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第三章
不等式单元测试卷二（基础版）
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．如果，那么下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
∵，∴，，，，故选D。
2．若满足约束条件，则的最小值为（
）
A．-17
B．-13
C．
D．20
【答案】B
【解析】满足约束条件，由此可得可行域如下图所示:
该可行域是一个以，，为顶点的三角形区域（包括边界）.
目标函数可化为
当动直线过点时，取得最小值，
此时，故选B。
3．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】如图，作直线，当直线上移与圆相切时，取最大值，
此时，圆心到直线的距离等于1，即，
解得的最大值为：，
当下移与圆相切时，取最小值，
同理，即的最小值为：，
所以．
，故选C，
4．已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：
目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，
当位于时，此时的斜率最小，此时．故选B．
【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
5．设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等
式的概率为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】画出所表示的区域如图中阴影部分所示，易知，
所以的面积为，
满足不等式的点，在区域内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为，
由几何概型的公式可得其概率为，故选A.
【名师点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.
6．若正数满足，则的最小值为
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【解析】由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A.
【名师点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.已知，则取到最小值时，
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由，可得，且.
所以，
当且时等号成立，解得.
所以取到最小值时.故选D.
8．（2020·西藏山南二中高三）若，且，则的最小值是（
）
A．10
B．4
C．8
D．6
【答案】C
【解析】
【分析】利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.
【详解】因为（即
取等号），所以最小值为.
【点睛】已知，求解（
）的最小值的处理方法：利用
，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.
9.设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（
）
（A）
（B）6
（C）10
（D）17
【答案】B
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.
填空题
共4小题
10．已知实数，满足，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：
其中，，
又，可知的几何意义为可行域中的点到直线距离的倍
可行域中点到直线距离最大的点为.
，故填.
【名师点睛】本题考查利用线性规划求解最值的问题，关键是能够明确目标函数所表示的几何意义，利用数形结合来进行求解．
11．已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为__________．
【答案】1
【解析】设等比数列公比为，则首项
由得：，
则：
，
，
，
，.
则（当且仅当，即时取等号）
.
故填.
【名师点睛】本题考查基本不等式求解和最小值的问题，关键是能够根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列基本量得到满足的等式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.
12．若实数满足不等式组，则的最大值为__________.
【答案】2
【解析】实数满足不等式组，对应的可行域，如图所示：
，表示：定点P(0，-1)与动点Q（x，y）所确定直线的斜率，最大值点C(1，1)，所以的最大值为2。
13．若实数满足，且，则的最大值为______.
【答案】
【解析】实数x、y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则xy＝2，
则，
当且仅当x﹣y，即x﹣y＝2时取等号
故的最大值为，
故答案为．
三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
14.正数满足,则的最小值为
．
【错解】因为,所以,故,
即的最小值为8.
【正解】
当且仅当时取等号.
【点评】尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致．
15．
求函数的值域．
请说出下面错解的原因．
【错解】,当且仅当即时取等号．∴当时,y的最小值为25,此函数没有最大值．
16.
当时,求的最小值．
17.求的最小值．
[]
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不等式单元测试卷二（基础版）
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．如果，那么下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若满足约束条件，则的最小值为（
）
A．-17
B．-13
C．
D．20
3．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是
A．，
B．，
C．，
D．，
4．已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为
A．
B．
C．
D．
5．设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等
式的概率为
A．
B．
C．
D．
6．若正数满足，则的最小值为
A．
B．
C．
D．3
7.已知，则取到最小值时，
A．
B．
C．
D．
8．（2020·西藏山南二中高三）若，且，则的最小值是（
）
A．10
B．4
C．8
D．6
9.设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（
）
（A）
（B）6
（C）10
（D）17
填空题
10．已知实数，满足，则的最大值是__________．
11．已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为__________．
12．若实数满足不等式组，则的最大值为__________.
13．若实数满足，且，则的最大值为______.
三、解答题
14.正数满足,则的最小值为
．
15．
求函数的值域．
16.
当时,求的最小值．
17.求的最小值．
[]
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