13.4 最短路径课时达标（含答案）
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13.4最短路径课时达标
一、选择题
1、如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（ ）
A．BC＞PC+AP???
B．BC＜PC+AP????
C．BC=PC+AP?????
D．BC≥PC+AP
2、已知：如图，点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是(????
)
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BC
C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
3、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（ ）
A．AC?????????
B．AD???????????C．BE?????????
D．BC
4、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
5、如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短可为（??
）
A.
12cm???????
B.
10cm??
?????
C.
7cm????????
D.
5cm
6、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）
A．（0，0）??
B．（0，1）??
C．（0，2）??
D．（0，3）
二、填空题
7、如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由 ?????????????
．
8、点P是直线L外一点，点A，B，C，D是直线L上的点，连接PA，PB，PC，PD．其中只有PA与L垂直，若PA=7，PB=8，PC=10，PD=14，则点P到直线L的距离是__________．
9、如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为__________．
如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10
cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为_________
11、如图，已知点P是∠AOB内一点，点P关于直线OA的对称点是点E，点P关于直线OB的对称点是点F，连接线段EF分别交OA、OB于点C、D，连接线段PC、PD．如果△PCD的周长是10cm，那么线段EF的长度是 ___cm．
12、如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=120°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是 ????
．
三、解答题
13、如图，政府决定实施“引河入村”的工程，需将河水经A村引入B村，要使修渠路线最短，水泵站的位置P应建在河边的什么地方，并画出水渠的修建路线．
14、如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
（1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；
（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积=??????????????
．
?
作图题：（写出作法，保留作图痕迹）
M、N为△ABC为AB、AC上的两个定点，请你在BC边上找一点P，使APMN周长最小?
16、如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小．
如图，已知点A、点B以及直线l，
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
(2)
在(1)中所作的图中,若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP=∠NPB
参考答案
一、选择题
1、C【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
∵BC=PC+BP，
∴BC=PC+AP．
B
3、C
【解析】如图，连接PB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
故选C．
4、B【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：B．
5、B
6、D【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．
【分析】根据轴对称作最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．
【解答】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE=4，
则B′E=4，即B′E=AE，
∵C′O∥AE，
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故选：D．
二、填空题
7、垂线段最短
8、7．
【解析】∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，点P到直线L的距离=PA，
即点P到直线L的距离=7，故答案为：7．
9、6．
10、5cm．
12、120度
三、解答题
13、【考点】作图—应用与设计作图；垂线段最短．
【分析】作AP⊥直线l于P，连接AB，P就是所求的水泵站的位置．
【解答】解：作AP⊥直线l于P，连接AB，如图，P就是所求的水泵站的位置；
依据是垂线段最短和两点之间线段最短．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，垂线段最短、两点之间线段最短是本题的关键．
14、解：（1）作图正确，并标出l；??
??
（2）正确标出点P位置；
（3）
3??
?
四、作图题
15、作图题
???
作法：（1）作M关于BC的对称点M’
???
（2）连结M’N交BC于P点???
???
（3）连线MP，则△PMN周长最小??
P为所求作的点．
16、【考点】作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出△A1B1C1即可；
（2）连接A1C交直线DE于点Q，则点Q即为所求点．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）连接CA1，交直线DE于点Q，则点Q即为所求点．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
17、解：（1）如图??
??????
?
(2）在△AMP和△BNP中
???
?????????????????????????????????
??
∴△AMP≌△PNB?
∴∠MAP=∠NPB
?
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13.4最短路径课时达标
一、选择题
1、如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（ ）
A．BC＞PC+AP???
B．BC＜PC+AP????
C．BC=PC+AP?????
D．BC≥PC+AP
2、已知：如图，点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是(????
)
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BC
C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
3、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（ ）
A．AC?????????
B．AD???????????C．BE?????????
D．BC
4、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
5、如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短可为（??
）
A.
12cm???????
B.
10cm??
?????
C.
7cm????????
D.
5cm
6、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）
A．（0，0）??
B．（0，1）??
C．（0，2）??
D．（0，3）
二、填空题
7、如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由 ?????????????
．
8、点P是直线L外一点，点A，B，C，D是直线L上的点，连接PA，PB，PC，PD．其中只有PA与L垂直，若PA=7，PB=8，PC=10，PD=14，则点P到直线L的距离是__________．
9、如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为__________．
如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10
cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为_________
11、如图，已知点P是∠AOB内一点，点P关于直线OA的对称点是点E，点P关于直线OB的对称点是点F，连接线段EF分别交OA、OB于点C、D，连接线段PC、PD．如果△PCD的周长是10cm，那么线段EF的长度是 ___cm．
12、如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=120°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是 ????
．
三、解答题
13、如图，政府决定实施“引河入村”的工程，需将河水经A村引入B村，要使修渠路线最短，水泵站的位置P应建在河边的什么地方，并画出水渠的修建路线．
14、如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
（1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；
（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积=??????????????
．
?
作图题：（写出作法，保留作图痕迹）
M、N为△ABC为AB、AC上的两个定点，请你在BC边上找一点P，使APMN周长最小?
16、如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小．
如图，已知点A、点B以及直线l，
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
(2)
在(1)中所作的图中,若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP=∠NPB
参考答案
一、选择题
1、C【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
∵BC=PC+BP，
∴BC=PC+AP．
B
3、C
【解析】如图，连接PB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
故选C．
4、B【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：B．
5、B
6、D【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．
【分析】根据轴对称作最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．
【解答】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE=4，
则B′E=4，即B′E=AE，
∵C′O∥AE，
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故选：D．
二、填空题
7、垂线段最短
8、7．
【解析】∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，点P到直线L的距离=PA，
即点P到直线L的距离=7，故答案为：7．
9、6．
10、5cm．
12、120度
三、解答题
13、【考点】作图—应用与设计作图；垂线段最短．
【分析】作AP⊥直线l于P，连接AB，P就是所求的水泵站的位置．
【解答】解：作AP⊥直线l于P，连接AB，如图，P就是所求的水泵站的位置；
依据是垂线段最短和两点之间线段最短．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，垂线段最短、两点之间线段最短是本题的关键．
14、解：（1）作图正确，并标出l；??
??
（2）正确标出点P位置；
（3）
3??
?
四、作图题
15、作图题
???
作法：（1）作M关于BC的对称点M’
???
（2）连结M’N交BC于P点???
???
（3）连线MP，则△PMN周长最小??
P为所求作的点．
16、【考点】作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出△A1B1C1即可；
（2）连接A1C交直线DE于点Q，则点Q即为所求点．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）连接CA1，交直线DE于点Q，则点Q即为所求点．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
17、解：（1）如图??
??????
?
(2）在△AMP和△BNP中
???
?????????????????????????????????
??
∴△AMP≌△PNB?
∴∠MAP=∠NPB
?
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