列单元测试卷一（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.（2018华南师大附中综合练习三）等差数列满足，，（
）
A.
B.
C.
D.
2.（2018福建泉州二模）已知是等比数列，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.（2018辽宁实验中学第九次模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请计算此人第二天走的路程”.该问题的计算结果为（
）
A.
24里
B.
48里
C.
96里
D.
192里
4.（2018江西重点中学下学期联考）在数列中，，，N则的值为（
）
A．
B．5
C．
D．
5.（2018四川内江三模）已知等比数列的各项均为正数，若，则的最小值为
（
）
A．
B．
C．
D．
6.（2018辽宁大连二十四中最后一卷）已知数列的前项和，若数列单调递减，则的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
7.（2018湖南衡阳一模）已知数列前项和为，若，则
（
）
A．
B．
C．
D．
8.（2018河北唐山二模）设是任意等差数列，它的前项和、前项和与前项和分别为、、，则下列等式中恒成立的是
（
）
A.
B.
C.
D.
9.（2018江西高三质监）已知等比数列的首项，前项和为，若，则数列的最大项等于（
）
A.
B.
C.
D.
10.（2018安徽蚌埠三模）数列的前项和记为，N，，，，则
（
）
A．
B.
C.
D.
11.（2018河北衡水中学第16次模拟）已知数列是各项为正数的等比数列，点、都在直线上，则数列的前项和为（
）
A.
B.
C.
D.
12.（2018四川联测促改4月联考）已知等比数列中，，，且，则的取值范围是
（
）
A.
B.
C.
D.
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.（2018湖南湘潭四模）已知数列是公差为的等差数列，且，，则
.
14.（2018广东东莞第三次调研）已知等比数列的各项均为正数，且，则
.
15.（2018河南郑州三模）设有四个数的数列，，，，前三个数构成一个等比数列，其和为，后三个数构成一个等差数列，其和为，其公差非零，对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于，则的取值范围是
.
16.（2018湖北黄冈等八市3月联考）
已知数列首项，函数有唯一零点，则数列的前项的和___
_．
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.（2018安徽黄山一模）已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列
的前项和.
18.（2018安徽安庆二模）已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，N，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.
19.（2018山东潍坊一模）公差不为的等差数列的前项和为，已知，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
20.（2018广东广州一模）已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
21.（2018广东东莞二模）已知等比数列与等差数列，，，，，成等差数列，，，成等比数列.
（1）求，的通项公式；
（2）设、分别是数列，的前项和，若，求的最小值.
22.（2018广西桂林、百色、崇左三模）记公差的等差数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试问：在数列中是否存在三项，，，，，N恰好成等比数列？若存在，求此三项；若不存在，请说明理由.
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