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第二章
数列单元测试一（基础版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．记复数的共轭复数为，若（i虚数单位），则（
）
A．
B．1
C．
D．2
3．等差数列中，,，则数列的公差为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．在等差数列中，已知，则该数列前11项和（
）
A．58
B．88
C．143
D．176
5．设为等差数列，公差,为其前n项和，若，则（
）
A．18
B．20
C．22
D．24
6．已知为等差数列，其公差为2，且是与的等比中项，为的前项和，，则
的值为（
）
A．－110
B．－90
C．90
D．110
7．数列满足，则的前60项和为（
）
A．3690
B．3660
C．1845
D．1830
8．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（
）
A．16
B．8
C．4
D．2
9．在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于（
）
A．66
B．132
C．66
D．
32
10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比
例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得,,,个单位,递减的比例为,
今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为
石,则“衰分比”与的值分别为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2019·辽宁高一期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（
）
A.8岁
B.11岁
C.20岁
D.35岁
12．（2019·上海曹杨二中高一期末）已知等差数列的公差，若的前项之和大于前项之和，则（
）
A．
B．
C．
D．
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则___________.
14．若数列{}的前n项和为＝，则数列{}的通项公式是=______．
15．已知数列中，，，，则________
16．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成
一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为
．
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.
记Sn为等差数列的前n项和，已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的n的取值范围．
17．记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
18．设数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
19．已知数列和满足，，，，
．
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）记数列的前项和为，求．
20．已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和．
21．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列的公差是1，且，，
成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和．
22．已知数列满足：，，数列中，，且，，
成等比数列.
求证：数列是等差数列；
（II）若是数列的前项和，求数列的前项和.
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第二章
数列单元测试一（基础版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵∴，∴，
又，∴.故选A．
【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
2．记复数的共轭复数为，若（i虚数单位），则（
）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】由，可得，所以，，故选A．
3．等差数列中，,，则数列的公差为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】．B
【解析】由题意有,,又∵，∴，∴．
4．在等差数列中，已知，则该数列前11项和（
）
A．58
B．88
C．143
D．176
【答案】．B
【解析】，而，故选B.
5．设为等差数列，公差,为其前n项和，若，则（
）
A．18
B．20
C．22
D．24
【答案】．B
【解析】由，得，．
6．已知为等差数列，其公差为2，且是与的等比中项，为的前项和，，则
的值为（
）
A．－110
B．－90
C．90
D．110
【答案】．D
【解析】因为是与的等比中项，所以，又数列的公差为-2，所
，解得，故，
所以．
7．数列满足，则的前60项和为（
）
A．3690
B．3660
C．1845
D．1830
【答案】．D
【解析】【法1】有题设知
=1，①
=3
②
=5
③
=7，=9，
=11，=13，=15，=17，=19，，
……
∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，
∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，
∴{}的前60项和为=1830.
【法2】可证明：
【法3】不妨设，得，，所以当n为奇数时，，当n为偶数时，构成以为首项，以4为公差的等差数列，所以得
8．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（
）
A．16
B．8
C．4
D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.
9．在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于（
）
A．66
B．132
C．66
D．
32
【答案】D
【解析】因为，是方程的两根，
所以，
又，所以，
，故选D.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.
10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分
比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得,,,个单位,递减的比例为,今共有粮
石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的
值分别为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设“衰分比”为,甲衰分得石,
由题意得,解得,,．故选A．
【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用．
11．（2019·辽宁高一期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（
）
A.8岁
B.11岁
C.20岁
D.35岁
【答案】B
【解析】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为，则，解得．
故选B．
12．（2019·上海曹杨二中高一期末）已知等差数列的公差，若的前项之和大于前项之和，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设等差数列的前项和为，由，
得，可得，
故选：C.
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则___________.
【答案】．100
【解析】．
在等差数列中，由，，得，
所以，则．
14．若数列{}的前n项和为＝，则数列{}的通项公式是=______．
【答案】．=.
【解析】当=1时，==，解得=1，
当≥2时，==－()=，即=，
∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.
15．已知数列中，，，，则________
【答案】
【解析】因为，
所以数列是等差数列，
因为，，
所以公差.
所以，
所以.
故答案为：299
16．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成
一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为
．
【答案】．27
【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列
中，前面有16个
正奇数，即，．当时，，不符合题意；当时，，
不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题
意；……；当时，=
441
+62=
503<，不符合题意；当
时，=484
+62=546>=540，符合题意．故使得成立的的
最小值为27．
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.
记Sn为等差数列的前n项和，已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的n的取值范围．
【解析】（1）设的公差为d．由得．
由a3=4得．于是．
因此的通项公式为．
（2）由（1）得，故.
由知，故等价于，解得．
所以n的取值范围是．
17．记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【解析】(1)设的公差为，由题意得．
由得．所以的通项公式为．
(2)由(1)得．
所以当时，取得最小值，最小值为?16．
18．设数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）因为，故当时，
．
两式相减得．
所以．
又由题设可得．
从而的通项公式为
=.
（2）记的前项和为，
由（1）知．
则．
19．已知数列和满足，，，，
．
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）记数列的前项和为，求．
【解析】（Ⅰ）由，，得．
当时，故．
当时，整理得所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
故，
，
所以．
20．已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ）设数列的公比为q，数列的公差为d，由题意，由已知，有
消去d，整数得，又因为＞0，解得，所以的通项公式为，数列的通项公式为.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有
,设的前n项和为，则
，
，
两式相减得，
所以．
21．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列的公差是1，且，，
成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和．
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）因为是公差为1的等差数列，且，，成等比数列，
所以，即，解得.
所以.
（II），
，
两式相减得，
所以.
所以.
【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于常考题型．
22．已知数列满足：，，数列中，，且，，成
等比数列.
求证：数列是等差数列；
（II）若是数列的前项和，求数列的前项和.
【答案】（I）见解析；（II）.
【解析】（I），
∴数列是公差为1的等差数列；
（II）由题意可得，即，所以，所以，
∴，∴，
.
【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
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