苏科版（九上） 第2章 对称图形——圆有关的知识点 学案

圆
圆的定义：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
注意：圆的的位置由圆心决定，圆的大小由圆的半径决定。
圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。
图文：
点和圆的位置关系:
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dd=r点P在⊙O上；
d>r点P在⊙O外。
图文：
点P在圆O内 d＜r 点P在圆O上 d=r 点P在圆O外 d>r

圆的有关概念：
同心圆：圆心相同，半径不相等的圆;
等 圆：能够互相重合的圆叫等圆;（或者半径相等的圆）；
弦： 连接圆上任意两点的线段 ；
直 径：过圆心且的端点在圆上的线段叫直径。（或者过圆心的弦）；
弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示；
优 弧：大于半圆的弧；
劣 弧：小于半圆的弧；
圆心角：顶点在圆心的角；
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角；
弓 形：由弦及其所对的弧组成的图形；
弦心距：从圆心到弦的距离；
注意：1、同圆或等圆的半径都相等，或者半径相等的圆叫等圆或同圆；
直径是最长的弦，直径是弦，但是弦不一定直径；
弧可以分为优弧、劣弧和半圆；优弧大于劣弧；
半圆是弧，但是弧不一定是半圆；
能够互相重合的弧叫等弧，若只是说度数或长度相等都不叫等弧；
圆周角必须要强调角的两边与圆有交点，而圆心角不需要；
图文：
同心圆 等圆 弦：弦CD，弦AB 圆周角：∠BAC
直径：AB圆O的直径 圆心角：∠BOC
优弧：
劣弧：
弦心距：OE
圆的对称性
圆的对称性：
一个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与自身重合。圆是旋转对称图形;
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；
3、圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦和弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距，若有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等（由一推三）。
注意：比较这四组量，必须放到同圆或等圆中，才能是一一对应的关系；
圆心角的度数与她所对的弧的度数相等的；比如说30°的圆心角对应
30°的弧；
图文说明：
在同圆或等圆中：
圆心角∠AOB所对的弦AB,弧，弦心距OE。
圆心角∠DOC所对的弦CD,弧，弦心距OF
若其中一个量相等，则剩下的量分别对应相等；
如∠AOB=∠DOC，则AB=CD，=，OE=OF;
弧的度数：10°的圆心角所对的弧的度数为10°
n°的圆心角所对的弧的度数为n°
垂径定理及其推论：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
注意：垂直于的弦的直径平分弦、平分于弦的直径垂直弦(后者的弦不能为直径);总结： (1) 简单的理解成，对于任意一个圆，有一条直线。若这条直线满足：
①过圆心②垂直弦③平分弦
④平分弦所对的劣弧⑤平分弦 所对的优弧弧：
只要满足其中任意的两个条件，那么它也会满足剩下的三个条件；
(2)在垂直定理中，常涉及弦长a、弦心距d.半径R及弓形高h (弦所
对的弧的中心到弦中心的距离)，这四者之间的关系，如图：
，；
(3)在同圆中，團的两条平行线所夹的弧相等，如图，若AB//CD.则
=
图文解释：
若一条直线过圆心，垂直于弦， AB=a 若AB∥CD,则=
那么这条直线就平分弦，平分弦 证明：如图由垂径定理得：
所对的劣弧和优弧； ∠AOE=∠BOE ∠COF=∠DOF
（即由①②推出③④⑤） 所以，∠AOC-∠BOB，
若以其中任意两个作为条件，那么 即=
就会直接推出剩下的三个； （同圆中相等的圆心角所对的弧相等）
（即由二推三）
确定圆的条件
确定圆的条件：
经过一点可以作无数个圆；
过两个定点可以作无数个圆；
不在同一条直线的三个点确定一个圆。
三角形的外接圆：
定义：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。
注意：1、三角形的外心到三角形的三个顶点相等，对于三角形来说，圆叫
做三角形的外接圆，对于圆来说，三角形叫做圆的内接三角形.
2、任意一个三角形都有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形.
3、锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点,
钝角三角形的外心在三角形的外部。
三角形外接圆的作法：
作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
以该交点为圆心，以交点到三个顶的中任意一点的距离为半径作圆。
注意：我们可以以此方法确定任意一个圆或一段圆弧的所在的圆心。
（在圆上或圆弧上任意画两条弦，分别做这两条弦的垂直平分线，交点就是圆心）
图文：
△ABC外接圆的做法： 确定圆弧所在圆的圆心的方法：

圆O是△ABC外接圆的圆心。
圆周角
定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半，
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧
是等弧；（简称：“等弧对等角，等角对等弧”）
推论2：半圆或直径所对的圆周角是90°；圆周角是90°所对的弧是半圆，所对的弦是直径。（简称：“直径对直角，直角对直径”见直径找直角）
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
注意：（1）圆周角就是具有公共端点的两条弦所夹的角；
（2）同一条弧所对的圆周角有无数个。
（3）一条弧只对应一个圆周角，而一条弦对应两个圆周角，是互补关系。
图文说明：
所对的圆周角有、、、，它们都相等。
（同弧所对的圆周角相等）
弦BC所对的圆周角有两个，分别为、，且它们是互补的关系。
特殊的当BC为直径时
圆的的内接四边形：
定义：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
图文说明：
如图圆的内接四边形ABCD，
对角互补 ∠A+∠DCB=180°，或∠B+∠D=180°
外角等于内对角∠DCE=∠A,
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系：
相交：直线与圆有两个公共点时；
相切：直线与圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做圆的切点；
相离：直线与圆没有公共点时。
总结：如果⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d，那么：
直线L与⊙O相交 d＜r 两个交点；
直线L与⊙O相切 d=r 一个交点；
直线L与⊙O相离 d＞r 无交点；
图文说明：
d＜r 直线L与圆O相交 d=r 直线L与圆O相切 d＞r 直线L与圆O相离
圆的切线：
定义：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
图文说明：
性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上定理及推论也称二推一定理：
①过圆心；②过切点；③垂直切线。只要满足其中的两个条件，就可以推出剩下的一个条件。
圆的切线判定方法：
（1）如果已知直线上有一个点在圆上，连接圆心和圆上这个点，得到半径，再证这个半径与这条直线垂直。
（简称：“连半径，证垂直”）
（2）如果已知直线不确定是否与圆有交点，则过圆心作这条直线的垂线，得到垂线段，再证这条垂线段与半径相等。
（简称：“作垂直，证半径”）
总结：有交点连半径，无交点作垂直。
图文说明：
连半径，证垂直: 作垂直，证半径：
点A是直线L上的一点，证明L是 不确定直线L与圆O是否有交
圆O的切线，连接OA，OA=r,如果 点，可过点O作直线L的垂线，
判断出OA⊥L，可证明L是圆O的切线。 与直线L交于点A，如果判断出
OA=r，可证明L是圆O的切线。
切线长和切线长定理：
定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。（区别于切线，切线是直线，切线长是线段）
定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆外的这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
图文说明：
图一 图二
如图一：PA是圆o的切线长。
如图二：PA和PB是圆O的两条切线长，且由切线长定理，可得PA=PB。
可通过△PA0≌△PBO证明
三角形的内切圆：
定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫做三角形的内心
注意：1、三角形的内心到三角形的三条边距离相等，对于三角形来说，圆叫
做三角形的内切圆，对于圆来说，三角形叫做圆的外切三角形.
2、任意一个三角形都有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形.
3、锐角、钝角、直角三角形的内心都在三角形的内部；
三角形内切圆的作法：
1、作三角形任意两个角的平分线，确定其交点；
2、过该交点分别作三角形三边的垂线；
3、以该交点为圆心，交点到任意一边的距离为半径作圆。
图文：
圆O是△ABC内切圆的圆心

关三角形内切圆半径的计算：
在△ABC，AC=b ,BC=a, AB=c,三角形的面积为:，内切圆半径为：
（1）一般三角形的内切圆的半径：=
（2）若∠C=90°则三角形内切圆的半径：r=== ；
（3）S△ABC== 其中：。
正多边形与圆
正多边形：
定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正多边形和圆的关系：
只要把一个圆分成n（n≥3）等分，依次连接各个点就能得到这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆。
正多边形的概念：
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心：
正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径：
正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形各边的距离：
（注：边心距也叫正多边形内切圆的半径）
正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角。
有关正多边形的计算：
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形；
正n边形的中心角为：；
如果一个正多边形的半径为R，边长为a，则边心距r为：。
图文说明：

正三角形 正四边形 正六边形


正多边形的对称性 ：
正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。如果n为偶数，那么它又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心。
弧长与扇形的面积
弧长公式：
n°的圆心角所对的弧长：
注意：式子中、，是变量，知道了任意的两个量，就可以求出第三个量。
图文：
扇形面积公式：
（是n°的圆心角所对的弧长，是扇形的半径）
注意：扇形的计算公式有两个，做题时要灵活运用，已知圆心角和扇形的半径用公式：，已知扇形的弧长和扇形的半径用公式：。
图文：
扇形的侧面积公式：
（是圆锥母线长，是圆锥底面圆的半径。）
注意：(1)从圆锥到扇形要注意两个对应：
1、圆锥的母线即侧面展开后所得扇形的半径；
2、圆锥底面圆的周长即侧面展开后所得扇形的弧长；
(2)若已知圆锥的高，底面圆的半径，则母线长=
(3)圆锥的全(表）面积为圆锥的侧面积+圆锥的底面积，即：
=+.
图文：
圆的知识点补充
圆和圆的位置关系：
相离：如果两个圆没有公共点，分外离和内含两种；
相切：如果两个圆只有一个公共点，分为外切和内切两种；
相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
圆心距：
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
圆和圆位置关系的判定：
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么：
两圆外离d>R+r 图一
两圆外切d=R+r 图二
两圆相交R-r两圆内切d=R-r（R>r） 图四
两圆内含dr） 图五
注意：若两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；
若两圆相交，两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦（两圆公共弦定理）。
图文说明：



两圆公共弦定理：
两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
图文说明：
定理：OO垂直平分AB（AB为两圆的公共弦）
圆的公切线：
和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。
_?¤??????????_；两个圆在公切线的_?????§_；
_????????????_：两个圆在公切线的_?????§_；
两圆公切线长的计算公式：
图文说明：
内共切线： 外共切线：

圆幂定理：
（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
图文：
定理：弦切角等于弦所对的圆周角，
如图∠DEB为弦切角，弦AE所对的圆周角为∠A,
则有弦切角的定理得∠DEB=∠A

（2）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
图文：
定理：PA·PB=PC·PD
由△ACP∽△DBP可证明

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交
点的两条线段长的比例中项。
图文：
定理：PB?=PC·PD
由△PCB∽△PBD可证明
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
图文：
定理：PA·PB=PC·PD
由△PAC∽△PDB可证明

米勒定理：（求最大视角问题）
已知，点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，点C是OM边上的一动点，当△ABC的外接圆与ON相切时，此时点C为切点，∠ACB最大。
证明：在OM上任意取一点C’连接BE
∵∠AEB＞∠AC’B(三角形外角性质)
∠AEB=∠ACB (同弧所对的圆周角相等)
∴∠ACB＞∠AC’B
圆有关的判断
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心：√
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴：√
半径相等的圆是等圆：√
能够重合的圆叫等圆：√
过圆心的线段是直径：×（线段的端点在圆上）
在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合：√
三点确定一个圆：×（三点不共线）
平分弦的直径垂直于这条弦：×（这条弦不能为直径）
垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧：√
连接圆上任意两点的线段叫弦：√
弦是直径：×（过圆心的弦）
直径是弦：√
和半径垂直的直线是圆的切线：×（经过半径的外端）
半圆是弧：√
弧是半圆：×（弧可分为优弧、劣弧和半圆）
小于半圆的弧是优弧：×（小于半圆的弧是劣弧）
弧分为优弧和劣弧：×（还有半圆。就像角可分为锐角、钝角和直角）
半径相等的两个半圆是等弧：√
度数相等的弧叫等弧：×（还要考虑半径，在同圆或等圆当才成立。）
长度相等的弧是等弧：×（同上）
能够互相重合的弧是等弧：√
优弧大于劣弧：√
一条弦所对的两条弧，不是优弧就是劣弧：×（这条弦有可能是直径）
一个三角形只有一个外接圆：√
三角形的内心到三角形的三个顶点相等：×（内心是三角形三边的距离相等。）
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点：√
三角形的内心是三角形三个角的平分线的交点：√
三角形的内心不在三角形的内部：×（三角形内心是角平分的交点，肯定在内部。）
直角三角形的外心是其斜边的中点：√
等弧所对的圆心角相等：√（等弧已经说明了在同圆和等圆当中了。）
相等的圆心角所对的弧相等：×（没有说明在同圆或等圆当中。）
相等的弦所对的弧相等：×（同上）
在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等：√
顶点在圆心的角是圆心角：√
顶点在圆周上的角是圆周角：×（且角的两边与圆相交。）
直径所对的圆周角是直角；√
在圆的内部的四边形是圆的内接四边形：×（四边形四个顶点在圆上）
四个顶点在圆上的是圆是圆的内接四边形；√
圆内接四边形对角相等；×（对角互补）
圆的内接四边形一个外角等于与它相邻的内对角；√