24．4．1
弧长及扇形面积
姓
名：
班级：
组别：
评定等级
【自主学习】
（一）复习巩固：
1．圆与圆的五种位置关系：
、
、
、
、
.
2.已知两圆的半径分别3cm和2cm，若两圆没有公共点，则圆心距d的取值范围为（
）
A.
d＞5或d＜1
B.
d＞5
C.
d＜1
D.1＜d＜5
（二）新知导学
1.弧长计算公式
在半径为R的圆中，n0的圆心角所对的弧长l的计算公式为：
l=
2.扇形面积计算公式
①定义：
叫做扇形.
②在半径为R的圆中，圆心角为n0的扇形面积的计算公式为：
S扇形=
由弧长l=
和S扇形=
可得扇形面积计算的另一个公式为：S扇形=
【合作探究】
已知：扇形的弧长为cm，面积为
cm2
，求扇形弧所对的圆心角．
【自我检测】
1.如果以扇形的半径为直径作一个圆，这个圆的面积恰好与已知扇形的面积相等，则已知扇形的中心角为（
）
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
2.如果圆柱底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆柱的侧面积为（
）
A.24πcm2
B.36πcm2
C.12πcm2
D.48πcm2
3.圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则圆锥侧面展开图的面积是（
）
A.
πcm2
B.30πcm2
C.24πcm2
D.15πcm2
4.如果正四边形的边心距为2，那么这个正四边形的外接圆的半径等于（
）
A.2
B.4
C.
D.
5.圆的外切正六边形边长与它的内接正六边形边长的比为（
）
A.:3
B.
2:3
C.3:3
D.:2
6.圆的半径为3cm，圆内接正三角形一边所对的弧长为（
）
A.2πcm或4πcm
B.2πcm
C.4πcm
D.6πcm
7.在半径为12cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（
）
A.24πcm
B.12πcm
C.10πcm
D.5πcm
8.如图，
设AB=1cm，，则长为（
）
A.
B.
C.
D.
9.圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中，扇形的圆心角是（
）
A.144°
B.150°
C.288°
D.120°
10.如图，已知菱形ABCD中，AC，BD交于O点，AC＝cm，BD=2cm，分别以
A，C为圆心，OA长为半径作弧，交菱形四边于E，F，G，H四点．求阴影部分的面积．
PAGE
124.3
正多边形和圆
教学内容
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．
3．正多边形的画法．
教学目标
了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容．
重难点、关键
1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
教学过程
一、复习引入
请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫正多边形？
2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？
老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．
二、探索新知
如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上．
因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
我们以圆内接正六边形为例证明．
如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．
∵AB=BC=CD=DE=EF
∴AB=BC=CD=DE=EF
又∴∠A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC
∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD
∴∠A=∠B
同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A
又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上
∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．
为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．
外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．
解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．
因此，所求的正六边形的周长为6a
在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a
利用勾股定理，可得边心距
OM==a
∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=a2
现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．
例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．
分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径．
解：正五边形的中心角∠AOB==72°，
如图，∠AOC=30°，OA=AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm）
画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；
（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA．
（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA．
则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．
三、巩固练习
教材P115
练习1、2、3
P116
探究题、练习．
四、应用拓展
例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．
（1）求△ABC的边AB上的高h．
（2）设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．
分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题．
解：（1）由AB·CG=AC·BC得h==4.8
（2）∵h=且DN=x
∴NF=
则S四边形DEFN=x·（4.8-x）=-x2+10x
=-（x2-x）
=-
[（x-）2-]
=-（x-2.4）2+12
∵-（x-2.4）2≤0
∴-（x-2.4）2+12≤12
且当x=2.4时，取等号
∴当x=2.4时，SDEFN最大．
（3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．
∴BE==1.8
∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．
∵当x=2.4时，DE=5
∴AD=3.2，
由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:
此时，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．
五、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系．
3．画正多边形的方法．
4．运用以上的知识解决实际问题．
六、布置作业
1．教材P117
复习巩固1
综合运用5、7
P118
8．
2．选用课时作业设计．
课时作业设计
一、选择题
1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（
）．
A．60°
B．45°
C．30°
D．22．5°
(1)
(2)
(3)
2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（
）．
A．36°
B．60°
C．72°
D．108°
3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（
）
A．18°
B．36°
C．72°
D．144°
二、填空题
1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．
2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．
3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．
三、综合提高题
1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．
2．如图所示，已知⊙O的周长等于6cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．
3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．
（1）求证：四边形CDEM是菱形；
（2）设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长．
答案:
一、1．C
2．C
3．D
二、1．a2
2．
3．r
3r
60°
三、1．设BC与⊙O切于M，连结OM、OB，
则OM⊥BC于M，OM=a，
连OE，作OE⊥EF于N，则OE=OM=a，∠EOM=45°，OE=a，
∵EN=a，EF=2EN=a，∴S正方形=a2．
2．设正六边形边长为a，则圆O半径为a，
由题意得：2a=6，∴a=3．
如右图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心，
过O作OD⊥AB，垂足为D，
则OD=r6，则∠DOA==30°，AD=AB=，
在Rt△ABC中，OD=r6=cm，
∴S=6·ar6=×3××6=cm2．
3．略24．1.1
圆
学习目标：
1．
了解圆的定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关圆的概念．
2．
从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，探索圆的有关概念．
重点、难点
1、
重点：圆的相关概念
2、
难点：理解圆的相关概念
导学过程：阅读教材P78
—
80
,
完成课前预习
【课前预习】
1：知识准备
（1）举出生活中的圆的例子．
（2）圆既是
对称图形，
又是
对称图形。
（3）圆的周长公式C=
圆的面积公式S=
2：探究
（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转
，另一个端点所形成的图形叫做
．固定的端点O叫做
，线段OA叫做
．以点O为圆心的圆，记作“
”，读作“
”
决定圆的位置，
决定圆的大小。
圆的定义：到
的距离等于
的点的集合．
（2）弦：连接圆上任意两点的
叫做弦
直径：经过圆心的
叫做直径
（3）弧：
任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧
半圆：圆的任意一条
的两个端点把圆分成两条弧，每一条
都叫做半圆
优弧：
半圆的弧叫做优弧。用
个点表示，如图中
叫做优弧
劣弧：
半圆的弧叫做劣弧。用
个点表示，如图中
叫做劣弧
等圆：能够
的两个圆叫做等圆
等弧：能够
的弧叫做等弧
【课堂活动】
活动1：预习反馈
活动2：典型例题
例1
如果四边形ABCD是矩形，它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪里？
例2
已知：如图，在⊙中，AB，CD为直径
求证：
活动3：随堂训练
1、
如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由。
2、
你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以很清楚的看出树木生长的年轮。把树木的年轮看成是圆形的，如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm，这棵红杉树的半径平均每年增加多少?
活动4：课堂小结
圆的相关概念：
【课后巩固】
一．选择题：
1．以点为圆心作圆，可以作（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个
2．确定一个圆的条件为（
）
A．圆心
B．半径
C．圆心和半径
D．以上都不对.
3．如图，是⊙的直径，是⊙的弦，、的延长线交于点，已知，若为直角三角形，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
二．解答题：
5．如图，、为⊙的半径，、为、上两点，且
求证：
6．如图，四边形是正方形，对角线、交于点.
求证：点、、、在以为圆心的圆上.
7．如图，在矩形中，点、、、分别为、、、的中点.
求证：点、、、四点在同一个圆上.
PAGE
124．4．2
圆锥的侧面积和全面积
姓
名：
班级：
组别：
评定等级
【自主学习】
（一）复习巩固：
1.弧长的计算公式：
.
2．扇形面积的计算公式：
.
3．已知扇形的面积为4cm2，弧长为4cm，求扇形的半径.
（二）新知导学
1．圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是一个
.圆锥的母线就是扇形的
.
圆锥底面圆的周长就是扇形的
.
2．如果圆锥的母线长为l，底面的半径为r，那么
S侧=
，S全=
.
【合作探究】
1．已知圆锥的母线长6
cm；底面半径为
3
cm，求圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
2．已知：一个圆锥的侧面展开图是圆心角为36°的扇形，扇形面积为10
cm2．求这圆锥的表面积．
【自我检测】
1．已知圆锥的高为，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（
）
A．π
B．2π
C．π
D．6π
2．圆锥的高为3cm
,
母线长为5cm
,
则它的表面积是（
）cm2．
A．20p
B．36p
C．16p
D．28p
3．已知圆锥的底面半径为3
,
母线长为12
,
那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为（
）
A．180°
B．120°
C．90°
D．135°
4．如果圆锥的高与底面直径相等
,
则底面面积与侧面积之比为（
）
A．1∶
B．2∶
C．∶
D．2∶3
5．边长为a的等边三角形
,
绕它一边上的高所在直线旋转180°
,
所得几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．π
6．若底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°,则这个圆锥的高是（
）cm．
A．8
B．
C．6
D．4
7．在一个边长为4cm正方形里作一个扇形(如图所示)
,
再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面
,
则这个圆锥的高为（
）cm．
A．
B．
C．
D．
8．用圆心角为120°
,
半径为6cm的扇形围成圆锥的侧面
,
则这个圆锥的高为（
）
A．4
B．4
C．2
D．3
9．△ABC中
,
AB=6cm
,
∠A=30°
,
∠B=15°
,
则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的表面积为（
）cm2．
A．（18+9）π
B．18+9
C．（36+18）π
D．36+18
10．圆锥的母线长为10cm
,
底面半径为3cm
,
那么圆锥的侧面积为（
）cm2．
A．30
B．30p
C．60p
D．15p
11．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4
m，母线长3
m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（
）
A．6
m2
B．6πm2
C．12
m2
D．12πm2
12．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为（
）
A．a
B．
C．
D．
13．一个圆锥的高为cm，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是（
）
A．200πcm2
B．300πcm2
C．400πcm2
D．360πcm2
14．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2，母线长为50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为（
）
A．80cm
B．100cm
C．40cm
D．5cm
15．已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是60πcm2，则这个圆锥的底面半径是
cm．
16．已知圆锥的底面半径是2cm，母线长是5cm，则它的侧面积是
．
17．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积
PAGE
124.1
圆的有关性质
24.1.1
圆
学习目标
1.
从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．
重点难点
圆的有关概念
教
学
过
程
课堂随笔
【新课导入】感知圆的世界：圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象【学习新知】圆的形成：如图，观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？（教师演示）圆的定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心线段OA叫做半径以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．介绍历史：我国古人很早对圆就有这样的认识了，战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径．〖学生探索〗从画圆的过程可以看出（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r
的点组成的图形．圆的两种定义：动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r
的点组成的图形．〖老师深化〗思考：（1）车轮为什么是圆的？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．（2）与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，直径：经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作
，读作“圆弧AB”或“弧AB”．半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的
）叫做优弧.劣弧：小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧；〖例题讲解〗例1．.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由
首先确定圆心,
然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆.
例2．
你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚的看出树木生长的年龄,如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径每年增加多少?.例3：如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧.
【达标训练】1．判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧
(6)直径是最长的弦；
(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;
(8)半径相等的两个圆是等圆.
2．小明和小强为了探究
中有没有最长的弦，经过了大量的测量，最后得出一致结论，直径是圆中最长的弦，你认为他们的结论对吗？试说说你的理由.
教 后札 记24.4.1
弧长和扇形面积
教学目标
知识技能
掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算.
数学思考
通过弧长和扇形面积公式的推导过程，发展学生分析问题、解决问题的能力.
解决问题
通过扇形面积公式的推导，发展学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力．
情感态度
在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想．
重点
弧长,扇形面积公式的导出及应用．
难点
对图形的分析
24.4
弧长和扇形面积公式
弧长公式：
例题分析扇形面积公式：
问题与情境
师生行为
设计意图
活动一：创设情境，引入课题制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”（图1中虚线的长度），再下料，这就涉及到计算弧长的问题．活动二：思考：试一试问题1：你还记得圆周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角呢？
设：圆的半径为，求的圆心角所对的弧长.问题2：你还记得圆面积的计算公式吗？圆面积可以看作多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？的圆心角呢？设：已知⊙O半径为，求的圆心角所对的扇形面积.
教师提出问题后，学生认真思考，说明解题的关键是求中心线“展直长度”，但如何求呢？从而引出今天的课题：弧长和扇形面积．
教师根据学生已有的知识结构，强调弧、扇形的有关概念．
教师引导学生由圆周长入手，推导弧长公式．
教师提出问题后，学生认真思考，由中等学生回答：圆周长为，可看作是360°的圆心角所对的弧长；1°的圆心角所对的弧长为；圆心角为n°的弧长是圆心角为1°的弧长的n倍；∴的圆心角所对的弧长为.
∴弧长公式为：
注：不写度，和180表示的是倍、分关系.
教师关注学生对公式的理解程度.教师引导学生类比弧长公式的推导过程，推导出扇形面积公式：（1）圆面积S=πR2，可以看作是360°的圆心角所对的扇形面积；
由实际问题引出课题，可激发学生的学习兴趣．
在教师的引导下，推出弧长公式，使学生明确公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，更要学会学习新知识的方法．
教会学生用类比的方法研究问题．
问题与情境
师生行为
设计意图
比较扇形面积公式和弧长公式，看看它们之间有什么关系？活动三：解决问题
对于本节开头提出的问题，你能解答吗？活动四：比一比，看谁算得快？练习：1.半径为4，80°的圆心角所对的弧长为
；2.扇形的弧长为，半径为3，则其面积为
；3.扇形的半径为24，面积为240，则这个扇形的圆心角为
；活动五：例题分析
如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.012m）
（2）圆心角为1°的扇形的面积=．（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；∴扇形面积公式为.
经过观察，学生能够看出：，其中，是扇形的弧长，为半径．
学生观察本节开头提出的问题，根据图1中所给的数据，由弧长公式，就可以得出的长：
因此所要求的展直长度2×700+1570=2970∴所要求的展直长度约为2970mm.
教师提出问题后，学生认真思考，独立完成，看谁最先做好．
教师出示例题后，引导学生分析已知条件，教师要关注学生对题目中的有关概念是否清楚，如水面高指的是什么？
类比的推出扇形面积公式，并由学生比较两个公式的联系，使学生在学习知识时，明确知识之间的联系，在解题时，根据题目条件，选择适当的公式．
数学知识来源于生活实际，又用来解决实际中的问题，强化数学的应用意识．迅速、正确的运用所学公式解题，培养学生良好的学习习惯，训练学生的解题速度．培养学生综合运用知识解题的能力．
问题与情境
师生行为
设计意图
活动六：理一理
学生小结
教师归纳
布置作业：A组：P122页练习：1，2，P124页习题24.4：1.（1）、（2），2，6，7．B组：
P122页练习：1，2，P124页习题24.4：2，3，5，6．
经过分析，学生知道了水面高即弧的中点到弦AB的距离．
因此想到做辅助线的方法：连接OA、AB，过O作OC⊥AB于点D，交于点C．
教师关注学生对题目的理解，师生共同分析题目条件后，由学生独立写出解题过程，用实物投影展示学生的解题过程，再由学生对解题过程给予评价．
由学生谈谈本节课学习的体会和收获，各抒己见．教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确．
知识：弧长公式；
扇形面积公式：．
能力：灵活运用公式解决实际问题．
数学思想：数形结合思想．
学生课下独立完成．教师对学生的作业在批改后及时反馈．B组补充作业：已知：如图，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积．
学生在学习新知识的同时要想到学过的知识，在这里就运用了垂径定理．巩固所学知识，达到复习的目的，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，对教学进度和方法进行适当调整，并对有困难的学生给予指导。发展学生的解决实际问题的能力和应用意识.初步探索建立数学模型.让学生畅所欲言，教师了解学生的学习情况，并让学生逐渐的学会总结。检查知识的落实性，以便发现问题和及时解决问题。继续培养学生的探究意识和学习上持之以恒的精神.
教学过程设计
教学过程设计
图1
教学过程设计
课后反思
板书设计
教学任务分析24．3
正多边形和圆
姓
名：
班级：
组别：
评定等级
【自主学习】
（一）复习巩固
1.
等边三角形的边、角各有什么性质？
2.
正方形的边、角各有什么性质？
（二）新知导学
1.各边
，各角
的多边形是正多边形.
2.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做
，外接圆的半径叫做
，内切圆的半径做
．
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都
．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做
．正n边形的每个中心角都等于
．
3.
正多边形都是
对称图形，正n边形有
条对称轴；正
数边形是中心对称图形，对称中心就是正多边形的
，正
数边形既是中心对称图形，又是轴对称图形.
【合作探究】
1.问题：用直尺和圆规作出正方形，正六边形.
【自我检测】
1．正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
2．正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
3．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
4．正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
5．已知三角形的两边长分别是方程
的两根，第三边的长是方程
的根，求这个三角形的周长.
6．如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．求证：OP∥CB；
PAGE
124．2.2
直线和圆的位置关系
姓
名：
班级：
组别：
评定等级
【自主学习】
（一）复习巩固：
1．直线与圆的三种位置关系.
2.
如图，已知AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，AC＝10，BC＝6，求AB和CD的长.
（二）新知导学
1．切线的判定定理：经过半径的
并且
这条半径的直线是圆的切线.
2．切线的性质定理：圆的切线
于经过切点的
.
3．与三角形各边都
的圆叫做三角形的
圆，
圆的
叫做三角形的
，这个三角形叫做圆的
三角形.
4.切线长：
切线长定理及推论
【合作探究】
1.如图，AB、CD分别与半圆O切于点A、D，BC切⊙O于点E，若AB＝4，CD＝9，求⊙O的半径.
【自我检测】
1.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论错误的是（ ）
A.
∠1=∠2
B.PA＝PB
C.AB⊥OP
D.PC=OC
2.如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B＝500，∠C＝600，连结OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于（ ）
A.450
B.550
C.650
D.700
3.边长分别为3、4、5的三角形的内切圆与外接圆半径之比为（ ）
A.1:5
B.2:5
C.3:5
D.4:5
4.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B.
如果OP＝4，，那么∠AOB等于（
）
A.
90°
B.
100°
C.
110°
D.
120°
5.如图，已知⊙O过边长为2的正方形ABCD的顶点A、B，且与CD边相切，则圆的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．1
6.如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝900，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径等于（ ）
A.
B.
C.
D.
7.
直角三角形有两条边是2，则其内切圆的半径是__________.
8.
正三角形的内切圆半径等于外接圆半径的__________倍.
9.如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，
∠BAC＝200，则∠P的大小是___度.
10.等边三角形ABC的内切圆面积为9π，则△ABC的周长为_________.
11.已知三角形的三边分别为3、4、5，则这个三角形的内切圆半径是
.
12.等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10
cm，求它的内切圆的半径.
第5题图
第9题图
第6题图
第4题图
第2题图
第1题图
PAGE
224.1.4
圆周角
第2课时
圆内接四边形的性质及圆周角定理的综合运用
学习要求
1．理解圆周角的概念．
2．掌握圆周角定理及其推论．
3．理解圆内接四边形的性质，探究四点不共圆的性质．
课堂学习检测
一、基础知识填空
1．_________在圆上，并且角的两边都_________的角叫做圆周角．
2．在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_________圆心角的_________．
3．在同圆或等圆中，____________所对的圆周角____________．
4．_________所对的圆周角是直角．90°的圆周角______是直径．
5．如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．
6．如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，∠FAE=______，∠DAB=______，∠EFA=______．
7．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是上一点，则∠BPC=______；若M是上一点，则∠BMC=______．
5题图
6题图
7题图
二、选择题
8．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于(
)．
A．80°
B．100°
C．130°
D．140°
9．在圆中，弦AB，CD相交于E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于(
)．
A．13°
B．79°
C．38.5°
D．101°
10．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于(
)．
A．64°
B．48°
C．32°
D．76°
11．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于(
)．
A．37°
B．74°
C．54°
D．64°
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于(
)．
A．69°
B．42°
C．48°
D．38°
13．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于(
)．
A．70°
B．90°
C．110°
D．120°
10题图
11题图
12题图
13题图
综合、运用、诊断
14．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．
15．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．
16．已知：如图，△ABC内接于圆，AD⊥BC于D，弦BH⊥AC于E，交AD于F．
求证：FE=EH．
17．已知：如图，⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC．求AC的长．
拓广、探究、思考
18．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．
求证：∠MAO=∠MAD．
19．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M．
求证：∠AMD=∠FMC．
PAGE
124.1.4
圆周角
圆内接四边形的性质及圆周角定理的综合运用
教学目标
知 识和能 力
过 程和方 法
1、通过观察、比较，分析了解并证明圆内接四边形对角，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.2、通过观察图形，提高学生的识图能力．3、通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力．
情 感态 度价值观
在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．
教学重点
圆内接四边形对角互补的探索与运用.
教学难点
论证圆内接四边形对角互补．
教
学
设
计
设计意图
一、复习引入，激发学生兴趣.（1）问题：你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？（P87练习2）
方法：
①利用对称性，两次对折纸片找到直径的交点；②利用“90度的圆周角所对的弦是直径”找到两条直径的交点。（2）练习：如图，BD是⊙O的直径，∠ABC=130°则∠ADC=
°二、探究圆内接四边形的性质，培养学生的探究精神.1、圆内接多边形和多边形内接圆的概念，介绍圆内接四边形2、如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形，那么其相对的两个内角之间有什么关系？（观察复习2，写出你的猜想）3、证明你的发现.
解：发现：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
理由如下：连接OB,OD
在⊙O中，∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为
BAD，
又∵BCD与BCD所对的圆心角的度数之和为360°，∴∠A+∠C=360°=180°.同理：∠B+∠D=180°.
4、得出结论：圆内接四边形对角互补.5、几何语言：∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°三、应用举例：例1、若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列选项可能成立的是（
）
A.∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=1﹕2﹕3﹕4
B.∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=2﹕1﹕3﹕4
C.∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=3﹕2﹕1﹕4
D.∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=4﹕3﹕2﹕1例2、如图，点C、D是⊙O上不与点A、B重合的两点，（1）若∠AOB=70°，则∠ACB=
°（2）若∠ACB=130°，求∠AOB的度数.（写出推理过程）练习：1、如图1，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=
°，∠B+∠ADC=
°，若∠B=80°，则∠ADC=
，∠CDE=
；2、如图2，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100°，则∠B=
，∠D=
；3、四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠C=1:3，则∠A=
；4、如图3，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠B=75°，则∠C=
°。（写出推理过程）四、归纳与小结1、圆内接多边形和多边形外接圆的概念。2、圆内接四边形的性质
复习圆周角定理及其推论推导论证圆内接四边形的对角互补运用圆内接四边形的对角互补进行计算
作业设计
必做
P88
2,5
O
B
A
D
C第2课时
圆锥的侧面积和全面积
教学内容
1．圆锥母线的概念．
2．圆锥侧面积的计算方法．
3．计算圆锥全面积的计算方法．
4．应用它们解决实际问题．
教学目标
了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题．
通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．
2．难点：探索两个公式的由来．
3．关键：你通过剪母线变成面的过程．
教具、学具准备
直尺、圆规、量角器、小黑板．
教学过程
一、复习引入
1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．
2．问题1：一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．
老师点评：（1）n°圆心角所对弧长：L=，S扇形=，公式中没有n°，而是n；弧长公式中是R，分母是180；而扇形面积公式中是R，分母是360，两者要记清，不能混淆．
（2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，圆柱的侧面积和底圆的面积．
这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，但圆锥的侧面积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它．
二、探索新知
我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
（学生分组讨论，提问二三位同学）
问题2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，如图24-115所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________．
老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S=，其中n可由2r=求得：n=，∴扇形面积S==rL；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=rL+r2．
例1．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）
分析：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积．
解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为Lcm，则
r=
L=≈22.03
S纸帽侧=rL≈×58×22.03=638.87（cm）
638.87×20=12777.4（cm2）
所以，至少需要12777.4cm2的纸．
例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
分析：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形．
解：（1）如图所示：
∵300=
∴R=30
∴弧长L==20（cm）
（2）如图所示：
∵20=20r
∴r=10，R=30
AD==20
∴S轴截面=×BC×AD
=×2×10×20=200（cm2）
因此，扇形的弧长是20cm卷成圆锥的轴截面是200cm2．
三、巩固练习
教材P124
练习1、2．
四、应用拓展
例3．如图所示，经过原点O（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）两点的曲线是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）.
（1）求出图中曲线的解析式；
（2）设抛物线与x轴的另外一个交点为C，以OC为直径作⊙M，如果抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交点为E，连结MD，已知点E的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积（用含m的代数式表示）．
（3）延长DM交⊙M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD=S△DON请求出此时点P的坐标．
解：（1）∵O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）在曲线y=ax2+bx+c（a≠0）上
∴
解得a=1，b=-4，c=0
∴图中曲线的解析式是y=x2-4x
（2）抛物线y=x2-4x与x轴的另一个交点坐标为c（4，0）,
连结EM，
∴⊙M的半径为2，即OM=DM=2
∵ED、EO都是⊙M的切线
∴EO=ED
∴△EOM≌△EDM
∴S四边形EOMD=2S△OME=2×OM·OE=2m
（3）设点D的坐标为（x0，y0）
∵S△DON=2S△DOM=2×OM×y0=2y0
∴S四边形ECMD=S△DON时即2m=2y0，m=y0
∵m=y0
∴ED∥x轴
又∵ED为切线
∴D（2，2）
∵点P在直线ED上，故设P（x，2）
∵P在圆中曲线y=x2-4x上
∴2=x2-4x
解得：x==2±
∴P1（2+，0），P2（2-，2）为所求．
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．什么叫圆锥的母线．
2．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题．
六、布置作业
1．教材P124
复习巩固4
P125
综合运用8
拓广探索9、10．
2．选用课时作业设计．
第二课时作业设计
一、选择题
1．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（
）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
2．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（
）
A．228°
B．144°
C．72°
D．36°
3．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（
）
A．6
B．
C．3
D．3
二、填空题
1．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______．
2．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积是__________（用含的代数式表示）
3．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡．
三、综合提高题
1．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：
（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）
（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少？
2．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积．
3．如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，求这个几何体的表面积．
答案:
一、1．D
2．C
3．C
二、1．r2+rL
2．1
30cm2
3．158.4
三、1．（1）2400cm2
（2）40cm
2．48cm2
3．S表=S柱侧+S柱底+S锥侧=2×3×4+×32+×3×5=24+9+15=48cm224.3
正多边形和圆
教学目标
1.
了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题。2.
通过正多边形与圆的关系的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移的能力。3.
通过探究正多边形在生活中的实际应用，增强对生活的热爱。重点：1.正多边形的有关概念，特殊正多边形的有关计算。2.掌握圆内接正多边形的半径、边心距、边长三者之间的联系。难点：1.正多边形的半径、中心角、边心距、边长之间关系的正确理解与计算。2.会作圆和正多边形的辅助性，构造直角三角形，运用勾股定理。课前准备师：多媒体课件、圆形纸片
生：直尺、圆规、圆形纸片
教学过程
一、复习回顾?，引入新课问题1：观察下面多边形，找出它们的边、角有什么特点？
（幻灯3）
问题2：观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出正多边形来吗?
（幻灯4）问题3：圆具有哪些对称性？（幻灯5）二、目标导学,探索新知
目标导学1：理解正多边形的定义（幻灯6~8）?问题1：??什么叫正多边形？?问题2：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？【教师强调】判断一个多边形是否是正多边形，必须同时具备两个必备条件：①各边相等；②各角相等。二者缺一不可。问题3：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
【教师强调】正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，且只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形。目标导学2：了解正多边形和圆的密切关系，借助圆可以画正多边形（幻灯9~11）问题1：怎样把一个圆进行四等分？问题2：依次连接各等分点，得到一个什么图形？归纳：像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆，这个正多边形也称为这个圆的内接正多边形。问题3：刚才把圆进行四等分，依次连接各等分点，得到一个正四边形；你可以从哪方面证明？练一练：把⊙O
进行
5
等分,依次连接各等分点得到五边形ABCDE
，:（1）填空。(2)你认为这个五边形ABCDE是正五边形，简单说说理由。目标导学3：正多边形的有关概念及性质（幻灯12~13）
问题1：类比圆的相关概念，观察下面的图，你能说出什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角吗？问题2：正多边形的内角、中心角、外角怎样计算？请完成下面填空：正多边形边数内角中心角外角346n问题3：正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？归纳：中心角=外角=。目标导学4：正多边形的有关计算
（幻灯14~17）填一填：如图、已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF，回答下面问题：
①它的中心角等于
度
；
②
OC
BC
(填＞、＜或＝）；③△OBC是什么三角形？④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的
倍？⑤圆内接正n边形面积公式：正n边形的面积=
。例1：（教材P106例）有一个亭子（如图）它的地基是半径为4
m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1m2）.
分析：由于亭子地基是正六边形，如图所示，所以它的中心角等于3600
÷6＝600
，△OBC是等边三角形，从而得到：正六边形的边长等于它的半径。
三、巩固训练，熟练技能
见幻灯18、19、20
四、归纳总结，板书设计（幻灯21）五、课后作业，目标检测见《学练优》本课时内容
【教学备注】【设计意图】让学生观察、归纳出正多边形的特点
【设计意图】意在暗含正多边形有一个辅助外接圆，为正多边形和圆有密切关系做好铺垫。【教学提示】可借助圆规，或提示学生通过折叠得出结果。【教学提示】从弧相等—弦相等—边相等；弧相等—圆周角相等—角相等，从而根据正多边形的定义得证。【教学提示】教师借助图形进行类比概念教学.【教学提示】正多边形的有关计算问题转化到以正多边形半径、边心距、弦的一半为边的直角三角形中去解决。【教学提示】关键是先算出各正多边形的中心角的一半，在直角三角形中去解决。这里的直角三角形都是含30°、45°60°的特殊角，可利用三边之比快速解决。当然也可以用勾股定理建立方程解决。
教学反思
可取之处：正多边形是一种特殊的多边形，在生产生活中应用广泛。本节课抓住正多边形的核心概念，从学生已有的知识出发，将圆的有关概念与正多边形诸多概念进行对比学习，学生易于理解和掌握，这样设计突出了知识间的联系，关注学生的最近发展区，知识不枯燥乏味并且突出重点。利用圆的垂径定理，将正多边形的半径、边心距、边长一半转化为直角三角形的有关计算问题，难点有效突破，充分体现了转化的数学思想。让学生感受转化思想的魅力，精心设计练习，具有针对性，并将知识点结合习题有效落实，最终掌握解题的方法和技巧，落实数学思想方法。不足之处：有的学生利用正多边形的定义去判定一个多边形是不是正多边形，只考虑其中一个必备条件；在正多边形的有关概念只去死记硬背，而不去结合图形记忆。
温馨提示：教案设计匹配课件，见光盘中精品教学课件
正多边形的定义与对称性
1正多边形的内角=
2中心角＝3600÷n
正多形的有
关概念及性质
正多边形
通常添加辅助线的方法为：连半径，作边心距
正多边形的
有关计算24.4.1
弧长和扇形面积
自主学习目标
了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式。
合作学习目标
合作探究目标
通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=和扇形面积S扇=的计算公式，并应用这些公式解决一些题目。
合作重点
n°的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=及其它们的应用。
合作难点
两个公式的应用。
合作关键
由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程。
教学流程
教学素材
教学环节
教师行为
学生活动
引入课题
前置诊断
口述
倾听
在田径二百米比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗?
创境引入
设置问题情境，启发引导
小组合作、交流。展示答案
展示目标
展示目标
口述
学生倾听
学习内容1
一、（1）半径为R的圆,周长是多少？（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？（3）1°圆心角所对弧长是多少？
(4)若设⊙O半径为R，
n°的圆心角所对的弧长为l，则
二、例1、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)三、1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧长为______
2.
已知一条弧的半径为9，弧长为8
，那么这条弧所对的圆心角为____。3.
钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是(
)
导学1
巡视
探讨、交流，
自主合作
巡视
自主独立完成
互动交流
指导学生评价
举手展示
巩固达标
巡视
独立练习
学习内容2
一、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．二、判断：三、（1）半径为R的圆,面积是多少？（2）圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？（3）1°圆心角所对扇形面积是多少？
（4）若设⊙O半径为R，
n°的圆心角所对的扇形面积为S，则
四、练习1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇形=_
.2、已知扇形面积为
，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=____．
3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为
，则这个扇形的面积，S扇形=——四、例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积。（精确到0.01m）。五、变式训练如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积。(结果保留
)
导学2
提问
自主合作
评价
自学
互动交流
巡视
巩固达标
巡视
举手展示
课堂小结
小结质疑
合作与交流
1、如图，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部分面积等于
2、（2009年长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为
（结果保留
）3.
已知等边三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以
为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积S.
巩固拓展
巡视
自主，小组交流
0
0
B
A
C
D24.4
弧长和扇形面积(第1课时)
教学内容
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．扇形的概念；
3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=；
4．应用以上内容解决一些具体题目．
教学目标
了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．
通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=和扇形面积S扇=的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．
重难点、关键
1．重点：n°的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=及其它们的应用．
2．难点：两个公式的应用．
3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．
教具、学具准备
小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．
教学过程
一、复习引入
（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．
1．圆的周长公式是什么？
2．圆的面积公式是什么？
3．什么叫弧长？
老师点评：（1）圆的周长C=2R
（2）圆的面积S图=R2
（3）弧长就是圆的一部分．
二、探索新知
（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：
1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．
2．1°的圆心角所对的弧长是_______．
3．2°的圆心角所对的弧长是_______．
4．4°的圆心角所对的弧长是_______．
……
5．n°的圆心角所对的弧长是_______．
（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：
n°的圆心角所对的弧长为
例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长（结果精确到0.1mm）
分析：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．
解：R=40mm，n=110
∴的长==≈76.8（mm）
因此，管道的展直长度约为76.8mm．
问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:
（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:
像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（小黑板），请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独立完成下题：
1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．
2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
……
5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
老师检察学生练习情况并点评
1．360
2．S扇形=R2
3．S扇形=R2
4．S扇形=
5．S扇形=
因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形
S扇形=
例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长（结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）
分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．
解：的长=×10=≈10.5
S扇形=×102=≈52.3
因此，的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm2．
三、巩固练习
课本P122练习．
四、应用拓展
例3．（1）操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）尝试与思考：如图a、b所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．
(a)
(b)
（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．
解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，
又∠MON=90°，∠AOM=∠DON
∴△AMO≌△DNO
∴AM=DN
∴AM+AN=DN+AN=AD=a
特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．
故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）120°；70°
（3）；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是．
五、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．扇形的概念．
3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=
4．运用以上内容，解决具体问题．
六、布置作业
1．教材P124
复习巩固1、2、3
P125
综合运用5、6、7．
2．选用课时作业设计．
第一课时作业设计
1、选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（
）．
A．3
B．4
C．5
D．6
2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（
）
A．1
B．
C．
D．
(1)
(2)
(3)
3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（
）
A．12m
B．18m
C．20m
D．24m
二、填空题
1．如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，
当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．
2．如图3所示，OA=30B，则的长是的长的_____倍．
三、综合提高题
1．已知如图所示，所在圆的半径为R，的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．
2．如图，若⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？
3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积．
答案:
一、1．B
2．D
3．D
二、1．45°
R
2．3
三、1．连结OD、O′C，则O′在OD上
由=R，解得：∠AOB=60°，
由Rt△OO′C解得⊙O′的半径r=R，所以⊙O′的周长为2r=R．
2．⊙O、⊙A、⊙B的周长分别为20cm，4cm，4cm，
可求出它的半径分别为10cm、2cm、2cm，
所以OA=8cm，OB=12cm，
因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，
所以⊙A滚动回原位置经过距离为2×8=16=4×4，
而⊙B滚动回原位置经过距离为2×12=24=4×6．
因此，与原题意相符．
3．设屏幕被着色面积为S，
则S=S△ABD+S扇形BDD`+S△BC`D`=S矩形ABCD+S扇形BDD`，
连结BD′，
在Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′=AD=，
∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°，
∴S=·22+1·=+．24．1．2
垂直于弦的直径
教学目标
1、知识目标：
（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：
让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动
手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：
通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时
培养学生勇于探索的精神。
教学重点
垂直于弦的直径的性质及其应用。
教学难点
1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
教学辅助
多媒体、可折叠的圆形纸板。
教学方法
本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计目的
情景创设
情景创设情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？把一些实际问题转化为数学问题
思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点？
从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。
回顾旧识
回顾旧识我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题1）什么是轴对称图形？2）我们学习过的轴对称图形有哪些？（电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）
学生观察一些图形：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。
引入新课
引入新课问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？
（2）如果是，它的对称轴是什么？拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？：（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无穷多条
实验：把圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次观察：两部分重合，发现得出圆的对称性的结论
培养学生的动手能力，观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题
揭示课题
揭示课题电脑上用几何画板上作图：（1）做一圆(2)
在圆上任意作一条弦
AB；(3)
过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。
（板书课题：垂直于弦的直径）
在圆形纸片上作一条弦AB，过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E
师生互动
师生互动运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论（1）图中圆可能会有哪些等量关系？（2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？
实验：将圆沿直径CD对折观察：图形重合部分，思考图中的等量关系猜想：
AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB(电脑显示))垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧？
引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质
拓展升华如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？（1）过圆心
（2）垂直于弦
（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
学生自主探证
通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标
归纳小结
归纳小结由学生小结，电脑显示知识总结：这节课我们主要学习了两个问题：一是圆的轴对称性（学生回答），它是理解和证明定理的关键；二是垂径定理（学生回答），它是这节课的重点要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，还推知它的里定理。另外它的其他推论级应用我们下节课探讨。讲评总结：1学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？2应用垂径定理如何添辅助线？垂径定理有哪些应用3这节课的学习你有什么疑问？4这节课的学习方式拟喜欢吗？你有什么好的建议？
讲评回答
回顾这节课的内容，加深学生对知识的印象，反馈学生这节课收获节疑问，使教学效果得到提高
分层作业
分层作业1、必做题:习题24.1—1,92、选做题:习题24.1—12
九、板书设计
（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无穷多条
24.1.2
垂直于垂径定理：垂径定理逆定理：
弦的直径垂径定理证明：
方法归纳：技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。重要思路：（由）垂径定理——构造Rt△——（结合）勾股定理——建立方程
构造Rt△的“七字口诀”：半径半弦弦心距第2课时
切线的判定与性质
★知识管理
1、圆的切线的性质
切线的性质定理：
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
2.
圆的切线的判定定理：
问：
判断直线与圆相切有哪些方法？
（1）
：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
（2）数量关系：
（3）
3.
三角形内切圆：
★热身练习
1．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（
）
A．4cm
B．2cm
C．2cm
D．m
2.
如图2，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（
）
A．130°
B．100°
C．50°
D．65°
3．如图3，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM=______cm时，⊙M与OA相切．
4．（2010?四川）如图4，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC交半圆O于点D，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．
＊颗粒归仓：
★典型例题
例：（2012?陕西）如图，分别与相切于点，点在上，且，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若的半径，，求的长．
★追踪练习
1.
已知：（2006?北京）如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．
2.
如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．
（1）求证：BA·BM=BC·BN；
（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．
★挑战新高
（2010?河南）如图，AB为⊙O的直径，AC，BD分别和⊙O相切于点A，B，点E为圆上不与A，B重合的点，过点E作⊙O的切线分别交AC，BD于点C，D，连接OC，OD分别交AE，BE于点M，N．
（1）若AC=4，BD=9，求⊙O的半径及弦AE的长；
（2）当点E在⊙O上运动时，试判定四边形OMEN的形状，并给出证明．
P
O
A
B
PAGE
2第2课时
切线的判定与性质
教学目标
(一)教学知识点
1．能判定一条直线是否为圆的切线．
2．会过圆上一点画圆的切线．
3．会作三角形的内切圆．
(二)能力训练要求
1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．
2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．
(三)情感与价值观要求
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
教学重点
探索圆的切线的判定方法，并能运用．
作三角形内切圆的方法．
教学难点
探索圆的切线的判定方法．
教学方法：师生共同探索法．
教具准备
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．
由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定条件．
Ⅱ．新课讲解
1．探索切线的判定条件
投影片(§3．5．2A)
如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A旋转时，
(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．
[生](1)如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1＜r，这时直线l1与⊙O的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d＝r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l的距离为d2，d2＜r，这时直线l与⊙O的位置关系是相离．
[师]回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第(2)题就解决了．
[生](2)当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切．
[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流．
[生]直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点．
[师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
2．做一做
已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．
[生]如下图．
(1)连接OA．
(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．
3．如何作三角形的内切圆．
投影片(§3．5．2B)
如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．
分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．
解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如下图)．
(2)过I作ID⊥BC，垂足为D．
(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I．
⊙I就是所求的圆．
[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么？
[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的．
[师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed
circle
of
triangle)，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)．
4．例题讲解
投影片(§3．5C)
如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB．
求证：AT是⊙O的切线．
分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°．
由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB．
请大家自己写步骤．
[生]证明：∵AB＝AT，∠ABT＝45°．
∴∠ATB＝∠ABT＝45°．
∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°．
∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
Ⅳ．课时小结
本节课学习了以下内容：
1．探索切线的判定条件．
2．会经过圆上一点作圆的切线．
3．会作三角形的内切圆．
4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念．
Ⅴ．课后作业
习题3．8
Ⅵ．活动与探究
已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．
分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．
证明：连结OD．
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，
∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4．
∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC．
∴∠ODC＝∠OBC．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°．
∴∠ODC＝90°．
∴DC是⊙O的切线．24.1.4
圆周角
圆内接四边形的性质及圆周角定理的综合运用
一、教学目标
1.知道圆内接多边形和多边形的外接圆的意义，知道圆内接四边形的对角互补，会简单运用这个结论.
2.培养演绎推理能力和识图能力.
二、教学重点和难点
1.重点：圆内接四边形的对角互补.
2.难点：结论的证明.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：如图，
x=
°.
2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°，
则∠DBC=
°，∠BDC=
°，
∠BCD=
°.
3.用三角尺画出下面这个圆的圆心.
（二）创设情境，导入新课
（师出示下面的板书）
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
师：（指准板书）前面我们学习了圆周角定理和它的两个结论，本节课我们要学习什么？我们要学习圆周角定理的第三个推论（板书：推论3）.
师：推论3怎么说？让我们先来看下面的问题.
（三）尝试指导，讲授新课
（师出示下图）
师：（指准图）这是四边形ABCD，这个四边形有一个特点，什么特点？（稍停）这个四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上，我们把这个四边形叫做圆内接四边形（板书：四边形ABCD叫做圆内接四边形），我们还把⊙O叫做四边形ABCD的外接圆（板书：⊙O叫做四边形ABCD的外接圆）.
师：（出示圆内接三角形图片，并指准）这是一个三角形，这个三角形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这个三角形的外接圆.
师：（出示圆内接五边形图片，并指准）这是五边形，这个五边形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五边形的外接圆.
师：（出示圆内接五边形图片，并指准）一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
师：知道了圆内接多边形的概念，（指黑板上的圆内接四边形）现在我们还是回来看圆内接四边形.
师：圆内接四边形有一个重要的性质，什么性质？圆内接四边形的对角互补（板书：圆内接四边形的对角互补）.
师：圆内接四边形的对角互补，什么意思？（指准图）就是说，∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，（板书：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）.
师：用圆周角定理可以推出这个结论，怎么推？大家自己先想一想（让生思考片刻）.
师：我们一起来证明，（指板书）先证明∠A+∠C=180°.
师：怎么证明∠A+∠C=180°？连结OB，OD（边讲边用虚线连结OB，OD）.
师：（把描成红色，并指准）这条红弧所对的圆周角是哪个？
生：（齐答）∠C.
师：红弧所对的圆周角是∠C（边讲边用红笔标∠C），那红弧所对的圆心角是哪个？
生：（齐答）∠BOD.
师：红弧所对的圆心角是∠BOD（边讲边用红笔标∠BOD）.
师：（把描成黄色，并指准）这条黄弧所对的圆周角是哪个？
生：（齐答）∠A.
师：黄弧所对的圆周角是∠A（边讲边用红笔标∠A），那黄弧所对的圆心角是哪个？
生：……
师：（指准图）黄弧所对的圆心角是这个角（边讲边用黄笔标这个角）.
师：（指准图）根据圆周角定理，∠A等于这个圆心角的一半，∠C等于这个圆心角的一半，所以∠A+∠C等于这个角加上这个角的一半.这个角加上这个角等于360°，所以∠A+∠C等于360°的一半，等于180°.
师：同样道理可以证明∠B+∠D=180°.
师：（指板书）推论3是一个很有用的结论，下面就请同学们利用这个结论来做几个练习.
（四）试探练习，回授调节
4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=60°，
填空：
(1)∠BCD=
°；
(2)∠DCE=
°；
(3)∠B+∠D=
°.
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∠BOD=100°，
则∠BAD=
°，
∠BCD=
°.
（五）尝试指导，讲授新课
师：下面我们来看一道例题.
（师出示例题）
例
求证：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
（师画出图形写出已知求证，然后让生说证明思路，最后师写出证明过程，图形、已知、求证及证明过程如下）
已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.
求证：∠DCE=∠A.
证明：∵∠DCE+∠BCD=180°，
又∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A.
（六）归纳小结，布置作业
师：（指准板书）本节课我们学习了圆周角定理的推论3，圆内接四边形的对角互补；还学习了一个例题，利用推论3证明了圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.这个结论像别的定理、推论一样可以在做题的时候直接拿来用.
（作业：P88习题6.7.）
课外补充作业
6.如图，∠A=30°，∠ABC=50°，则∠E=
°，
∠D=
°，∠ACB=
°.
四、板书设计
圆周角定理……
图
例推论1……
四边形ABCD叫做圆内接四边形推论2……
⊙O叫做四边形ABCD的外接圆推论3……
∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°24．4．2
圆锥的侧面积和全面积
姓
名：
班级：
组别：
评定等级
【自主学习】
（一）复习巩固：
1.弧长的计算公式：
.
2．扇形面积的计算公式：
.
3．已知扇形的面积为4cm2，弧长为4cm，求扇形的半径.
（二）新知导学
1．圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是一个
.圆锥的母线就是扇形的
.
圆锥底面圆的周长就是扇形的
.
2．如果圆锥的母线长为l，底面的半径为r，那么
S侧=
，S全=
.
【合作探究】
1．已知圆锥的母线长6
cm；底面半径为
3
cm，求圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
2．已知：一个圆锥的侧面展开图是圆心角为36°的扇形，扇形面积为10
cm2．求这圆锥的表面积．
【自我检测】
1．已知圆锥的高为，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（
）
A．π
B．2π
C．π
D．6π
2．圆锥的高为3cm
,
母线长为5cm
,
则它的表面积是（
）cm2．
A．20p
B．36p
C．16p
D．28p
3．已知圆锥的底面半径为3
,
母线长为12
,
那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为（
）
A．180°
B．120°
C．90°
D．135°
4．如果圆锥的高与底面直径相等
,
则底面面积与侧面积之比为（
）
A．1∶
B．2∶
C．∶
D．2∶3
5．边长为a的等边三角形
,
绕它一边上的高所在直线旋转180°
,
所得几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．π
6．若底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°,则这个圆锥的高是（
）cm．
A．8
B．
C．6
D．4
7．在一个边长为4cm正方形里作一个扇形(如图所示)
,
再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面
,
则这个圆锥的高为（
）cm．
A．
B．
C．
D．
8．用圆心角为120°
,
半径为6cm的扇形围成圆锥的侧面
,
则这个圆锥的高为（
）
A．4
B．4
C．2
D．3
9．△ABC中
,
AB=6cm
,
∠A=30°
,
∠B=15°
,
则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的表面积为（
）cm2．
A．（18+9）π
B．18+9
C．（36+18）π
D．36+18
10．圆锥的母线长为10cm
,
底面半径为3cm
,
那么圆锥的侧面积为（
）cm2．
A．30
B．30p
C．60p
D．15p
11．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4
m，母线长3
m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（
）
A．6
m2
B．6πm2
C．12
m2
D．12πm2
12．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为（
）
A．a
B．
C．
D．
13．一个圆锥的高为cm，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是（
）
A．200πcm2
B．300πcm2
C．400πcm2
D．360πcm2
14．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2，母线长为50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为（
）
A．80cm
B．100cm
C．40cm
D．5cm
15．已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是60πcm2，则这个圆锥的底面半径是
cm．
16．已知圆锥的底面半径是2cm，母线长是5cm，则它的侧面积是
．
17．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积
PAGE
124.1
圆的有关性质
24.1.1
圆
教学目标
1、知识与技能：本节课使学生理解圆的定义；
2、过程与方法：掌握点和圆的三种位置关系．使学生会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系；
3、情感态度与价值观：初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上．使学生真正体验到数学知识来源于实践，反过来指导实践这一理论
教学重点：
点和圆的三种位置关系
教学难点：
用集合的观点定义圆，学生不容易理解为什么必须满足两个条件．
教学过程：
一、新课引入：
同学们，在小学我们已经学习了圆的有关知识，小学学习圆只是一种感性认识，知道一个图形是圆，没有严格的定义什么叫做圆．今天我们继续学习圆，就是把感性认识上升为理性认识，这就要进一步来学习圆的定义．首先点题，给学生一种概念，这样可以激发学生的求知欲，抓住学生的注意力．
让学生通过观察章前图，认识到圆从古至今，在实际生活中，在工农业生产中圆的应用非常广泛，作用非常大．圆的性质在本章中处于特别重要的地位．同时也调动起学生积极主动地参与教学活动中．
二、新课讲解：
同学们请观察幻灯片上的图片．出示线段OA，演示将线段OA绕着它的固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形是一个什么图形，从而得出圆的定义．
定义：在同一平面内，线段OA绕着它的固定端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．
总结归纳：
圆心、半径的定义．
1．圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；
2．到定点的距离等于定长的点都在圆上．满足上述
两个条件，我们可以把圆看成是一个集合．
圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
接着为了研究点和圆的位置关系，教师不是让学生被动地接受教师讲，而是让学生在练习本上画一个圆．然后提问学生回答这个圆把平面分成几个部分？有的同学说两部分，有的同学说三部分，到底是几个部分呢？教师引导学生相互议论，最后通过学生的充分感知，得到正确的结论．在进一步揭示圆内部分、圆外部分也可以看成是一个集合，让学生通过观察、比较，归纳出：
圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合．
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合．
若设圆O的半径为r，点O到圆心的距离为d，当点与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外．这说明点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系，由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系．这时板书下列关系式：
点在圆内d＜r
点在圆上d＝r
点在圆外d＞r
这时教师讲清“”符号的组哟用和圆的表示方法.
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
教师这样做的目的是把点和圆看成是运动变化得到的三种情况，这样便于学生理解．
接下来为了巩固定义，师生共同分析例1．
例1?
求证矩形四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上．
对于这个问题不是教师讲怎么做，而是引导学生分析这个命题的题设和结论，然后启发学生思考分析这一问题的证明思路．
已知：如图7-1矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
证明：
A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
由于学生第一次运用推出符号“”证明，命题，所以教师：
并做好示范作用．
巩固练习：教材P80中1、2引导学生答．
三、课堂小结：
本节课要从三方面做小结，从知识内容方面学习了什么内容？从方法上学到了什么方法？学到了什么新定义符号？
1．从知识方面主要学习了圆的定义，点和圆的三种位置关系．
2．从方法上主要学习了利用点到圆的距离和圆的半径的数量关系判定点和圆的位置关系，会利用圆的定义证明四个点在同一个圆上．
3.用推出“”符号证明命题的方法.
这样小结的目的，使学生能够把学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握．
四、布置作业：
课时作业
.
.
A
C
A
B
O
.
.
.
.24.1.4
圆周角
圆周角定理及推论
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．
教学目标
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．
设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．
3．关键：探究圆周角的定理的存在．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．
二、探索新知
问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．
老师点评：
1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC=∠AOC
（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成证明．
老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
解：BD=CD
理由是：如图24-30，连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
三、巩固练习
1．教材P92
思考题．
2．教材P93
练习．
四、应用拓展
例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证：===2R．
分析：要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．
证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接DB
∵CD是直径
∴∠DBC=90°
又∵∠A=∠D
在Rt△DBC中，sinD=，即2R=
同理可证：=2R，=2R
∴===2R
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．24.2
点和圆、直线与圆的位置关系
24.2.1
点和圆的位置关系
教学目标
(一)教学知识点
了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
(二)能力训练要求
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．
2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．
(三)情感与价值观要求
1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
教学重点
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
教学难点
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
教学方法
教师指导学生自主探索交流法．
教具准备
投影片三张
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．
Ⅱ．新课讲解
1．回忆及思考
投影片(§3．4A)
1．线段垂直平分线的性质及作法．
2．作圆的关键是什么？
[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等．
[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？
[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．
2．做一做(投影片§3．4B)
(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．
[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．
(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．
(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．
因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．
[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？
3．过不在同一条直线上的三点作圆．
投影片(§3．4C)
作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆
他作的圆符合要求吗？与同伴交流．
[生]符合要求．
因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件．
[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
4．有关定义
由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle
of
triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．
Ⅲ．课堂练习
已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
解：如下图．
O为外接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．
Ⅳ．课时小结
本节课所学内容如下：
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程．
方法．
3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念．
Ⅴ．课后作业
习题3．6
Ⅵ．活动与探究
如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？
解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．第3课时
切线长定理
教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。
教学重点：理解切线长定理。
教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。
教学过程：
一、复习引入：
1．切线的判定定理和性质定理．
2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？
二、合作探究
1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理
（1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，连结PO，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。
OB是⊙O
的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？
从上面的操作及圆的对称性可得：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
（2）几何证明．
如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3、三角形的内切圆
思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？
三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——
（1）图中共有几对相等的线段
（2）若AF=4、BD=5、CE=9，则△ABC周长为____
例
如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,
且AB=9cm
BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。若S△ABC=18,求⊙O的半径。
三、巩固练习
1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。PO交⊙O于E点
（1）若PB=12，PO=13，则AO=____
（2）若PO=10，AO=6，
则PB=____
（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____.
（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.
2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、
A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D两点。
（1）若PA=12，则△PCD周长为____。
（2）若△PCD周长=10，则PA=____。
（3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠AMB=____
3、如图Rt△ABC的内切圆分别与AB、AC、BC、相切于点E
、D、F，且∠ACB=90°，AC=3、BC=4，求⊙O的半径。
4、如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6、BC=8，O为BC上一点，以O为圆心，OC为半径作圆与AB切于D点，求⊙O的半径。
5、如图，⊙O与△ADE各边所在直线都相切，切点分别为M、P、N，且DE⊥AE，AE=8，AD=10，求⊙O的半径
6、如图，AB是⊙O的直径，AE、BF切⊙O于A、B，EF切⊙O于C.
求证：OE⊥OF
7、如图，⊙O的直径AB=12cm，AM、BN是切线，DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD=x，BC=y．
（1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？
（2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x，y的值．
（3）求△COD的面积．
四、小结归纳
1．圆的切线长概念和定理
2．三角形的内切圆及内心的概念
五、作业设计
24．1．2
垂直于弦的直径
一、知识点回顾：
1．圆上各点到圆心的距离都等于_________，到圆心的距离等于半径的点都在_________。
2．如右图，____________是直径，___________是弦，
____________是劣弧，________是优弧，__________是半圆。
3．圆的半径是4，则弦长x的取值范围是_______________。
4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。
5．利用身边常见的工具，你能在操场中画一个直径是5m的圆吗？说说你的方法。
二、新知学习：
（一）．学习目标：
1-知识目标：掌握垂径定理
2-能力目标：利用垂径定理解答圆的一般问题
（二）．自学要求：P80—P81
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧.
符号语言：∵是⊙的直径
又∵
∴
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧
符号语言：∵是⊙的直径
又∵
∴
三、典型拓展例题：
1．你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
2．如图，在⊙中，弦的长为8，圆心到的距离为3.求⊙的半径。
3．如图，在⊙中，、为互相垂直且相等的两条弦，于，于.
求证：四边形为正方形。
4．如图所示，两个同心圆，大圆的弦交小圆于、。求证：
5．如图所示，在⊙中，、是弦上的两点，且.求证：
四、检测与反馈：
1．如图，在⊙中，是弦，于.
⑴若，，求的长；
⑵若，，求的长；
⑶若，，求⊙的半径；
⑷若，OA
=10，求的长。
2．如图所示，在⊙中，、是弦延长线的两点，且.求证：
3．如图，在⊙中，是弦，为的中点，若，到的距离为1.求⊙的半径.
4．如图，一个圆弧形桥拱，其跨度为10米，拱高为1米.求桥拱的半径.
5．⊙的半径为5，弦，弦，且.求两弦之间的距离。
五、畅所欲言
对这节课的内容你有新想法的地方是：_______________________________________
PAGE
3第3课时
切线长定理
学习目标：
1.
理解切线长的定义；
2.
掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。
学习重点：切线长定理的理解
学习难点：切线长定理的应用
学习过程：
一、知识准备：
1.
直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？
2.
切线的判定和性质是什么？
3.
角的平分线的判定和性质是是什么？
二、引入新课：
过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？
三、课内探究：
（一）探究切线长的定义：
如下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线。
P
引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（二）
探究切线与切线长的区别和联系：
区别
联系
切线
切线长
跟踪训练：判断
1.
圆的切线长就圆的切线的长度。（
）
2.
过任意一点总可以作圆的两条切线。（
）
（三）探究切线长定理：
如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，试指出图中相等的量，并证明。
切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。
该定理用数学符号语言叙述为：
∵
∴
跟踪训练：
1.
如图，⊙O与△ABC的边BC相切，切点为点D，
与AB、AC的延长线相切，切点分别为店E、F，则
图中相等的线段有__________________________
_____________________________。
2.
从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则从这点到圆的最短距离为________。
3.
如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°。则∠P=________。
四、典例解析：
例：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA=PB=4cm，∠P=40°，C是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：
（1）△PDE的周长；
（2）∠DOE的度数。
巩固训练：1.如图，PC是⊙O的切线，C是切点，PO交⊙O于点
A，过点A的切线交
PC于点D，CD∶DP
=
1∶2，AD=2cm，
求⊙O的半径。
2.
如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，BC是直径。
（1）求证：AC∥OP
︵
（2）如果∠APC=70°，求
AC的度数
五、当堂检测：
1.
如图，
P是⊙O外一点，PA、PB
分别与⊙O相切于点A、B，C是AB上任一点，过C作⊙O的切线分别交
PA、PB
于点
D、E。若△PDE的周长为12，求PA的长。
2.
如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∠OAB=30°。
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA=3时，求AP的长。
六、课堂小结：畅所欲言，查漏补缺
七、课后提升：
1．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，求证：∠ABO=∠APB。
2．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，
A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，
∠DCF=32°，求∠A的度数。
3.
如图，以
Rt△
ABC的直角边
AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，
DE切⊙O于点
D，交
BC于点
E。若BC=10，求DE的长。
4.
如图，直线、分别切圆O于A、B，且∥，切圆O于E，交、于点C、D，求证：∠COD=90°
变式：若OC=6，OD=8，则CD=
。
·
O
E
D
F
C
B
O
A
PAGE
424.1.3
弧、弦、圆心角
学习目标：
了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．
一、导学过程：（阅读教材P82
—
83
,
完成课前预习）
1、知识准备
（1）圆是轴
图形，任何一条
所在直线都是它的对称轴．
（2）垂径定理
推论
．
2、预习导航。
（1）圆心角：顶点在????
的角叫做圆心角。
（2）等圆：能够
的圆叫做等圆，同圆或等圆的半径
。
（3）弧、弦、弦心距、圆心角的关系：
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
相等，所对的弦也
．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的
相等，所对的弦也
，所对的弦心距也
。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的
、
、
相等．
注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也
。
二、课堂练习。
1．如果两个圆心角相等，那么（
）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD的关系是（
）
A.
AB=2CD
B．AB>2CD
C．AB<2CD
D．不能确定
3.
一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．
4．如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB=60
°，
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC
三、课堂小结
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
相等，所对的弦也
．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的
、
、
相等．
四、反馈检测。
1．如图，⊙O中，如果AB=2CD，那么（
）．
A．AB=AC
B．AB=AC
C．AB<2AC
D．AB>2AC
2．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求BE的度数和BF的度数．
3.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．
（1）求证：AM=BN
（2）若C、D分别为OA、OB中点，则AM=MN=NB成立吗？
4．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，
求证：AE=BF=CD．
5.如图
，
AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，
求弦CE长度。
PAGE
224.2
点和圆、直线与圆的位置关系
24.2.1
点和圆的位置关系
学习要求
1．能根据点到圆心的距离与圆的半径大小关系，确定点与圆的位置关系．
2．能过不在同一直线上的三点作圆，理解三角形的外心概念．
3．初步了解反证法，学习如何用反证法进行证明．
课堂学习检测
一、基础知识填空
1．平面内，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有d>r点P在⊙O______；d=r点P在⊙O______；d2．平面内，经过已知点A，且半径为R的圆的圆心P点在__________________________
_______________．
3．平面内，经过已知两点A，B的圆的圆心P点在______________________________________
____________________．
4．______________________________________________确定一个圆．
5．在⊙O上任取三点A，B，C，分别连结AB，BC，CA，则△ABC叫做⊙O的______；⊙O叫做△ABC的______；O点叫做△ABC的______，它是△ABC___________的交点．
6．锐角三角形的外心在三角形的___________部，钝角三角形的外心在三角形的__________
___部，直角三角形的外心在________________．
7．若正△ABC外接圆的半径为R，则△ABC的面积为___________．
8．若正△ABC的边长为a，则它的外接圆的面积为___________．
9．若△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径为___________．
10．若△ABC内接于⊙O，BC=12cm，O点到BC的距离为8cm，则⊙O的周长为___________．
二、解答题
11．已知：如图，△ABC．
作法：求件△ABC的外接圆O．
综合、运用、诊断
一、选择题
12．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(
)．
A．5个圆
B．8个圆
C．10个圆
D．12个圆
13．下列说法正确的是(
)．
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心是三角形的中心
C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点
D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上
14．下列说法不正确的是(
)．
A．任何一个三角形都有外接圆
B．等边三角形的外心是这个三角形的中心
C．直角三角形的外心是其斜边的中点
D．一个三角形的外心不可能在三角形的外部
15．正三角形的外接圆的半径和高的比为(
)．
A．1∶2
B．2∶3
C．3∶4
D．∶
16．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，则点P(
)．
A．在⊙O的内部
B．在⊙O的外部
C．在⊙O上
D．在⊙O上或⊙O的内部
二、解答题
17．在平面直角坐标系中，作以原点O为圆心，半径为4的⊙O，试确定点A(－2，－3)，B(4，－2)，与⊙O的位置关系．
18．在直线上是否存在一点P，使得以P点为圆心的圆经过已知两点A(－3，2)，B(1，2)．若存在，求出P点的坐标，并作图．
PAGE
124.2.2
直线和圆的位置关系
一、教材分析
1
、教材的地位和作用。
圆的教学在平面几何中乃至整个中学教学都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课，在今后的解题及几何证明中，将起到重要的作用.
2、教学目标：
根据学生已有的认知的基础及本课的教材的地位、作用，依据教学大纲的确定本课的教学目标为：
（1）知识目标：
a、知道直线和圆相交、相切、相离的定义。
b、根据定义来判断直线和圆的位置关系，
会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线。
c、根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置。
2）能力目标：
让学生通过观察、看图、列表、分析、对比，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的关系。此外，通过直线与圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和归纳的思想的认识。
3）情感目标：
在解决问题中，教师创设情境导入新课，以观察素材入手,像一轮红日从海平面升起的图片，提出问题，让学生结合学过的知识，把它们抽象出几何图形，再表示出来。让学生感受到实际生活中，存在的直线和圆的三种位置关系，便于学生用运动的观点观察圆与直线的位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型，也便于学生观察直线和圆的公共点的变化。
3.教材的重点难点
直线和圆的三种位置关系是重点，本课的难点是直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。
4.在教学中如何突破这个重点和难点
解决重点的方法主要是：（1）由学生观察老师展示的一轮红日从海平面升起的照片提出问题，能不能我们学过的知识把它们抽象出几何图形再展示出来（让学生尝试通过日出的情境画出几种情况），(2)把直线在圆的上下移动，引导学生用运动的观点观察直线和圆的位置关系，并让他们发现直线与圆的公共点的个数，揭示直线和圆相交、相切、相离的定义，归纳直线和圆的三种位置关系。是什么？）。
在说直线与圆的位置关系时，如何突破这个难点：（1）突破直线和圆不能有两个以上的公共点，让学生讨论，最后明确否定（因为直线和圆有三个或三个以上的公共点，那么这与不在同一条直线上的三点就可以作一个圆，相矛盾）。
(2)把直线在圆的上下移动，引导学生用运动的观点观察直线和圆的位置关系，并让他们发现直线与圆的公共点的个数，揭示直线和圆相交、相切、相离的定义，归纳直线和圆的三种位置关系。
（3）突破直线和圆有唯一一个公共点是直线和圆相切（指直线与圆有一个并且只有一个公共点，它与有一个公共点的含义不同）。
（4）突破直线和圆的位置关系的（如果圆O的半径为r，圆心到直线的距离为d，
1,直线l与圆
O相交
<=>
d2,直线l与圆
O相切
<=>
d=r
3,直线l与圆
O相离
<=>
d>r
（上述结论中的符号“<=>
”读作“等价于”）
式子的左边反映是两个图形（直线和圆）的位置关系的性质，右边是反映直线和圆的位置关系的判定。
二、学情分析
根据初三学生活泼好动好奇心和求知欲都非常强，并且在初一，初二基础上初三学生有一定的分析力，归纳力和根据他们的特点，联系生活实际中结合问题结合本节课适合学生的学习材料注重激发学生的求知欲让他们真正理解这节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上，进行的为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课。通过直线与圆的相对运动，揭示直线与圆的位置关系，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点；通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和化归思想的认识。
三、教法设计
复习点和圆的位置关系，引导学生用类比的方法来研究直线与圆的位置关系，在直线与圆的位置关系的判定的过程中，采用小组讨论的方法，培养学生互助、协作的精神。学生质疑这一环节充分培养学生敢于提问的习惯，做到不懂就问。学生小结，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。
1,学生观察日出照片，把观察到的情况用自己的语言说出来，抽象出几何图形在学生回答的基础上，教师通过多媒体演示圆与直线的三种位置关系。
2,进一步让学生感受到数学产生于生活，与生活密切相关，并能使学生更好的直观感受直线和圆的三种位置关系。
3,强调公共点的唯一性。给出定义时，尽可能地有学生来概括和叙述，有利于提高学生的语言表达能力。
4,有利于新旧知识的联系，培养学生的迁移能力,掌握用定量研究来解决问题的方法。在学生回答问题的基础上，教师打出直线和圆的位置关系以及它们的数量特征。
5,通过直线到圆的距离d和半径r这两个数量之间的关系来研究直线和圆的位置关系。这样很好的体现数形结合的思想，使较为复杂的问题能简单化。
6,让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。
四、学法指导
复习点和圆的位置关系，引导学生用类比的方法来研究直线与圆的位置关系，在直线与圆的位置关系的判定的过程中，采用小组讨论的方法，培养学生互助、协作的精神。学生质疑这一环节充分培养学生敢于提问的习惯，做到不懂就问。
学生小结，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。
五、教学程序
创设情境------导入新课------
新授-------巩固练习-----学生质疑------学生小结------布置作业
[提问]
通过观察、演示，你知道直线和圆有几种位置关系？
?[讨论]
一轮红日从海平面升起的照片
?[新授]
给出相交、相切、相离的定义。
?[类比]
复习点与圆的位置关系，讨论它们的数量关系。通过类比，从而得出直线与圆的位置关系的性质定理及判定方法。
?[巩固练习]
例1，
?出示例题
例1
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=
4cm,以C为圆心，r为半径的圆与AB有什么样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm；
（2）r=2.4cm;
(3)r=3cm
由学生填写下例表格。
直线和圆的位置关系
公共点个数
圆心到直线距离d与半径r关系
公共点名称
直线名称
图形
补充练习的答案由师生一起归纳填写
教学小结
直线与圆的位置关系，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。然后老师在多媒体打出图表。
本节课主要采用了归纳、演绎、类比的思想方法，从现实生活中抽象出数学模型，体现了数学产生于生活的思想，并且将新旧知识进行了类比、转化，充分发挥了学生的主观能动性，体现了学生是学习的主体，真正成为学习的主人，转变了角色。
六，板书设计：
课题：直线和圆的位置关系
一，复习点与圆的位置关系
二，直线与圆的位置关系
1，相交、相切、相离的定义。
2，直线与圆的位置关系的性质定理。
3，直线与圆的位置关系的判定方法。
例1：
三，课堂练习
四，小结第2课时
圆锥的侧面积和全面积
学科
数学
教学内容
弧长和扇形面积2
年级
执教
授课时间
自主学习目标
合作学习目标
1、，了解圆锥侧面积计算公式推导，并会应用公式解决问题．
合作探究目标
通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．
合作重点
圆锥侧面积和全面积的计算公式．
合作难点关键
1、探索两个公式的由来；2、通过剪母线变成面的过程．
教学流程
教学素材
教学环节
教师行为
引入课题
1、弧长和扇形面积计算公式。2、计算：75度的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是_______cm
前置诊断
口述
倾听
问题1：一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．
创境引入
设置问题情境，启发引导
小组合作、交流。展示答案
出示学习目标：1、理解圆锥及其相关概念；2、掌握圆锥的侧面积公式；3、运用公式计算
展示目标
口述
学生倾听
学习内容1
圆锥的母线、高等概念：学生动手操作，把圆锥展开成平面图形；3、观察、理解立体图到平面图之间的联系：重点圆锥的母线、底面圆周长与侧面展开图中的扇形半径、弧长之间的相等关系。4、推导圆锥的侧面积、全面积公式。
导学1
巡视
探讨、交流，
例1．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）
分析：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积．分析：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．
自主合作
巡视
自主独立完成
互动交流
指导学生评价
举手展示
学习书114页例3.了解解题书写过程
巩固达标
巡视
独立练习
学习内容2
例题：已知Rt△ABC中,∠C=90度，AC=3，BC=4.（1）将△ABC沿直角边
AC旋转一周，形成的几何体是什么？表面积是多少？（2）、将△ABC沿斜边旋转一周，形成的几何体是什么？表面积是多少？
导学2
提问
自主合作
评价
自学P102
互动交流
巡视
114面，练习
巩固达标
巡视
举手展示
课堂小结
本节课你学到了哪些知识？有什么感想？
小结质疑
合作与交流
P115习题；
巩固拓展
巡视
自主，小组交流24.1.4
圆周角
姓
名：
班级：
组别：
评定等级
【自主学习】
（一）复习巩固：
1．圆周角的定义.
2．圆周角定理.
3.在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角为
.
（二）新知导学
1.直径（或半圆）所对的圆周角是
.
2.900的圆周角所对的弦是
.
3.圆的内接多边形，多边形的内接圆。
圆内接四边形的对角
。
【合作探究】
如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，D、E在⊙O上．求证：BD=DE．
【自我检测】
1．如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，
则∠AOD=
．
2．如图，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON=
．
3．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM=
，∠AMB=
．
4．如图，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径＝
．
5．下列说法正确的是（
）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
6．下列说法错误的是（
）
A．等弧所对圆周角相等
B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．
D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
7．在⊙O中，同弦所对的圆周角（
）
A．相等 B．互补 C．相等或互补
D．都不对
8．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（
）
A．5对
B．6对
C．7对 D．8对
PAGE
124.1.3
弧、弦、圆心角
教学内容
1．圆心角的概念．
2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
教学目标
了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．
通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．
重难点、关键
1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．
2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下题．
已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．
老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB′=30°．
二、探索新知
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：
如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
=，AB=A′B′
理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′
∴半径OB与OB′重合
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合
∴与重合，弦AB与弦A′B′重合
∴=，AB=A′B′
因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手作一作．
（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．
(1)
(2)
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？
我能发现：=，AB=A/B/．
现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
（学生活动）请同学们现在给予说明一下．
请三位同学到黑板板书，老师点评．
例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．
（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到=
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AE=CF
又∵OA=OC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD
理由是：
∵OA=OC，OE=OF
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD
∴=，∠AOB=∠COD
三、巩固练习
教材
练习1
四、应用拓展
例2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
(3)
(4)
分析：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．
上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．
解：（1）AB=CD
理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F
∵∠APM=∠CPM
∴∠1=∠2
OE=OF
连结OD、OB且OB=OD
∴Rt△OFD≌Rt△OEB
∴DF=BE
根据垂径定理可得：AB=CD
（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F
∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°
∴Rt△OPE≌Rt△OPF
∴OE=OF
连接OA、OB、OC、OD
易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF
∴∠1+∠2=∠3+∠4
∴AB=CD
五、归纳总结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆心角概念．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．
六、布置作业
1．教材P94-95
复习巩固4、5、
