13.3.2 等边三角形课时达标（含答案）

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13.3.2等边三角形课时达标
一、选择题
1、如图，已知P、Q是△ABC的BC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠BAC的大小为
（??
）
A．120°????????
B．110°??????
C．100°??????
D．90°
?
2、等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为
(??
　)
A．30°　　????
B．40°????
　
C．50°　　　　
D．60°
3、如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（
　　）
A．等腰三角形?????
B．等边三角形?
C．不等边三角形???
D．不能确定形状
4、在下列结论中：
（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是(????
)
A．4个?
B．3个?
C．2个?
D．1个
5、如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE等于（???
）
A.1m?????
B.2m??
C.3m?????
D.4m
?
6、△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC是等边三角形；②一个底角为60°的等腰三角形是等边三角形；③顶角为60°的等腰三角形是等边三角形;④有两个角都是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（??
?
）
A．1个???
????
B．2个???
?????
C．3个???
????
D．4个
7、如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是(????
)
①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．
A．1个?
B．2个?
C．3个?
D．4个
8、如图，△ABC中，AB=AC，△DEF是△ABC的内接正三角形，则下列关系式成立的是（　　）
A．2∠1=∠2+∠3
B．2∠2=∠1+∠3
C．2∠3=∠1+∠2
D．∠1+∠2+∠3=90°
二、填空题
9、已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则△P1OP2是______
三角形.
10、如图，将边长为5
cm的等边△ABC，沿BC向右平移3
cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是
__三角形，DM＝
cm.
11、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，则BD的长为
．
12、等腰三角形的底角为15°，腰长是2
cm，则腰上的高为
．
三、解答题
13、如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.
(1)求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数．
14、如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．
（1）若∠1＝50°，求∠2；（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．
15、如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．
16、如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；（2）若CD=2cm，求DF的长．
17、）如图，点E在AD上，△ABC和△BDE都是等边三角形．猜想：BD、CD、AD三条线段之间的关系，并说明理由．
18、如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；（2）求∠DAF的度数．
?
19、如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1.
(1)求证：BE＝AD；(2)求AD的长．
参考答案
一、选择题
1、A
2、D
3、B．解：∵△ABC为等边三角形
∴AB＝AC
∵∠1＝∠2，BE＝CD
∴△ABE≌△ACD
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD＝60°
∴△ADE是等边三角形．
4、D【考点】等边三角形的判定．
【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．
【解答】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．
（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．
（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．
（4）若每一个角各取一个外角，则所有内角相等，即三角形是等边三角形；若一个顶点取2个的话，就不成立，该结论错误．
故选D．
【点评】此题利用等边三角形的定义和性质考查学生对等边三角形的判断能力．考查到的知识点有：外角和内角互补；等腰三角形底边的中线也是它的高．
5、B?
6、D
7、D【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有，AD=CD，∠ADB=∠CDB=90°（①正确），且∠ABD=∠CBD=30°（②正确），∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，可得∠CDE=∠DEC=30°，所以就有，∠CBD=∠DEC，即DB=DE（③正确），∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°（④正确）；由此得出答案解决问题．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，
∴∠ADB=∠CDB=90°，BD平分∠ABC；
∴BD⊥AC；
∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，
又CD=CE，
∴∠CDE=∠DEC=30°，
∴∠CBD=∠DEC，
∴DB=DE．
∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°
所以这四项都是正确的．
故选：D．
【点评】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．
8、A【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可知∠A+2∠B=180°，由△DEF是等边三角形可知∠AEF=120°﹣∠2，∠BFD=120°﹣∠3，由三角形内角和定理可知∠A+∠AFD+∠3=180°，∠B+∠1+∠BDE=180°，再把所得式子联立即可求出∠1、∠2、∠3的关系．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A+2∠B=180°①，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠AFD=120°﹣∠2，∠BDE=120°﹣∠3，
在△ADF中，∠A+∠AFD+∠3=180°，即∠A+120°﹣∠2+∠3=180°②，
在△BDE中，∠B+∠1+∠BDE=180°，即∠B+∠2+120°﹣∠3=180°③，
①②③联立，解得∠1=．
则2∠1=∠2+∠3．
故选：A．
【点评】本题考查的是等边三角形及等腰三角形的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
二、填空题
9、等边三角形
10、等边
3
11、6
12、1cm
三、解答题
13、解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABE＋∠EBC＝60°.
∵△BEF是等边三角形，
∴EB＝FB，∠CBF＋∠EBC＝60°.
∴∠ABE＝∠CBF.
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF(SAS)．∴AE＝CF.
(2)∵等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°.
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝30°.
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝30°＋60°＝90°.
14、解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，
∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）连接DF，
∵DF∥BC，
∴∠FDE＝∠DEB，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，
∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，
∴∠1＝∠3．
15、解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
16、解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
17、【解答】解：BD+CD=AD；
∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB=AC，EB=DB=ED，∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠ABC﹣∠EBC=∠EBD﹣∠EBC，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴DC=AE，
∵AD=AE+ED，
∴AD=BD+CD．
18、（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
，
又∵AE=BD
???????????
???????????
（2）解由（1）△AEC≌△BDA，得∠ACE=∠BAD??????????????
19解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC.
又∵AE＝CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)．
∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD.
(2)∵∠BPQ＝∠BAP＋∠ABE＝∠BAP＋∠PAE＝∠BAC＝60°，
又∵BQ⊥PQ，∴∠PBQ＝30°.
∴PB＝2PQ＝6.
∴BE＝PB＋PE＝7.
∴AD＝BE＝7.
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