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第三章
不等式单元测试卷二
（基础版）
一、选择题
：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若，满足约束条件，则的最大值为
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【解析】变量，满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示：
目标函数是斜率等于1、纵截距为的直线，
当直线经过可行域的点时，纵截距取得最小值，
则此时目标函数取得最大值，由可得，
目标函数的最大值为：5故选：C．
【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．
2．已知，满足条件，则目标函数从最小值变化到1时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图所示，所求面积即为图中红色阴影部分的面积e
故选A。
3．己知，点的坐标满足，则的最小值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】可行域如下图所示：
，
的最小值为点到可行域内点的距离的平方的最小值减
由图像可知，点到可行域的最短距离为其到直线的距离
本题正确选项：
4．设，满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数表示可行域内的点与点之间连线的斜率，
数形结合可知目标函数在点处取得最大值：，
目标函数在点处取得最小值：，
故目标函数的取值范围是.
故选B.
5．已知为等比数列,,,则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件可得的值，进而由和可得解.
【详解】
或.
由等比数列性质可知
或
故选D.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
6．设为坐标原点，第一象限内的点的坐标满足约束条件，
（,）.若的最大值为40，则的最小值为
A．
B．
C．1
D．4
【答案】B
【解析】
，∴设z=ax+by，则z的最大值为40．
作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）
由z=ax+by，得，由图象可知当直线，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大（∵b＞0），由，解得，
即A（8，10），代入z=ax+by，得40=8a+10b，即，
，
当且仅当，即4a2=25b2，2a=5b时取等号，∴5a+1b的最小值为，
本题选择B选项.
7．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分，两种情况，当，对恒成立，当时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立.
【详解】
当时，原不等式可化为，对恒成立；
当时，原不等式恒成立，需，
解得，
综上.故选B.
【点睛】
本题主要考查了分类讨论思想，二次不等式恒成立的条件，属于中档题.
8．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，画出的图像如下图所示，由图可知，解得.
9．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x,y满足+x+y=，设△ABC、
△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S、S、S、S，记,,,
则·取最大值时，3x+y的值为(
)
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【解析】
由条件可知，，那么
，等号成立的条件为
，说明点P在线段EF的中点处，此时，
，所有x=y=，3x+y=2，故选D.
10．（2020·北京牛栏山一中高三）设且，“不等式”成立的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．且
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】求解不等式，根据不等式的解集，即可求得必要条件.
【详解】不等式，可整理得，解得且.故当是且的必要不充分条件；而其它选项都不满足必要性.故选：A.
【点睛】本题考查分式不等式的求解，以及命题的必要条件的求解，属综合基础题.
11．（2020·河北正定中学高三）现有一组数据如茎叶图所示，若平均数为，且方差达到最小，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】由平均为115得到，写出方差的表达式，求出使方差最小时满足的关系，从而求得的值.
【详解】数据的平均数为，，要使方差最小，则，
当且仅当，即时取等号，此时方差最小，.
【点睛】本题考查对茎叶图、平均数和方差的概念，考查逻数据处理能力，求解时注意基本不等式的运用.
12．（2020·安徽高三）已知满足约束条件，若目标函数的最大值为1（其中），则的最小值为（
）
A．3
B．1
C．2
D．
【答案】D
【解析】
【分析】画出可行域，根据目标函数的最大值求得的关系式，再利用基本不等式求得的最小值.
【详解】画出可行域如下图所示，由于，所以基准直线的斜率为负数，故目标函数在点处取得最大值，即，所以.
，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：D
【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
填空题
共4小题，
13.若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：基本法：作出可行域，如图：
由z＝x＋y得y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点
A时，z取得最大值，zmax＝1＋＝.
速解法：由得点(－2，－1)，则z＝－3
由得点(0,1)，则z＝1
由得点则z＝.
答案：
14．（2020·广东高三，角的对边分别为，，，且为锐角，则面积的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由，，利用正弦定理求得.，再由余弦定理可得，利用基本不等式可得，从而利用三角形面积公式可得结果.
【详解】因为，又，所以，又为锐角，可得.
因为，所以，
当且仅当时等号成立，即，
即当时，面积的最大值为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题.
对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
15．若两个正实数x,y满足，且恒成立，则实数m的最大值是
______.
【答案】8
【解析】
由题意可得：
当且仅当时等号成立。
要使恒成立,则16?m2?6m，解得?2?m?8，
则实数m的最大值是8.
故答案为：8.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．
16．若函数，若对任意不同的实数??，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
将恒成立问题转化为最值问题，可得“最小值的两倍要大于它的最大值”，结合基本不等式，可得结果.
【详解】
对任何的，恒成立，
即最小值的两倍要大于它的最大值，则
，
当，即时，，
由基本不等式得，
根据上面的分析，则有，
解得，即；
当，即时，，
由基本不等式得，
根据上面的分析，则有，
解得，即.
综上所述.
故答案为：
【点睛】
本题重在于考查使用基本不等式求函数的最值，考验对问题的分析能力与理解能力，同时掌握等价转换的思想，化繁为简，属难题.
三、解答题
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．设．
1若对任意恒成立，求实数m的取值范围；
2讨论关于x的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
1由题意，若对任意恒成立，
即为对恒成立，
即有的最小值，由，可得时，取得最小值2，
可得；
2当，即时，的解集为R；
当，即或时，方程的两根为，，
可得的解集为．
【点睛】
本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及一元二次不等式的解法，注意运用转化思想和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．
18．已知不等式的解集为.
（1）若，求集合；
（2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时，不等式化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解；
（2）把不等式化为，分类讨论，结合集合的包含关系，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当时，不等式，即，
即，解得，所以集合.
（2）由，可得，
当时，不等式的解集为.
由集合是集合的真子集可得，所以，
当时，不等式的解集为满足题意；
当时，不等式的解集为，
由集合是集合的真子集，可得，所以，
综上可得：，即实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的求解及其应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，结合集合的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试
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不等式单元测试卷二（基础版）
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若，满足约束条件，则的最大值为
A．
B．
C．5
D．6
2．已知，满足条件，则目标函数从最小值变化到1时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
3．己知，点的坐标满足，则的最小值为（
）．
A．
B．
C．
D．
4．设，满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知为等比数列,,,则（
）
A．
B．
C．
D．
6．设为坐标原点，第一象限内的点的坐标满足约束条件，
（,）.若的最大值为40，则的最小值为
A．
B．
C．1
D．4
7．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
8．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x,y满足+x+y=，设△ABC、
△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S、S、S、S，记,,,
则·取最大值时，3x+y的值为(
)
A．
B．
C．1
D．2
10．（2020·北京牛栏山一中高三）设且，“不等式”成立的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．且
C．
D．
11．（2020·河北正定中学高三）现有一组数据如茎叶图所示，若平均数为，且方差达到最小，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·安徽高三）已知满足约束条件，若目标函数的最大值为1（其中），则的最小值为（
）
A．3
B．1
C．2
D．
填空题
共4小题。
13.若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
14．（2020·广东高三，角的对边分别为，，，且为锐角，则面积的最大值为________.
15．若两个正实数x,y满足，且恒成立，则实数m的最大值是
______.
16．若函数，若对任意不同的实数??，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．设．
1若对任意恒成立，求实数m的取值范围；
2讨论关于x的不等式的解集．
18．已知不等式的解集为.
（1）若，求集合；
（2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围.
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