第二十一章
一元二次方程
21.2
解一元二次方程
21.2.2
公式法
学习目标：1.经历求根公式的推导过程.
2.会用公式法解一元二次方程.
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
重点：运用公式法解一元二次方程.
难点：一元二次方程求根公式的推导.
一、知识链接
如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?
二、要点探究
探究点1：求根公式的推导
合作探究
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？
问题1
用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
解：移项，得ax2+bx=－c，
二次项系数化为1，得x2+
x=
配方，得x2+
x+(
)2=(
)2
即(x+)2=①
问题2
对于方程①接下来能直接开平方解吗？
要点归纳：∵a
≠0，∴4a2>0.要注意式子b2－4ac
的值有大于0、小于0和等于0三种情况.
探究点2：一元二次方程根的判别式
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，即=
b2－4ac.
判别式的情况
根的情况
练一练
按要求完成下列表格.
的值
根的情况
典例精析
例1
已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是(
)
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
例2
不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1)
3x2+4x－3=0；
(2)
4x2=12x－9；
(3)
7y=5(y2+1).
方法总结：现将方程变形为一般形式ax2+bx+c=0，再根据根的判别式求解即可.
例3
若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(
)
A.
q≤4
B.
q≥4
C.
q<16
D.
q>16
【变式题】二次项系数含字母
若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(
)
A.
k>－1
B.
k>－1且k≠0
C.
k<1
D.
k<1且k≠0
方法总结：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于x的方程kx2－2x－1=0有实数根，则k的取值范围是(
)
A.
k≥－1
B.k≥－1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
探究点3：用公式法解方程
由上可知，当≥0时，方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
典例精析
例4
(教材p11例2)用公式法解下列方程：
(1)
x2－4x－7=0；
(2)
2x2－+1=0；
(2)
5x2－3x=x+1；
(4)
x2+17=8x.
要点归纳：公式法解方程的步骤：
1.变形：化已知方程为一般形式；
2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；
3.计算：b2－4ac的值；
4.判断：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若b2－4ac<0，则方程没有实数根.
三、课堂小结
公式法
内容
根的判别式
b2－4ac，注意务必将方程化为一般形式
求根公式
步骤
一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（Δ值）；四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）.
1.不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1)
2x2+3x－4=0；
(2)
x2－x+=0；
(3)
x2－x+1=0.
2.解方程：x2
+7x–18
=
0.
3.解方程：(x－2)
(1－3x)
=
6.
4.解方程：2x2－x
+
3
=
0.
5.（1）关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是
；
（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.
6.不解方程，判别关于x的方程的根的情况.
能力提升：
在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，求△ABC
的周长.
参考答案
自主学习
一、知识链接
解：方程整理得配方，得.直接开平方，得，∴.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：求根公式的推导
问题1
问题2
不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况.
探究点2：一元二次方程根的判别式
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
练一练
从上往下，从左到右依次为0，，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两个不相等的实数根
典例精析
例1
B
解析：原方程变形为x2+x－1=0.∵b2－4ac=1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
例2
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，∴b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0，∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为：5y2－7y+5=0，∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．
例3
C
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，即82－4q>0.解得q＜16，故选C.
【变式题】B
解析：方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，即(－2)2+4k>0.又二次项系数不为0，可得k>－1且k≠0，故选B.
【变式题】A
思路分析：分k=0或k≠0两种情况进行分类讨论.
探究点3：用公式法解方程
例4
解：(1)a=1，b=－4，c=－7，b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不相等的实数根即.
(2)a=2，b=，c=1，b2－4ac=()2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即.
(3)方程化为5x2－4x－1=0，a=5，b=－4，c=－1，b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不相等的实数根即.
(4)方程化为x2－8x+17=0，a=1，b=－8，c=17，b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根.
当堂检测
1.解：(1)a=2，b=3，c=－4，b2－4ac=32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不相等的实数根.
(2)a=1，b=－1，c=，b2－4ac=(－1)2－4×1×=0.方程有两个相等的实数根.
(3)a=1，b=－1，c=1，b2－4ac=(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根.
2.解：这里a=1，b=7，c=－18，b2－4ac=72－4×1×(－18)=121＞0.
∴.
3.
解：去括号，得x－2－3x2
+
6x
=
6，化为一般式为3x2－7x
+
8
=
0，这里a=3，b=－7，c=8，b2－4ac=
(－7)2–4×3×8
=49－96=－47＜0.∴原方程无实数根.
4.这里a=2，b=，c=3，b2－4ac=()2－4×2×3=3＞0.
∴.
5.(1)m≤1
(2)解：化为一般式(m－1)x2－2mx+m－2=0．Δ＝4m2?4(m?1)(m?2)≥0，且m－1≠0，解得且m≠1.
6.解：，∵，∴，∴∴方程有两个实数根.
能力提升
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，
所以Δ=b2－4ac=(b－2)2－4(6－b)=b2+8b－20=0.所以b=－10或b=2.
将b=－10代入原方程得x2－8x+16=0，x1=x2=4；
将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=－2（舍去）；
所以△ABC
的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.
自主学习
课堂探究
当堂检测
PAGE
621.1
一元二次方程
学习目标：
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
导学流程：
自学课本导图，走进一元二次方程
分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程
去括号得
①
你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？
探究新知
自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：
问题1可列方程
整理得
②
问题2可列方程
整理得
③
1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？
?
2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm
长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？
观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
展示反馈
【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
其中为一元二次方程的是：
【我学会了】
1、只含有
个未知数，并且未知数的最高次数是
，这样的
方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：
,其中
二次项，
是一次项，
是常数项，
二次项系数
，
一次项系数。
自主探究：
自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）
（2）
【巩固练习】教材第27页练习
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2；
（2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0
（4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；
（1）±1
±2；（2）±2，
±4
（2）把方程
2（x-1）2+2x=16
(
化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
2、要使
是一元二次方程，则k=_______.
3、已知关于x的一元二次方程
有一个解是0，求m的值。
21.1
一元二次方程（2）
学习内容
1．一元二次方程根的概念；
2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．
学习目标
了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
重难点关键
1．重点：判定一个数是否是方程的根；
2．难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
学习过程
一、自学教材
针对目标自学教材27页—28页内容，会规范解答28页练习题1、2.
二、合作交流，解读探究
先独立思考，有困难时请求他人帮助，10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题目：
1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
?
?
2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0
（2）3x2-6=0
（3）x2-3x=0
?
?
应用迁移，巩固提高
3、
若x=1是关于x的一元二次方程a
x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2009(a+b+c)的值
?
4、关于x的一元二次方程(a-1)
x2+x+a
2-1=0的一个根为0,则求a的值
?
三、总结反思，自查自省
选择题
1．方程x（x-1）=2的两根为（
）．
A．x1=0，x2=1
B．x1=0，x2=-1
C．x1=1，x2=2
D．x1=-1，x2=2
2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（
）．
A．x1=b，x2=a
B．x1=b，x2=
C．x1=a，x2=
D．x1=a2，x2=b2
3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则
=（
）．
A．1
B．-1
C．0
D．2
填空题
1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
3．方程（x+1）2+
x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
?
PAGE
421.2.2
公式法
判别一元二次方程根的情况
教学内容
用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．
教学目标
掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．
重难点关键
1．重点：b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0一元二次方程没有实根．
2．难点与关键
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用公式法解下列方程．
（1）2x2-3x=0
（2）3x2-2x+1=0
（3）4x2+x+1=0
老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程没有实根
二、探索新知
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．
（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．
（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3
（2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0
（4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
解：（1）化为16x2+8x+3=0
这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0
所以，方程没有实数根．
（2）a=9，b=6，c=1，
b2-4ac=36-36=0，
∴方程有两个相等的实数根．
（3）a=2，b=-9，c=8
b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0
∴方程有两个不相等的实根．
（4）a=1，b=-7，c=-18
b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0
∴方程有两个不相等的实根．
三、巩固练习
不解方程判定下列方程根的情况:
（1）x2+10x+26=0
（2）x2-x-=0
（3）3x2+6x-5=0
（4）4x2-x+=0
（5）x2-x-=0
（6）4x2-6x=0
（7）x（2x-4）=5-8x
四、应用拓展
例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
a<-2
∵ax+3>0即ax>-3
∴x<-
∴所求不等式的解集为x<-
五、归纳小结
本节课应掌握：
b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．
六、布置作业
1．教材P46
复习巩固6
综合运用9
拓广探索1、2．
2．选用课时作业设计．
第五课时作业设计
一、选择题
1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（
）．
A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解
B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解
C．∵b2-4ac=8，∴方程有解
D．∵b2-4ac=8，∴方程无解
2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（
）．
A．a=0
B．a=2或a=-2
C．a=2
D．a=2或a=0
3．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（
）．
A．k≠2
B．k>2
C．k<2且k≠1
D．k为一切实数
二、填空题
1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．
2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．
3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）=0的根的情况是________．
三、综合提高题
1．不解方程，试判定下列方程根的情况．
（1）2+5x=3x2
（2）x2-（1+2）x++4=0
2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．
3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．
4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．
答案:
一、1．B
2．B
3．D
二、1．p2-4q=0
2．有两个不等实根
3．有两个不等实根
三、
1．（1）化为3x2-5x-2=0
b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0，有两个不等实根．
（2）b2-4ac=1+4+12-4-16=-3<0，没有实根．
2．∵c<0
∴b2-4×1×c>0，方程有两个不等的实根．
3．b2-4ac=4k2-4（2k-1）=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0，
∴方程有两个不相等的实根或相等的实根．
4．设平均增长率为x，（1+x）2=720000000，
即50（1+x）2=72
解得x=20%，
∴年销售总额的平均增长率是20%．实际问题与一元二次方程
第1课时
传播问题与一元二次方程
教学内容
由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
教学目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
重难点关键
1．重点：用“倍数关系”建立数学模型
2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型
教学过程
一、复习引入
（学生活动）问题1：列一元一次方程解应用题的步骤？
①审题，②设出未知数.
③找等量关系.
④列方程，
⑤解方程，
⑥答.
二、探索新知
上面这道题大家都做得很好，这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．
（学生活动）探究1:
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析:
1第一轮传染
第二轮传染后
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有
人患了流感,第二轮后共有
人患了流感.
列方程得
1+x+x(x+1)=121
x2+2x-120=0
解方程,得
x1=-12,
x2=10
根据问题的实际意义,x=10
答:每轮传染中平均一个人传染了10个人.
思考:按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
?
通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?
四.巩固练习.
1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,
?
?
?
2.要组织一场篮球联赛,
每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
?
PAGE
221.2.1
配方法
第1课时
直接开平方法
教学内容
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
教学目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
重难点关键
1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
教学过程
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．
问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
老师点评：
问题1：根据完全平方公式可得：（1）16
4；（2）4
2；（3）（）2
．
问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x，BQ=2x
依题意，得：x·2x=8
x2=8
根据平方根的意义，得x=±2
即x1=2，x2=-2
可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
（学生分组讨论）
老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2
即2t+1=2，2t+1=-2
方程的两根为t1=-，t2=--
例1：解方程：x2+4x+4=1
分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
解：由已知，得：（x+2）2=1
直接开平方，得：x+2=±1
即x+2=1，x+2=-1
所以，方程的两根x1=-1，x2=-3
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、巩固练习
教材P36
练习．
四、应用拓展
例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）当成一个数，配方得：
（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56
x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6
方程的根为x1=10%，x2=-3.1
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
五、归纳小结
本节课应掌握：
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．
六、布置作业
1．教材P45
复习巩固1、2．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（
）．
A．p=4，q=2
B．p=4，q=-2
C．p=-4，q=2
D．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为（
）．
A．3
B．-3
C．±3
D．无实数根
3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（
）．
A．（x-）2=，x=±
B．（x-）2=-，原方程无解
C．（x-）2=，x1=+，x2=
D．（x-）2=1，x1=，x2=-
二、填空题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
三、综合提高题
1．解关于x的方程（x+m）2=n．
2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？
答案:
一、1．B
2．D
3．B
二、1．±
2．9或-3
3．-8
三、1．当n≥0时，x+m=±，x1=-m，x2=--m．当n<0时，无解
2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，
依题意，得：x（40-2x）=180
整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+，x2=10-；
同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．
（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，
b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．
3．因要制矩形方框，面积尽可能大，
所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．(共26张PPT)
21.2
解一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）
导入新课
情景引入
复习引入
算一算
解下列方程并完成填空：
(1)x2+3x-4=0;
(2)x2-5x+6=0;
(3)2x2+3x+1=0.
-4
1
2
3
-1
x1+x2=-3
x1
·
x2=-4
x1+x2=5
x1
·
x2=6
想一想
方程的两根x1和x2与系数a,b,c有什么关系？
一元二次方程
两
根
关
系
x1
x2
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
2x2+3x+1=0
讲授新课
猜一猜（1）若一元二次方程的两根为x1，x2，则有x-x1=0，且x-x2=0，那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2=
-p，
x1
·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2=
-p
,
x1
·x2=q.
猜一猜（2）通过上表猜想，如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、
x2，那么，你可以发现什么结论？
你能证明这个猜测吗？
证一证：
一元二次方程的根与系数的关系
（韦达定理）
如果
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、
x2，那么
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
归纳总结
例1
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2
–
6x
–
15
=
0；
解：这里
a
=
1
,
b
=
–
6
,
c
=
–
15
.
Δ
=
b2
-
4ac
=(
–
6
)2
–
4
×
1
×(–
15
)
=
96
>
0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是
x1，
x2，那么
x1
+
x2
=
–(
–
6
)
=6，
x1
x2
=
–
15
.
（2）3x2
+7x-9
=
0；
解：这里
a
=
3
,
b
=
7,
c
=
-9.
Δ=b2
-
4ac
=
72
–
4
×
3
×
(-9)
=
157
>
0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是
x1，x2，那么
（3）
5x
–
1
=
4x2
.
解：方程可化为
4x2
–
5x
+1
=0，
这里
a
=4，
b
=
–
5，c
=
1.
Δ
=
b2
-
4ac
=(
–
5
)2
–
4
×
4
×1
=
9
>
0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是
x1，x2，那么
x1
+
x2
=
，
x1
x2
=
.
在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可
.
例2
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2
.
所以
x1
·
x2=2x2=
即
x2=
由于x1+x2=2+
=
得
k=－7.
答：方程的另一个根是
，k=－7.
变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以
x1
+
x2=1+x2=6，
即
x2=5
.
由于x1·x2=1×5=
得
m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
例3
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则：
(1)
x1+x2=
，
(2)x1·x2=
，
(3)
，
(4)
.
4
1
14
12
练一练
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
总结常见的求值:
例4
设x1，x2是方程
x2
-2(k
-
1)x
+
k2
=0
的两个实数根，且x12
+x22
=4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ=
4（k
-
1）2
-
4k2
≥
0
即
-8k
+
4
≥
0.
由根与系数的关系得
x1
+
x2
=
2(k
-1)
,
x1
x2
=k
2.
∴
x12
+
x22
=
(x1
+
x2)2
-
2x1x2
=
4(k
-1)2
-2k2
=
2k2
-8k
+
4.
由
x12
+
x22
=
4，得
2k2
-
8k
+
4
=
4，
解得
k1=
0，
k2
=
4
.
经检验，
k2
=
4
不合题意，舍去.所以k=0.
根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母应该满足△≥0.
当堂练习
1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2
和
1
，则p
=
，
q=
.
1
-2
2.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m
=____.
-3
3.已知方程
3x2
-19x
+
m=0的一个根是1，求它的另一
个根及m的值.
解：将x
=
1代入方程中
3
-19
+
m
=
0.
解得
m
=
16，
设另一个根为x1，则：
1
×
x1
=
∴x1
=
4.已知x1,
x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4；
(1)求k的值；
(2)求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系得
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得
k=-7.
(2)因为k=-7,所以
则：
5.设x1，x2是方程3x2
+
4x
–
3
=
0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值.
(1)
(x1
+
1)(x2
+
1)；
(2)
解：根据根与系数的关系得：
(1)(x1
+
1)(x2
+
1)
=
x1
x2
+
x1
+
x2
+
1=
(2)
6.
当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.
解：设方程两根分别为x1，x2(x1>x2)，则x1-x2=1
∵
(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
拓展提升
由根与系数的关系，得
7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m
-2=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.
(2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|=
1，
求m的值.
解：(1)方程有实数根
∵m≠0，
∴m的取值范围为m＞0.
(2)∵方程有实数根x1，x2，
∵
(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，
解得m=8.
经检验m=8是方程的解．
课堂小结
根与系数的关系（韦达定理）
内容
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、
x2，那么
应用21.3
实际问题与一元二次方程(3)
教学内容
根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．
教学目标
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．
重难点关键
1．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？
5．平行四边形的面积公式是什么？
6．圆的面积公式是什么？
（学生口答，老师点评）
二、探索新知
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．
例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：（1）设渠深为xm
则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
依题意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1==0.8m，x2=-2（舍）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
（2）=25天
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
三、巩固练习
有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）
四、应用拓展
例3．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则：）
分析：（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．
（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．
解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．
则：（6-x）·2x=8
整理，得：x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4
∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．
（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有
∵AB=6，BC=8
∴由勾股定理，得：AC==10
∴DQ=
则：（14-y）·=12.6
整理，得：y2-18y+77=0
解得：y1=7，y2=11
即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=2y-8=6），使△PCD的面积为12.6cm2．
经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，
∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．
∴本小题只有一解y1=7．
五、归纳小结
本节课应掌握：
利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
六、布置作业
1．教材P53
综合运用5、6
拓广探索全部．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（
）．
A．
B．5
C．
D．7
2．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（
）．
A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;
B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;
C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;
D．以上都不对
3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（
）．
A．8cm
B．64cm
C．8cm2
D．64cm2
二、填空题
1．矩形的周长为8，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．
2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
三、综合提高题
1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度=，迎水坡度）（精确到0.1m）
2．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?
3．谁能量出道路的宽度:
如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?
请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．
答案:
一、1．B
2．B
3．D
二、1．2+
2-
2．32cm
3．20m和7.5m或15m和10m
三、
1．设坝的高是x，则AE=x，BF=2x，AB=3+3x，
依题意，得：（3+3+3x）x×30=4500
整理，得：x2+2x-100=0
解得x≈即x≈9.05（m）
2．设宽为x，则12×8-8=2×8x+2（12-2x）x
整理，得：x2-10x+22=0
解得：x1=5+（舍去），x2=5-
3．设道路的宽为x，AB=a，AD=b
则（a-2x）（b-2x）=ab
解得：x=
[（a+b）-]
量法为：用绳子量出AB+AD（即a+b）之长，从中减去BD之长（对角线BD=），得L=AB+AD-BD，再将L对折两次即得到道路的宽，即．21.2.1
配方法（2）
学习目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；
难点：配方的过程。
导学流程
自主学习
自学P31-32问题2，完成P33思考。
精讲点拨
上面，我们把方程x2+6x-16＝0变形为(x+3)2＝25，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
练一练
：配方.填空：
（1）x2＋6x＋（
）＝（x＋
）2；
（2）x2－8x＋（
）＝（x－
）2；
（3）x2＋
x＋（
）＝（x＋
）2；
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
合作交流
用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0； （2）x2＋3x＋1＝0.
解（1）移项，得x2－6x＝____.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋__2＝7＋___，
即
（______）2＝____.
所以
x－3＝____.
原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____.
（2）移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2＋3x＋（
）2＝－1＋____，
即
_____________________
所以
___________________
原方程的解是：
x1＝______________x2＝___________
总结规律
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？
?
?
?
巩固提高：完成P34页练习
课堂小结
你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？
达标测评
用配方法解方程：
1、x2＋8x－2＝0
2、x2－5x－6＝0.
3、2x2-x=6
?
?
4、x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
5、
x?-2x-3=0
?
6、
2x?+12x+10=0
7、x?-4x+3=0
8、9x?-6x-8=0
?
9、x?+12x-15=0
10、
2x?+1=3x
11、
3x?+6x-4=0
?
12、
4x?-6x-3=0
13.
x?+4x-9=2x-11
14.
x(x+4)=8x+12
?
拓展提高
已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
PAGE
1第二十一章
一元二次方程
21.2.1
配方法
第2课时
配方法
学习目标：1.了解配方法的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
重点：运用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
一、知识链接
1.用直接开平方法解下列方程.
(1)9x2=1
(2)(x－2)2=2.
2.
你还记得完全平方公式吗？填一填：
(1)
a2+2ab+b2=(
)2；
(2)
a2－2ab+b2=(
)2.
3.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1)
x2+6x+9
=5
(2)x2+4x+1=0
二、要点探究
探究点1：用配方法解方程
试一试
解方程：
x2+6x+9
=5
填一填1
填上适当的数或式，使下列各等式成立.
(1)x2+4x+
=
(
x
+
)2
(2)x2－6x+
=
(
x－
)2
(3)x2+8x+
=
(
x+
)2
(4)x2－x+
=
(
x－
)2
你发现了什么规律？
要点归纳：配方的方法：二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方.
填一填2
x2+px+(
)2=(x+
)2
想一想
怎样解方程x2+4x+1=0？
问题1
方程x2+4x+1=0怎样变成(x+n)2=p的形式呢？
问题2
为什么在方程x2+4x=－1的两边加上4？加其他数行吗？
要点归纳：像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法解方程的基本思路：把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
典例精析
例1
(教材p7例1)解下列方程：
(1)
x2－8x+1=0；
(2)
2x2+1=3x；
(3)
3x2－6x+4=0.
练一练
解下列方程：
(1)x2+8x+4=0；
(2)4x2+8x=-4；
(3)-2x2+6x-8=0.
归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式：
①当p>0时，则，方程的两个根为，.
②当p=0时，则(x+n)2=0，开平方得方程有两个相等的实数根x1=x2=－n.
③当p<0时，则方程(x+n)2=0无实数根.
思考1
用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
思考2
用配方法解一元二次方程的一般步骤？
探究点2：配方法的应用
例2
试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5
的值必定大于零.
练一练
应用配方法求最值.
(1)
2x2－4x+5的最小值；
(2)－3x2
+
5x
+1的最大值.
例3
若a，b，c为△ABC的三边长，且，试判断△ABC的形状.
归纳总结：
配方法的应用
类别
解题策略
1.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
2.求最值或证明代数式的值为恒正(或负)
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2.
3、课堂小结
配方法的定义
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
配方法的步骤
一移常数项；二配方[配上]；三写成(x+n)2=p
(p≥0)；四直接开平方法解方程.
配方法的应用
求代数式的最值或证明
1.解下列方程.
（1）x2+4x－9=2x－11；
（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2－6x－3=0；
（4）3x2+6x－9=0.
2.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值.
3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
4.若，求(xy)z的值.
5.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2－ab－ac－bc=0，试判断△ABC的形状.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.解：(1)
(2)
2.a+b
a-b
3.解：(1)可以，方程可以转化成(x+3)2=5的形式，再利用开平方法求解；(2)可以，方程可以转化成(x+2)2=3的形式，再利用开平方法求解.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：用配方法解方程
试一试
解：方程变形为(x+3)2=5.开平方，得，∴.
填一填1
(1)22
2
(2)32
3
(3)42
4
(4)
规律：对于二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方.
填一填2
问题1
解：移项，得x2+4x=-1.两边都加上4，得x2+4x+4=-1+4.整理，得(x+2)2=3.
问题2
解：∵二次项系数为1，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方，∴方程两边同时加上4.加其他的数不行.
典例精析
例1
解：(1)移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，即(x-4)2=15.直接开平方，得，∴.
(2)移项，得2x2－3x=－1，二次项系数化为1，得，配方，得，即.直接开平方，得，∴.
(3)移项，得3x2－6x=－4，二次项系数化为1，得，配方，得，即.因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
练一练
解：(1)移项，得x2+8x=－4，配方，得x2+8x+42=－4+42，即(x+4)2=12.直接开平方，得，∴.
(2)整理，得x2+2x+1=0，配方，得(x+1)2=0.直接开平方，得，∴.
(3)整理，得x2-3x=－4，配方，得，∴原方程无实数根.
思考1
解：移项时需注意改变符号.
思考2
解：①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.
探究点2：配方法的应用
例2
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k－2)2＋1.因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1.k2－4k＋5
的值必定大于零.
练一练
(1)解：原式
=
2(x
-
1)2
+3，当x
=1时，有最小值3.
(2)解：原式=
-3(x
-1)2
-
4，当x
=1时，有最大值-4.
例3
解：对原式配方，得由代数式的性质可知所以，△ABC为直角三角形.
当堂检测
1.解：(1)此方程无解；
(2)；
(3)；
(4)
2.解：根据题意得x2+1=2x+4，整理得x2－2x－3=0，配方得(x－1)2=4，解得x1=－1，x2=3.
3.解：－x2－x－1=－(x2+x+)+－1=－(x+)2－.∵－(x+)2≤0，∴－(x+)2－＜0.∴－x2－x－1的值总是负数.当x=－时，－x2－x－1有最大值－.
4.解：对原式配方，得，由代数式的性质可知，∴∴
5.
解：对原式配方，得由代数式的性质可知所以，△ABC为直角三角形.
自主学习
课堂探究
当堂检测
PAGE
622．1
一元二次方程
一、学习目标
1、正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；
2、知道一元二次方程的一般形式是是常数，）
，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；
3、理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件；
4、通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。
重难点关键
1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
二、知识准备
1、只含有_____个未知数，且未知数的最高次数是_______的整式方程叫一元一次方程
2、方程2（x+1）=3的解是____________
3、方程3x+2x=0.44含有____个未知数，含有未知数项的最高次数是_____，它____
（填“是”或“不是”）一元一次方程。
三、学习过程
1、
根据题意列方程：
⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。
设正方形桌面的边长是m，根据题意,得方程_______________，这个方程含有_____个未知
数，未知数的最高次数是_____。
⑵如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，如果花园的面积是24㎡，
求花园的长和宽。
设花园的宽是m,则花园的长是（19－2）m,根据题意，得：
(19－2)=24，去括号，
得:______________这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是
________。
⑶如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m。若梯子底端向右滑动的距离与
梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。
设梯子滑动的距离是m，根据勾股定理，滑动之前梯子的顶端离地面4m，则滑动后梯子的
顶端离地面（4－x）m，梯子的底端与墙的距离是（3＋x）m。
根据题意，得：，去括号，得：____________________移项，合并同类项，得：_________________，此方程含有______个未知数，含有未知数项的最高次数是______。
2、概括归纳与知识提升：
⑴像，，这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最
高次数是2的方程叫一元二次方程。
〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程？并说明理由。
①，②，
③，
④.
(2)任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：
是常数，）这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中分别叫做________、________和_______，、b分别叫做_________和一次项系数。
练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）x（11－x）=30
（2）（20＋2x）（40－x）=1200
（3）
（4）
四、
知识梳理
含有______个未知数，并且含有未知数的最高次数是_______的整式方程叫一元二次方程，它的一般形式是_______________________，二次项是?_________，一次项是_________，常数项是_________。
五
、达标检测
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（
）．
①3x2+7=0
②ax2+bx+c=0
③（x-2）（x+5）=x2-1
④3x2-=0
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（
）．
A．2，3，-6
B．2，-3，18
C．2，-3，6
D．2，3，6
3．一元二次方程的一般形式是__________．
4．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为
_________．
5．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
6.方程x（4x+3）=3x+1化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______________，
一次项系数是_______________，常数项是____________________.
7、(1)方程中，有一个根为2，则n的值.
(2)一元二次方程有一个解为0，试求方程的解。
8、根据题意列方程
（1）一个矩形纸盒的一个面中长比宽多2㎝，这个面的面积是15㎝2，求这个矩形的长与宽；
(2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数；
(3)两个数的和为6，积为7，求这两个数；
(4)一个长方形的周长是30㎝，面积是54㎝2，求这个长方形的长与宽。
9.方程（2a—4）x2—2bx+a=0,
在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
六、写出你对这节内容的收获。
PAGE
321．1
一元二次方程
教学目标
1.理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式。
2.会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题。
3.在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次的感性认识。。
重难点关键
1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程
一、复习引入
学生活动：列方程．
问题（1）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？
设梯子底端距墙为xm，那么，
根据题意，可得方程为___________．
问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．
如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．
整理得：_________．
问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．
整理，得：________．
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
二、探索新知
学生活动1：请口答下面问题．
（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
学生活动2
提问：
（1）问题1中一元二次方程的解是多少？
（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？
老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解．
（3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解
为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得：
40-16x-10x+4x2=18
移项，得：4x2-26x+22=0
其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
例2已知1是关于x的一元二次方程（m－1）x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是（
）
A．1
B．―1
C．0
D．无法确定
分析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到时一元二次方程，所以还要其二次项系数要不能等于0．由此得，(m-1)+1+1=0，解得m=-1，此时m-1=-2≠0，∴m=-1．故选B．
方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目的时候，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题。
例3
如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（
）
A．32
B．126
C．135
D．144
分析：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x+16，根据题意，得x（x+16）=192，解得x1=8，x2=﹣24（不合题意舍去），故最小的三个数为8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为22，23，24，这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故选D．
方法总结：在日历表中，在同一列上相邻的两个数，下一列比上一列的一个数大7；在同一行上相邻的两个数，右边的比左边的一个数大1，是解决此类问题的依据．
三、巩固练习
教材习题22.1练习1、2
四、应用拓展
例4．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
五、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
六、布置作业
1．教材习题22．1
1、2．
2．选用作业设计．
作业设计
一、选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（
）．
①3x2+7=0
②ax2+bx+c=0
③（x-2）（x+5）=x2-1
④3x2-=0
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（
）．
A．2，3，-6
B．2，-3，18
C．2，-3，6
D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（
）．
A．p=1
B．p>0
C．p≠0
D．p为任意实数
4．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=（
）．
A．1
B．-1
C．0
D．2
二、填空题
5．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为____，一次项系数为____，常数项为____．
6．一元二次方程的一般形式是__________．
7．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是_____．
8．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
三、综合提高题
9．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？
10．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
11．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
12．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等
于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
13．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是
这样做的：
设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想
知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：
第一步：
x
1
2
3
4
x2-3x-1
-3
-3
所以，________第二步：
x
3.1
3.2
3.3
3.4
x2-3x-1
-0.96
-0.36
所以，________（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．(共27张PPT)
21.3
实际问题与一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时
平均变化率问题与一元二次方程
学习目标
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）
2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点）
导入新课
问题引入
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是75分，第二次月考增长了20%，第三次月考又增长了20%，问他第三次数学成绩是多少？
第二次数学成绩：75×(1+20%)=90
第三次数学成绩：90×(1+20%)=108
或第三次数学成绩：75×(1+20%)2=108
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000
元，生产1t乙种药品的成本是3600
元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
探究归纳
下降率=
下降前的量-下降后的量
下降前的量
讲授新课
分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为
5000(1-x)2元，于是有
5000(1-x)2=3000
解方程，得
x1≈0.225，
x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后甲种药品成本为6000(1-y)元，两年后乙种药品成本为
6000(1-y)2元，于是有
6000(1-y)2=3600
解方程，得
y1≈0.225，
y2≈1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
由上可知，甲乙两种药品的下降额不同，但是下降率相同.
例1
前年生产1吨甲产品的成本是3600元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲产品的成本是1764元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲产品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得
3600
(
1－x
)2
=
1764，
解方程，得
x1=0.3，x2=1.7.
根据问题的实际意义，甲产品成本的年平均下降率约为30％.
下降率不可为负，且不大于1.
变式：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为
x.
根据题意，得
解这个方程，得
答：每次降价的百分率为29.3%.
例2
为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率.
解：设增长率为x，根据题意，得
20（1+x）2=24.2.
解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．
答：增长率为10%.
增长率不可为负，但可以超过1.
问题
你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
例3
某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得
答：这个增长率为50%.
200+200(1+x)
+200(1+x)2=950
整理方程，得
4x2+12x-7=0，
解这个方程得
x1=-3.5（舍去），x2=0.5=
50%.
填空：假设某种商品的成本为每件2元，售价为3元时，可卖100件.
(1)此时的利润w=
元；
(2)若售价涨了1元，每件利润为_____元，同时少卖了10件，销售量为_____件，利润w=_____元;
(3)若售价涨了2元，每件利润为_____元，同时少卖了20件，销售量为____件，利润w=_____元;
100
2
90
180
3
80
240
合作探究
(4)若售价涨了3元，每件利润为____元，同时少卖了30件，销售量为____件，利润w=______元;
(5)若售价涨了x元，每件利润为________元，同时少卖了____件，销售量为__________
件，利润w=______________元.
4
(1+x)
70
(100-10x)
10x
280
(1+x)(100-10x)
想一想
若想售卖这种商品获取利润300元，则每件商品应涨价多少元？
解：设售价涨了x元，
依题意得(1+x)(100-10x)=300，
解得x1=4,x2=5.
即当每件商品涨价4元或5元时，能获得300元利润.
变式训练
假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖100千克.若售价涨了1元，则少卖了5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？
解：设售价涨了x元，
依题意得(4+x)(100-5x)=640，
解得x1=4,x2=12.
∵售价不高于成本价的2.5倍，
即x+12≤2.5×8.
∴x≤8.
∴x=4.
即每千克糖应涨价4元.
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
（40-x)(20+2x)=1200
整理得，x2-30x+200=0
解方程得，x1=10，x2=20
答：每件衬衫应降价10元或20元.
例4
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.
若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
变式训练
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
（40-x)(20+2x)=1200
整理得，x2-30x+200=0
解方程得，x1=10，x2=20
因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.
答：每件衬衫应降价20元.
1.设未知数x,用含x的代数式表示销量、单件利润；
2.根据利润=销量×单件利润列方程；
3.解方程；
4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍；
5.作答.
要点归纳
用一元二次方程解决营销问题的一般步骤
当堂练习
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程(
)
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为
.
B
2(1+x)+2(1+x)2=8
3.青山村种的水稻前年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
根据题意，得
系数化为1得，
直接开平方得，
则
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
7200(1+x)2=8712
(1+x)2=1.21
1+x=1.1，
1+x=-1.1
x1=0.1=
10%，
x2=-2.1，（舍去）
4.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
根据每件商品的利润×件数=8000，
分析：设每件商品涨价x元，则商品单价为_______元，
则每个商品的利润为_______________元，
因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少_____个，故销售量为___________个，
可列方程为_______________________________.
[(50+x)－40]
(500－10x)
10x
(50+x)
(500－10x)·
[(50+x)－40]=8000
解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则
(500－10x)·
[(50+x)－40]=8000，
整理得
x2－40x+300=0，
解得x1=10，x2=30都符合题意.
当x=10时，50+x
=60，500－10
x=400；
当x=30时，50+x
=80，
500－10
x=200.
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应为400；若售价为80元，则进货量应为200个.
5.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
解：设平均每次下调的百分率为x，
由题意，得
5(1－x)2=3.2，
解得
x1=20%，x2=1.8
（舍去）
∴平均每次下调的百分率为20%.
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
能力提升
为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
（2）依题知（x-25）（-5x+200）=130．
整理方程，得x2-65x+1026=0．
解得x1=27，x2=38．
∵此设备的销售单价不得高于35万元，
∴x2=38（舍），所以x=27．
答：该设备的销售单价应是27
万元．
解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
所以y与x的函数关系式为y=-5x+200．
课堂小结
平均变化率问题
增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
降低率问题
a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
营销问题
常用公式：总利润=单件利润×销量=（售价-进价）×销量配方法
内容：配方法解一元二次方程
课型：新授
学习目标：1．会用开平方法解形如(x十m)＝n(n0)的方程．
2．理解一元二次方程的解法——配方法．
教学重点：
利用配方法解一元二次方程
教学难点：
把一元二次方程通过配方转化为(x十m)＝n(n0)的形式．
一．学前准备
1用直接开平方法解方程
2--8=0
--9=0
2完全平方公式是什么？
3填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+
=
(x+6)2
（2）x2―12x+
=
(x―
)2
（3）x2+8x+
=
(x+
)2
（4）x2+x+
=
（x+
）2
（5）x2+px+
=
（x+
）2
观察并思考填的数与一次项的系数有怎样的关系？
二、探究活动
问题：下列方程能否用直接开平方法解？
x2+8x―9=0
x一l0x十25＝7；
是否先把它变成(x+m)2=n
（n≥0）的形式再用直接开平方法求解？
问题：
要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，
场地的长和宽应各是多少？
解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米，根据题意得:（
）
整理得(
)
怎样解方程X2+6X－16
=
0自学教材32页
1什么叫配方法？
例1:
用配方法解下列方程
x2--8x+1=0
2x2＋1=3x
总结用配方法解方程的一般步骤．
(1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．
(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．
(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)
(4)方程变形为(x+m)2=n的形式．
(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．
三．自我测试
1配方：填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+
=(x+6)2
（2）x2―12x+
=(x―
)2
（3）x2+8x+
=(x+
)2
2解下列方程
3x2+3x―3=0
3x2
－9x＋2=0
2x2＋6=7x
3．将二次三项式x2-4x+1配方后得（
）．
A．（x-2）2+3
B．（x-2）2-3
C．（x+2）2+3
D．（x+2）2-3
4．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（
）．
A．x2-8x+（-4）2=31
B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1
D．x2-4x+4=-11
5．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（
）．
A．1
B．-1
C．1或9
D．-1或9
6．下列方程中，一定有实数解的是（
）
A．x2+1=0
B．（2x+1）2=0
C．（2x+1）2+3=0
D．（x-a）2=a
7．方程x2+4x-5=0的解是________．
8．代数式的值为0，则x的值为________．
9．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为___
10已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
11．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．
12．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
四
学习体会
本节课你有什么收获?还有什么疑问？
五
应用与拓展
1．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．
2．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．(共26张PPT)
21.2.1
配方法
第二十一章
一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时
配方法
学习目标
1.理解配方法的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
(重点）
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
（难点）
导入新课
复习引入
(1)
9x2=1
；
(2)
(x-2)2=2.
1.用直接开平方法解下列方程.
2.你还记得完全平方公式吗？填一填：
(1)
a2+2ab+b2=(
)2；
(2)
a2-2ab+b2=(
)2.
a+b
a-b
解：
解：
3.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1)
x2+6x+9
=5；
(2)x2+4x+1=0.
转化成(x+2)2=9的形式，再利用开平方
讲授新课
探究交流
解：方程变形为(x+3)2=5，
试一试
解方程：
x2+6x+9
=5.
填上适当的数或式，使下列各等式成立.
（1）x2+4x+
=
(
x
+
)2
（2）x2-6x+
=
(
x-
)2
（3）x2+8x+
=
(
x+
)2
（4）
x2-
x+
=
(
x-
)2
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
填一填
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
归纳总结
填一填：
x2+px+(
)2=(x+
)2
配方的方法
想一想
怎样解方程:
x2+4x+1=0
(1)
问题1
方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢？
解：
x2+4x+1=0
x2+4x=-1
移项
x2+4x+4=-1+4
两边都加上4
为什么在方程x2+4x=-1的两边加上4？加其他的数，行吗？
(
x+2)2=3
左边写成完全平方形式
要点归纳
像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法的定义
配方法解方程的基本思路
把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
例1
解下列方程：
分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
(2)先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为1，然后用配方法解方程.
(3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方.
典例精析
解：移项，得
x2－8x=－1，
配方，得
x2－8x+42=－1+42，
(
x－4)2=15
由此可得
即
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1，
即
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程两边都加12？
即
练一练
解下列方程：
(1)x2+8x+4=0；
(2)4x2+8x=-4；
(3)-2x2+6x-8=0.
解：移项，得x2+8x=－4.
配方，得(x+4)2=12.
解：整理得x2+2x+1=0.
配方，得(x+1)2=0.
开平方，得x+1=0.
解得x1=x2=－1.
解：整理得x2－3x=－4.
所以原方程无实数根.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时，则
，方程的两个根为
②当p=0时，则(x+n)2=0，开平方得方程有两个相等的实数根
x1=x2=-n.
③当p<0时，则方程(x+n)2=p无实数根.
方法总结
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要
注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
例2
试用配方法说明：不论k取何实数，多项式
k2－4k＋5
的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=(k－2)2＋1
因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
典例精析
应用配方法求最值.
(1)
2x2
-
4x+5的最小值；
(2)
-3x2
+
6x
-7的最大值.
练一练
解：原式
=
2(x
-
1)2
+3
当x
=1时，有最小值3.
解：原式=
-3(x
-
1)2
-
4
当x
=1时，有最大值-4.
含有二项式的代数式求最值或证明恒为正(负)等问题，都要想到运用配方法，将含字母部分配成
a(x+m)2+n的形式来解决.
例3
若a，b，c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为直角三角形.
归纳总结
配方法的应用
2.求最值或
证明代数式
的值恒为正
（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2
＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
1.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2.
类别
解题策略
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0；
（4）
3x2+6x-9=0.
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解；
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6，x2=-2；
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3，x2=1.
当堂练习
2.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值.
解：根据题意得x2+1=2x+4
整理得x2－2x－3=0，
配方得(x－1)2=4，
解得x1=－1，x2=3.
3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
解：－x2－x－1=－(x2+x+
)+
－1
所以－x2－x－1的值总是负数.
当
时，－x2－x－1有最大值
4.若
，求(xy)z
的值.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
5.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.
课堂小结
配方法
定义
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
步骤
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明(共31张PPT)
21.1
一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数.
2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.（重、难点）
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问
题.(重点）
情景引入
雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗？
导入新课
设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2
m，下部BC=x
m，请列出方程.
解：列方程得
整理得 x
2
+
2x
-
4
=
0．①
x
2
=
2(2
-
x
)，
导入新课
想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？
等量关系：
AC：BC=BC：AB
即BC2=2AC
问题1
有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
100cm
50cm
x
讲授新课
解：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为(100－2x)cm，
宽为(50－2x)cm，
根据方盒的底面积为3600cm2，得
化简，得
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解：根据题意，列方程：
化简，得：
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
③
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程;
②都只含一个未知数;
③未知数的最高次数都是2.
x2-75x＋350=0
②
x2
+
2x
-
4
=
0
①
x2-x-56=0
③
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
知识要点
一元二次方程的概念
ax2+bx
+c
=
0(a，b，c为常数，
a≠0)
ax2
称为二次项，
a
称为二次项系数.
bx
称为一次项，
b
称为一次项系数.
c
称为常数项.
一元二次方程的一般形式是
视频：一元二次方程一般式
想一想
为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c
可以为零吗？
当
a
=
0
时
bx＋c
=
0
当
a
≠
0
，
b
=
0时
，
ax2＋c
=
0
当
a
≠
0
，
c
=
0时
，
ax2＋bx
=
0
当
a
≠
0
，b
=
c
=0时
，
ax2
=
0
总结：只要满足a
≠
0
，b
，
c
可以为任意实数.
典例精析
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成
x2-3x+2=0
化简整理成12x+10=0
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2)
x3+
x2=36
(3)x+3y=36
(5)
x+1=0
?
×
×
×
×
?
×
×
(1)
x2+
x=36
注意：未限定a≠0
例2
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2；
(2)
(a－1)x|a|+1
－2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由|a|+1
=2，且a－1
≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a－4)x2－2bx+a=0,
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1）当
2a－4≠0，即a
≠2
时，是一元二次方程；
（2）当a=2
且b
≠0时，是一元一次方程．
方法点拨：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：
1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；
2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次方程未知数最高次数是2.
例3
将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：
去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数是3；一次项系数是-8；常数项是-10.
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b
(a≠0)
ax2+bx+c=0
(a≠0)
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
一元一次方程
一元二次方程
一般式
相同点
不同点
一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
试一试：下面哪些数是方程
x2
–
x
–
6
=
0
的解?
-4，-3，
-2，-1，0，1，2，3，4
14
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x2
–
x
–
6
例4
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0,
9+4a=0,
4a=-9,
方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程会得到一个关于这个字母的一元一次方程，求解即可得到字母的值.
变式：已知a是方程
x2+2x－2=0
的一个实数根，求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得：
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值．
问题
在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
1.若设小路的宽是xm，则横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是
m2,两者重叠的面积是
m2.
32x
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？
整理以上方程可得
思考：
2×20x
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
2x2
x2-36x＋35=0
想一想：
还有其他的方法吗？试说明原因.
(20-x)(32-2x)=570
32-2x
20-x
审
建立一元二次方程模型的一般步骤
设
找
列
当堂练习
1.
下列哪些是一元二次方程？
√
×
√
×
×
√
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
2.填空：
0
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3.关于x的方程(k2－1)x2
＋
2(k－1)x＋2k＋
2＝0，
当k
时，是一元二次方程．
当k
时，是一元一次方程．
≠±1
＝－1
4.（1）已知方程5x?+mx-6=0的一个根为4，则m的值
为___________;
（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程得m2-4=0，
解得m=±2.
∵
m+2
≠0，
∴
m
≠-2，
综上所述：m
=2.
5.(1)
如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）；
解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为3x2
cm2.
整理，得
根据题意，得
200cm
150cm
(2)
如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，
整理，得
根据题意，得
拓广探索
已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根为1，
求a+b+c的值.
解：由题意得
思考：1.若
a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗?
解：由题意得
∴方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根是x=1.
2.
若
a-b
+c=0，4a+2b
+c=0
，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根吗?
x=-1
x=2
课堂小结
一元二次方程
概念
是整式方程；
只含一个未知数；
未知数的最高次数是2.
一般形式
ax2+bx+c=0
(a
≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
根
使方程左右两边相等的未知数的值.
建立一元二次方程模型
审→设→找→列第二十一章
一元二次方程
21.3
实际问题与一元二次方程
第3课时
几何图形与一元二次方程
学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.
一、知识链接
用长为60m的篱笆围一个矩形的菜园.宽AD为xm.用含x的代数式填空：
（1）如图①，AB=_________m,S矩形ABCD=___________;
（2）如图②，菜园中间用一根篱笆隔开，则AB=_________m,S矩形ABCD=___________;
（3）如图③，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则AB=_________m,S矩形ABCD=______.
图①
图②
图③
二、要点探究
探究点：几何图形与一元二次方程
探究1
要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
方法点拨：几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系.
如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
典例精析
例1
如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽为多少？
【变式题1】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
【变式题2】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
【变式题3】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
【变式题4】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？
方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路).
例2
如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58m的围栏围成总面积为200m2的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
【变式题1】如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用80m的围栏围成面积为600m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
【变式题2】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
方法点拨：围墙问题一般先设其中的一条边为x，根据周长等条件把另一边用x表示出来，最后根据面积公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.
三、课堂小结
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系
类型
课本封面问题
常采用图形平移能聚零为整方便列方程
彩条/小路宽度问题
动点面积问题
1.
在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（
）
A．x2+130x－1400=0
B．x2+65x－350=0
C．x2－130x－1400=0
D．x2－65x－350=0
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，?
然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000
cm3，求铁板的长和宽．
3.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3
，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，
AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9
cm?？
参考答案
自主学习
知识链接
(1)(30-x)
x(30-x)
(2)(30-1.5x)
x(30-1.5x)
(3)(60-3x)
x(60-3x)
课堂探究
二、要点探究
探究点：几何图形与一元二次方程
探究1
解：设中央矩形的长和宽分别为9a
cm和7a
cm由此得到上下边衬宽度之比为：
设上下边衬的9x
cm，左右边衬宽为7x
cm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可列出方程整理得16x2-48x+9=0，解方程得（不合题意，舍去）.故上下边衬的宽度为左右边衬的宽度为
典例精析
例1
方法一：解：设道路的宽为x米，依题意得20×32-32x-20x+x2=540,解得
x1=2，x2=50.当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2.
答：道路的宽为2米.
方法二：解：设道路的宽为x米，依题意得(32-x)(20-x)=540，解得
x1=2，x2=50.当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2.
答：道路的宽为2米.
【变式题1】解：设道路的宽为
x
米，可列方程为(32-x)(20-x)=540，解得
x1=2，x2=50（不合题意，舍去）.∴x=2.
答：道路的宽为2米.
【变式题2】解：设道路的宽为
x
米，可列方程为(32-2x)(20-x)=540，解得x1=18-，x2=18+（不合题意，舍去）.∴x≈1.45.
答：道路的宽为1.45米.
【变式题3】解：设道路的宽为
x
米，可列方程为(32-2x)(20-2x)=540，解得
x1=1，x2=25（不合题意，舍去）.∴x=1.
答：道路的宽为1米.
【变式题4】解：设横、竖小路的宽度分别为3x、
2x，
于是可列方程(32-4x)(20-6x)=解得
x1=，x2=（不合题意，舍去）.∴x≈0.62.则3x≈1.86,2x≈1.24.
答：横、竖小路的宽度分别为1.86米、1.24米.
例2
解：设AB长是x
m.依题意得
(58-2x)x=200，即x2-29x+100=0，解得x1=25，x2=4.x=25时，58-2x=8，x=4时，58-2x=50.
答：羊圈的边长AB和BC的长各是25m，8m或4m，50m.
【变式题1】
解：设AB长是x
m.依题意得(80-2x)x=600，即x2-40x+300=0，解得x1=10，x2=30.x=10时，80-2x=60>25，(舍去)，x=30时，80-2x=20<25.
答：羊圈的边长AB和BC的长各是30m，20m.
【变式题2】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x
m，则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.由题意得x(25-2x+1)=80，化简，得x2-13x+40=0，解得x1=5，x2=8.当x=5时，26-2x=16>12
(舍去），当x=8时，26-2x=10<12，故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.
当堂检测
1.B
2.解：设铁板的宽为x
cm,则长为2x
cm.依题意得5(2x-10)(x-10)=3000，即x2-15x-250=0.
解得
x1=25，x2=-10(舍去）.所以
2x=50.
答：铁板的长50cm，宽为25cm.
3.
解：设横向彩条的宽度2xcm
,竖彩条的宽度3xcm，依题意得
(20-6x)(30-4x)=400，即6x2-65x+50=0.解得（舍去）..
答：横向彩条的宽度cm
,竖彩条的宽度cm.
能力提升
解：若设出发x
s后可使△PCQ的面积为9cm?
,根据题意得AP=
xcm，PC=(6-x)cm，CQ=2xcm.依题意得
，整理，得x2-6x+9=0，解得x1=
x2=3.
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm?.
自主学习
D
A
B
C
课堂探究
当堂检测
PAGE
5(共28张PPT)
21.3
实际问题与一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第3课时
几何图形与一元二次方程
学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
导入新课
视频引入
生活中，我们经常看到给字画进行装裱，那为什么要装裱呢？我们一起来看一看
(60+2x)(40+2x)=3500
假如有一幅画长60cm，宽40cm，要给它四周裱上同样的宽度木框，使它总面积达到3500cm2
，设木框宽度xcm，你能列出等式吗？
讲授新课
引例：要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何
设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
27cm
21cm
合作探究
分析：这本书的长宽之比
：
，正中央的矩形长宽之比
：
.
9
7
9
7
27cm
21cm
设中央矩形的长和宽分别为9a
cm和7a
cm由此得到上下边衬宽度之比为：
27cm
21cm
设上下边衬的9x
cm，左右边衬宽为7x
cm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm.
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.
27cm
21cm
解方程得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
方程的哪个根合乎实际意义?
为什么?
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
于是可列出方程
整理，得
16x2-48x+9=0
解：设正中央的矩形两边别为9x
cm，7x
cm.依题意得
27cm
21cm
解得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系.
如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
方法点拨
20
32
x
x
解：设道路的宽为x米.
例1
如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为多少？
典例精析
还有其他解法吗？
方法一：
20
32
x
x
解：设道路的宽为
x
米.
20-x
32-x
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0
解得
x1=2，x2=50
当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.
∴取x=2.
答：道路的宽为2米.
方法二：
在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为
x
米.
(32-x)(20-x)=540
可列方程为
20
32
x
x
x
20-x
在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为
x
米.
(32-2x)(20-x)=540
可列方程为
32-2x
20
32
x
x
x
x
20
32
2x
2x
32-2x
20-2x
在宽为20m，长为
32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为
x
米.
(32-2x)(20-2x)=540
可列方程为
在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？
32cm
20cm
2x
3x
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
解：设横、竖小路的宽度分别为3x、
2x，
于是可列方程
(32-4x)(20-6x)=
—×20×32
20㎝
32㎝
3x
2x
32-4x
20-6x
3x
2x
6x
4x
32-4x
20-6x
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
视频：平移求面积动态展示
解：设AB长是x
m.
(58-2x)x=200
x2-29x+100=0
x1=25，x2=4
x=25时，58-2x=8
x=4时，58-2x=50
答：羊圈的边长AB和BC的长各是25m，8m或4m，50m.
例2
如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58
m的围栏围成面积为200
m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
解：设AB长是x
m.
(80-2x)x=600
x2-40x+300=0
x1=10，x2=30
x=10时，80-2x=60>25，(舍去)
x=30时，80-2x=20<25，
答：羊圈的边长AB和BC的长各是30m，20m.
变式
如图，要利用一面墙(墙长为25
m)建羊圈，用80
m的围栏围成面积为600
m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
变式
如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
住房墙
1m
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x
m，
由题意得
x(25-2x+1)=80
化简，得
x2-13x+40=0
解得
x1=5，x2=8
当x=5时，26-2x=16>12
(舍去）
当x=8时，26-2x=10<12
故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用x表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.
方法点拨
1.
在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（
）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
B
当堂练习
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，?
然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000
cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x
cm,则长为2x
cm.
5(2x-10)(x-10)=3000
x2-15x-250=0
解得
x1=25
x2=-10(舍去）
所以
2x=50
答：铁板的长50cm，宽为25cm.
3.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3
，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向彩条的宽度2xcm
,
竖向彩条的宽度3xcm.
(20-6x)(30-4x)=400
6x2-65x+50=0
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，
AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9
cm?？
根据题意得AP=
xcm，PC=(6-x)cm，CQ=2xcm
解：若设出发x
s后可使△PCQ的面积为9cm?.
整理，得
解得
x1=
x2=3
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm?.
能力提升
课堂小结
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系
类
型
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移能聚零为整方便列方程
动点面积问题第二十一章
一元二次方程
21.2
解一元二次方程
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.
难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
一、知识链接
1.一元二次方程的求根公式是什么？
2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？
二、要点探究
探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算
解下列方程并完成填空.
(1)x2+3x－4=0；
(2)x2－5x+6=0；
(3)2x2+3x+1=0.
想一想
方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？
一元二次方程
两根
关系
x1
x2
x2+3x－4=0
x2－5x+6=0
2x2+3x+1=0
猜一猜
1.
若一元二次方程的两根为x1，x2，则有x－x1=0，且x－x2=0，那么方程(x－x1)(x－x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
2.通过上表猜想，如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、
x2，那么，你可以发现什么结论？
要点归纳：一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、
x2，那么，.(前提条件是b2－4ac≥0)
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
典例精析
例1
(教材P16例4)利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1)
x2–6x–15
=
0；
(2)
3x2+7x－9
=
0；
(3)
5x–1
=
4x2.
方法总结：在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可.
例2
已知方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
变式题
已知方程3x2－18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
例3
不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.
练一练
设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：
(1)
，
(2)
，
(3)
，
(4)
.
方法总结：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
例4
设x1，x2是方程
x2
－2(k
－
1)x
+
k2
=0
的两个实数根，且4，求k的值.
方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母应该满足△≥0.
三、课堂小结
根与系数的关系的内容
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、
x2，那么，.
根与系数的关系的应用
1已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p
=
，
q=
.
2.如果－1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是
，m
=
.
3.已知方程
3x2－19x
+
m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
4.已知x1，x2是方程2x2+2kx+k－1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4；
(1)求k的值；
(2)求(x1－x2)2的值.
5.设x1，x2是方程3x2+4x－3
=
0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值.
(1)
(x1
+
1)(x2
+
1)；
(2)
拓展提升
6.
当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根差为1.
7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m
-2=0
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.
(2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|=
1
求m的值.
参考答案
自主学习
1、知识链接
1.当≥0时，方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的实数根可写为.
2.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系
想一想
一元二次方程
两根
关系
x1
x2
x2+3x－4=0
-4
1
x1+x2=-3，x1·x2=-4
x2－5x+6=0
3
2
x1+x2=5，x1·x2=6
2x2+3x+1=0
-1
x1+x2=，x1·x2=
猜一猜
1.方程(x－x1)(x－x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是x=x1或x=x2.
(x－x1)(x－x2)=x2-(x1+x2)x+x1x2=0,x1+x2=-p，x1x2=q.
2.x1+x2=，x1x2=.
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
典例精析
例1
解：（1）这里
a=1
,
b=
–
6
,
c=
–
15
.Δ
=
b2-
4ac
=(
–
6
)2
–
4
×
1
×(–
15)
=
96
>
0.
∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1
+
x2
=
–(
–
6
)
=6，x1
x2
=
–
15
.
（2）这里a
=
3
,
b
=7,
c
=
-9.Δ=b2
-
4ac
=
72
–4×3×(-9)
=157
>
0，∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1
+
x2
=，
x1
x2
=.
（3）方程可化为4x2
–
5x
+1
=0，这里
a
=4，
b
=
–
5，c
=
1.Δ
=
b2
-
4ac
=(–
5)2
–
4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，
x2，那么x1
+
x2
=，
x1
x2
=
例2
解：设方程的两个根分别是x1，x2，其中x1=2
.
所以x1
x2
=2x2=即x2
=由于x1
+
x2=2+
=
得k=－7.答：方程的另一个根是k=－7.
变式题
解：设方程的两个根分别是x1，x2，，其中x1=1.所以x1
+
x2=1+
x2=6，即
x2=5
.
由于x1
x2=1×5=
得m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.
例3
解：根据根与系数的关系可知：
（1）∵∴
（2）
练一练
（1）4
（2）1
（3）14
（4）12
例4
解：由方程有两个实数根，得Δ=
4（k
-
1）2
-
4k2
≥
0，即
-8k
+
4
≥
0.由根与系数的关系得x1
+
x2
=
2(k
-1)
,
x1
x2
=k
2.∴
=
4(k
-1)2
-2k2
=
2k2
-8k
+
4.由
4，得
2k2
-
8k
+
4
=
4，解得
k1=
0，
k2
=
4
.经检验，
k2
=
4
不合题意，舍去.所以k=0.
当堂检测
1.1
-2
2.
-3
3.解：将x
=
1代入方程中3
-19
+
m
=
0.解得m
=
16，设另一个根为x1，则
4.解：(1)根据根与系数的关系得
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得k=-7；
(2)因为k=-7,所以则
5.
解：根据根与系数的关系得
（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
（2）
拓展提升
6.解：设方程两根分别为x1，x2（x1＞x2），则x1-x2=1.由根与系数的关系，得
7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2）=4m2-4m2+8m=8m≥0.∵m≠0，∴m的取值范围为m＞0.
（2）∵方程有实数根x1，x2，
解得m=8.经检验，m=8是方程的解.
自主学习
课堂探究
当堂检测
PAGE
521.2.1
配方法（1）
学习目标：
1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如
=p(p≥0)或（mx+n）
=p(p≥
0)的方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点：掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法
解特殊的一元二次方程。
导学流程：
自主探索
自学P30问题1、及思考完成下列各题：
解下列方程：
（1）x2－2＝0;
（2）16x2－25＝0.
（3）（x＋1）2－4＝0；
（4）12（2－x）2－9＝0.
?
总结归纳
如果方程能化成
=p或（mx+n）
=p(p≥
0)形式，那么可得
巩固提高
仿例完成P31页练习
课堂小结
你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？
达标测评
1、解下列方程：
（1）x2＝169；
（2）45－x2＝0；
?
（3）x2-12=0
（4）x2-2
=0
?
?
?
（9）x2+2x+1=0
（10）x2+4x+4=0
?
（11）x2-6x+9=0
（12）x2+x+
=0
?
?
PAGE
2(共21张PPT)
21.3
实际问题与一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时
传播问题与一元二次方程
学习目标
1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.（重点）
2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.（难点）
3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题.
视频引入
导入新课
知道了传染病的特征和防护措施，那你知道传染病是如何传染的吗？
讲授新课
引例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
传染源记作A，其传染示意图如下：
合作探究
第2轮
???
1
2
x
第1轮
第1轮传染后人数
x+1
第2轮传染后人数
x(x+1)+x+1
注意：不要忽视A的二次传染
x1=
,
x2=
.
根据示意图，列表如下：
解方程，得
答：平均一个人传染了________个人.
10
-12
(不合题意,舍去)
10
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
(1+x)2=121
注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.
1+x=(1+x)1
1+x+x(1+x)=(1+x)2
根据题意，得
传染源人数
第1轮传染后的人数
第2轮传染后的人数
1
想一想：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?
第2种做法
以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331人.
分析
第1种做法
以1人为传染源,3轮传染后的人数是：
(1+x)3=(1+10)3=1331人.
(1+x)3
第一轮传染后的人数
第二轮传染后的
人数
第三轮传染后的
人数
(1+x)1
(1+x)2
例1
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支?
主干
支干
支干
……
小分支
小分支
……
小分支
小分支
……
……
x
x
x
1
解：设每个支干长出x个小分支，
则
1+x+x2=133
即x2+x-132=0
解得，
x1=11，x2=－12(不合题意，舍去)
答：每个支干长出11个小分支.
交流讨论
1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？
每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2.解决这类传播问题有什么经验和方法？
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
方法归纳
建立一元二次方程模型
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
例2
某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？
解：设共有
x
个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，共要进行x(x－1)场比赛，但每两班之间只比赛一场，故根据题意得
解得
x1＝6，x2＝－5(舍去)．∴x＝6.
答：共有6个班级参赛．
某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？
解：设共有
x
人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手x(x－1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得
解得
x1＝5，x2＝－4(舍去)．∴x＝5.
答：共有5个人参加聚会．
练一练
握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了一次，所以要在总数的基础上除以2.
【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？
解：设共有
x
个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得
解得
x1＝9，x2＝－8(舍去)．∴x＝9.
答：共有9个班级参赛．
关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列等量关系.
例3
一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
解：设这个两位数个位数字为
x
，则十位数字为(x－3)，根据题意得
解得
x1＝5，x2＝6．
答：这个两位数是25或36.
∴x＝5时，十位数字为2，x＝6时，十位数字为3.
解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准确的表达出原数.
1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（
）
A.x2=1980
B.
x(x+1)=1980
C.
x(x-1)=1980
D.x(x-1)=1980
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为（
）
A.1+x+x(1+x)=73
B.1+x+x2=73
C.1+x2
=73
D.(1+x)2=73
当堂练习
D
B
3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（
）
A.10
B.9
C.8
D.7
D
4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.
10
5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，则初三有几个班？
解：初三有x个班，根据题意列方程，得
化简，得
x2-x-12=0
解方程，得
x1=4，
x2=-3（舍去）
答：初三有4个班.
分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌
60
60x
60(1+x)
60(1+x)
60(1+x)x
6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
传染源
本轮分裂成有益菌数目
本轮结束有益菌总数
第一轮
第二轮
第三轮
解：（1）设每个有益菌一次分裂出x个有益菌
60+60x+60(1+x)x=24000
x1=19，x2=-21（舍去）
∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
（2）三轮后有益菌总数为
24000×(1+19)=480000（个）.
7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位数的数字为(5－x)，
解得
x1=2
，x2=3.
答：原来的两位数是23或32.
依题意得(10x+5－x)[10(5－x)+x]=736
当x＝2时，5－x=3；
当x＝3时，5－x=2；
课堂小结
列一元二次方程解应用题
与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方要检验根的合理性.
传播问题
数量关系：
第一轮传播后的量=传播前的量×
(1+每次传播数量)
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×(1+每次传播数量)=传播前的量×(1+每次传播数量)2
数字问题
握手问题
互赠照片问题
关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.
甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.
甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.
步骤
类型(共31张PPT)
21.2
解一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
21.2.2
公式法
学习目标
1.经历求根公式的推导过程.（难点）
2.会用公式法解一元二次方程.(重点）
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
导入新课
复习引入
1.如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?
想一想
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
能否也用配方法得出它的解呢？
讲授新课
合作探究
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0).
二次项系数化为1，得
解：
移项，得
配方，得
即
①
问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？
∵a
≠0，∴4a2>0.
式子b2-4ac
的值有一下三种情况：
（1）b2-4ac
＞0，
方程有两个不等的实数根
（2）b2-4ac
=0
（3）b2-4ac
＜0
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
按要求完成下列表格：
练一练
0
4
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
的值
根的
情况
例1
已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是(
)
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×(-1)=
5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
B
典例精析
例2
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－3=0；
（2）4x2=12x－9；
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，
∴b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0，
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
（3）
7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0，
∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程无实数根．
b2
-
4ac
>
0
b2
-
4ac
=
0
b2
-
4ac＜
0
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
例3
若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(
)
A.q≤4
B.q≥4
C.q<16
D.q>16
C
典例精析
【变式题】二次项系数含字母
若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(
)
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
B
当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.
方程有两个不相等的实数根
分析：
二次项系数不为0
k≠0
k>-1且k≠0
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于x的方程kx2-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是(
)
A.k≥-1
B.k≥-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
分析：
分类讨论
k=0
k≠0
原方程变形为-2x-1=0，有实数根
b2-4ac≥0
k≥-1
A
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
视频：求根公式的趣味记忆
例4
用公式法解下列方程：
典例精析
（1）x2-4x-7=0;
方程有两个不相等的实数根.
解：a=1，b=-4，c=-7
b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.
方程有两个相等的实数根
（3）5x2－3x=x+1;
方程有两个不相等的实数根
a=5，b=－4，c=－1
b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.
解：方程化为
5x2－4x－1=0
（4）x2+17=8x.
方程无实数根.
a=1，b=－8，c=17
b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.
解：方程化为
x2－8x+17=0
要点归纳
公式法解方程的步骤
1.变形：化已知方程为一般形式；
2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；
3.计算：b2-4ac的值；
4.判断：若b2-4ac
≥0，则利用求根公式求出；
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
1.不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2+3x-4=0；
（2）x2-x+
=0；
解：（1）2x2+3x-4=0，a=2，b=3，c=-4，
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）x2-x+
=0，a=1，b=-1，c=
.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×
=0.
∴方程有两个相等的实数根．
当堂练习
（3）x2-x+1=0，a=1，b=-1，c=1.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.
∴方程无实数根．
（3）
x2-x+1=0.
当堂练习
2.解方程：x2
+7x
–
18
=
0.
解：这里
a=1，
b=
7，
c=
-18.
∵
b
2
-
4ac
=7
2
–
4
×
1×
(-18
)
=121>0，
即
x1
=
-9，
x2
=
2
.
当堂练习
3.
解方程：(x
-
2)
(1
-
3x)
=
6.
解：去括号
，得
x-2-3x2
+
6x
=
6，
化为一般式
3x2-7x
+
8
=
0，
这里
a
=
3，b
=-7，c
=
8.
∵b2
-
4ac=(-7
)2
–
4
×
3
×
8
=
49–96
=
-
47
<
0，
∴原方程没有实数根.
∵
b2
-
4ac
=
27
-
4×2×3
=
3
>
0
,
5.(1)关于x的一元二次方程
有两个实根，则m的取值范围是
.
（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.
解：化为一般式（m-1）x2-2mx+m-2=0．
△＝4m2?4(m?1)(m?2)≥0，且m-1≠0
6.不解方程，判断关于x的方程
的根的情况.
解：
所以方程有两个实数根．
能力提升：
在等腰△ABC
中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC
的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实
数根，
所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.
由配方法解得b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC
的三边长为4，4，5，
其周长为4+4+5=13.
课堂小结
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
根的判别式b2-4ac
务必将方程化为一般形式实际问题与一元二次方程（2）
教学目标
掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
重难点关键
1．重点：如何解决增长率与降低率问题。
2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n为增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的量。
教学过程
探究2
两年前生产
1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产
1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为
(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为
(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为
元,两年后甲种药品成本为
元,依题意得
5000（1-x）2=3000
解方程,得
?
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?
比较:两种药品成本的年平均下降率。
?
?
?
思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗
?应怎样全面地比较对象的变化状况?
（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）
小结：类似地
这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)
二、巩固练习（列出方程）
1某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?
?
2某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．
?
3公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
?
4.
某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
三、应用拓展
例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
?
?
?
?
?
3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（
）．
A．
B．p
C．
D．
二、填空题
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．
3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是_________.
PAGE
1第二十一章
一元二次方程
21.3
实际问题与一元二次方程
第2课时
平均变化率问题与一元二次方程
学习目标：1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.
2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.
重点：通过建立数学模型来解决增长率与降低率问题.
难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.
一、知识链接
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是75分，第二次月考增长了20%，第三次月考又增长了20%，问他第三次数学成绩是多少？
二、要点探究
探究点1：平均变化率问题与一元二次方程
探究两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000
元，生产1t乙种药品的成本是3600
元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
典例精析
例1
前年生产1吨甲产品的成本是3600元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲产品的成本是1764元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
注意：下降率不可为负，且不大于1.
变式：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
例2
为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
注意：增长率不可为负，但可以超过1.
问题
你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
方法归纳：若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”，降低取“－”).
例3
某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
探究点2：营销问题与一元二次方程
练一练
1.假设某种商品的成本为每件2元，售价为3元时，可卖100件.
(1)此时的利润w=
元；
(2)若售价涨了1元，每件利润为
元，同时少卖了10件，销售量为
件，利润w=
元；
(3)若售价涨了2元，每件利润为
元，同时少卖了20件，销售量为
件，利润w=
元；
(4)若售价涨了3元，每件利润为
元，同时少卖了30件，销售量为
件，利润w=
元；
(5)若售价涨了x元，每件利润为
元，同时少卖了
件，销售量为
件，利润w=
元.
想一想
若想售卖这种商品获取利润300元，则每件商品应涨价多少元？
变式训练
假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖100千克.若售价涨了1元，则少卖了5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？
注意：题目中有限定条件时，要注意取舍.
例4
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
变式训练
增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.
若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
方法归纳：
用一元二次方程解决营销问题的一般步骤
1.设未知数x,用含x的代数式表示销量、单件利润；
2.根据利润=销量×单件利润列方程；
3.解方程；
4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍.
5.作答.
三、课堂小结
平均变化率问题
增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
降低率问题
a(1－x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
营销问题
总利润=单件利润×销量=（售价-进价）×销量
1.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x，列方程(
)
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为
.
3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
4.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
5.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
能力提升
为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
参考答案
自主学习
知识链接
75×（1+20%）（1+20%）=108（分），即小明第三次数学成绩是108分.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：平均变化率问题与一元二次方程
探究
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元，于是有5000(1-x)2=3000，解方程，得x1≈0.225，
x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后甲种药品成本为6000(1-y)元，两年后乙种药品成本为6000(1-y)2元，于是有6000(1-y)2=3600，解方程，得y1≈0.225，
y2≈1.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.由上可知，甲乙两种药品的下降额不同，但是下降率相同.
典例精析
例1
解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得
5000(1-x)2=
3000，解方程，得x1≈0.225=22.5%，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
变式：设原价为1个单位，每次降价的百分率为
x.根据题意，得
解这个方程，得
（舍去），
答：每次降价的百分率为29.3%.
例2
解：设增长率为x，根据题意，得20（1+x）2=24.2.解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．
答：增长率为10%.
例3
解：设这个增长率为x.根据题意，得200+200(1+x)
+200(1+x)2=950.整理方程，得4x2+12x-7=0，这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5=50%．
答：这个增长率为50%.
探究点2：营销问题与一元二次方程
练一练
（1）100
（2）2
90
180
（3）3
80
240
（4）4
70
280
（5）(1+x)
10x
(100-10x)
(1+x)(100-10x)
想一想
解：设售价涨了x元，依题意得(1+x)(100-10x)=300，解得x1=4,x2=5.
即当每件商品涨价4元或5元时，能获得300元利润.
变式训练
解：设售价涨了x元，依题意得(4+x)(100-5x)=640，解得x1=4,x2=12.∵售价不高于成本价的2.5倍，即x+12≤2.5×8.∴x≤8.∴x=4.即每千克糖应涨价4元.
例4
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得（40-x)(20+2x)=1200，
整理得x2-30x+200=0.
解方程得x1=10，x2=20.
答：每件衬衫应降价10元或20元.
变式训练
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得（40-x)(20+2x)=1200，整理得，x2-30x+200=0.
解方程得x1=10，x2=20.
因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.
答：每件衬衫应降价20元.
当堂检测
1.B
2.2(1+x)+2(1+x)2=8
3.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,根据题意，得7200(1+x)2=8712，系数化为1得(1+x)2=1.21.直接开平方得，1+x=1.1，1+x=-1.1.则x1=0.1=
10%，x2=-2.1(舍去).
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
4.解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则(500－10x)·
[(50+x)－40]=8000，整理得
x2－40x+300=0，
解得x1=10，x2=30都符合题意.
当x=10时，50+x
=60，500－10
x=400；当x=30时，50+x
=80，
500－10
x=200.
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应为400；若售价为80元，则进货量应为200个.
5.解：（1）设平均每次下调的百分率为x，
由题意，得5(1－x)2=3.2，解得
x1=20%，x2=1.8
（舍去）∴平均每次下调的百分率为20%；
（2）解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠.
能力提升
解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，依题意得解得
所以y与x的函数关系式为y=-5x+200．
（2）依题知（x-25）（-5x+200）=130．整理方程，得x2-65x+1026=0．解得x1=27，x2=38．∵此设备的销售单价不得高于35万元，∴x2=38（舍），所以x=27．
答：该设备的销售单价应是27
万元．
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课堂探究
当堂检测
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3第二十一章
一元二次方程
21.3
实际问题与一元二次方程
第1课时
传播问题与一元二次方程
学习目标：1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.
2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.
3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题.
重点：分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程来解决问题.
难点：正确分析问题（传播问题）中的数量关系.
一、知识链接
1.解一元二次方程的四种解法是什么？
2.列方程解应用题的一般步骤是什么？
二、要点探究
探究点1：传播问题与一元二次方程
探究1
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?
想一想
如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?
典例精析
例1
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支?
讨论1
在分析探究1和例1中的数量关系时它们有何区别？
讨论2
解决这类传播问题有什么经验和方法？
方法归纳：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．
(2)“设”是指设未知数；
(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程；
(4)“解”就是求出所列方程的解；
(5)“验”就是对所得的解进行检验，得到实际问题的解．
例2
某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？
练一练
某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？
方法总结：握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了一次，所以要在总数的基础上除以2.
【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？
方法总结：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列等量关系.
例3
一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
方法总结：解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准确的表达出原数.
三、课堂小结
列一元二次方程解应用题的步骤
与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方是要检验根的合理性.
列一元二次方程解应用题的类型
传播问题
数量关系：第一轮传播后的量=传播前的量×
(1+每次传播数量)第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×(1+每次传播数量)=传播前的量×(1+每次传播数量)2.
数字问题
关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.
握手问题
甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.
互赠照片问题
甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.
-
1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（
）
A.
x2=1980
B.
x(x+1)=1980
C.
x(x-1)=1980
D.
x(x-1)=1980
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为（
）
A.
1+x+x(1+x)=73
B.
1+x+x2=73
C.
1+x2=73
D.
(1+x)2=73
3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（
）
A.
10
B.
9
C.
8
D.
7
4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.
5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，则初三有几个班？
6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
参考答案
自主学习
知识链接
1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
2.设未知数，找等量关系，列方程，解方程，检验作答.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：传播问题与一元二次方程
探究1
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得(1+x)2=121.解方程，得x1=10,
x2=-12（不符合题意，舍去）.
答：平均一个人传染了10个人.
想一想
第1种做法：
以1人为传染源,3轮传染后的人数是：(1+x)3=(1+10)3=1331（人）.
第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.
典例精析
例1
解：设每个支干长出x个小分支，则
1+x+x2=133，即x2+x-132=0.解得x1=11,
x2=-12（不合题意，舍去）.
答：每个支干长出11个小分支.
讨论1
每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.
讨论2
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
例2
解：设共有
x
个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，共要进行x(x－1)场比赛，但每两班之间只比赛一场，故根据题意得解得x1=6,
x2=-5（舍去）.
∴x=6,
答：共有6个班级参赛．
练一练
解：设共有
x
人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手x(x－1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得解得x1=5,
x2=-4（舍去）.
∴x=5.答：共有5个人参加聚会．
【变式题】解：设共有
x
个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得解得x1=9,
x2=-8（舍去）.
∴x=9.答：共有9个班级参赛．
例3
解：设这个两位数个位数字为x
，则十位数字为(x－3)，根据题意得x2=10(x-3)+x,解得x1=5,
x2=6.∴x＝5时，十位数字为2，x＝6时，十位数字为3.答：这个两位数是25或36.
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1.D
2.B
3.D
4.10
5.
解：初三有x个班，根据题意列方程，得化简，得x2-x-12=0,解得x1=4,
x2=-3（舍去）.
答：初三有4个班.
6.解：（1）设每个有益菌一次分裂出x个有益菌,60+60x+60(1+x)x=24000,∴x1=19,
x2=-21（舍去）.∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
（2）三轮后有益菌总数为
24000×(1+19)=480000（个）.
7.解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位数的数字为(5－x)，依题意得(10x+5－x)[10(5－x)+x]=736，解得x1=2,
x2=3.当x＝2时，5－x=3；当x＝3时，5－x=2.答：原来的两位数是23或32.
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4第二十一章
一元二次方程
21.2.1
配方法
第1课时
直接开平方法
学习目标：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p
(p≥0)的方程.
重点：运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p
(p≥0)的方程.
难点：理解一元二次方程“降次”的转化思想，并能把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
一、知识链接
1.如果
x2=a，则x叫做a的
.
2.如果
x2=a(a≥0)，则x=
.
3.如果
x2=64，则x=
.
4.任何数都可以作为被开方数吗？
二、要点探究
探究点1：直接开平方法解形如x2=p
(p≥0)的方程
问题1
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
试一试
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1)
x2=4
(2)
x2=0
(3)
x2+1=0
要点归纳：一般的，对于可化为方程x2
=
p，(I)
(1)当p>0
时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根，；
(2)当p=0
时，方程(I)有两个相等的实数根；
(3)当p<0
时，因为任何实数x，都有x2≥0
，所以方程(I)无实数根.
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
典例精析
例1
利用直接开平方法解下列方程：
(1)
x2=6；
(2)
x2－900=0.
方法总结：通过移项把方程化为x2
=
p的形式，然后直接开平方即可求解
探究点2：直接开平方法解形如(x+n)2=p
(p≥0)的方程
想一想
对照上面的方法，你认为怎样解方程(x+3)2=5？
方法总结：解形如(x+n)2=p
(p≥0)的方程，先降次转化为两个一元一次方程，再求解即可.
例2
解下列方程：
（1）(x＋1)2=
2
；
（2）(x－1)2－4
=
0；
（3）12(3－2x)2－3
=
0.
方法总结：通过移项化简将方程转化为(x+n)2=p(p≥0)的形式，再进行降次转化为两个一元一次方程.
例3
解下列方程：
方法总结：通过因式分解将方程转化为(x+n)2=p(p≥0)的形式.
3、课堂小结
直接开平方法的概念
利用平方根的定义求方程的根的方法.
直接开平方法的步骤
关键要把方程化成
x2=p(p≥0)或(x+n)2=p
(p≥0).
直接开平方法的基本思路
一元二次方程通过降次、直接开平方法转化为两个一元一次方程
1.下列解方程的过程中，正确的是（
）
A.x2=-2，解方程，得x=±
B.(x-2)2=4，解方程，得x-2=2，x=4
C.4(x-1)2=9，解方程，得4(x-1)=±3，x1=，x2=
D.(2x+3)2=25，解方程，得2x+3=±5，x1=
1，x2=-4
2.填空：
(1)方程x2=0.25的根是
；
(2)方程2x2=18的根是
；
(3)方程(2x-1)2=9的根是
.
3.解下列方程：
(1)x2-81＝0；
(2)2x2＝50；
(3)(x＋1)2=4
.
4.(请你当小老师)下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗？如果有错，指出具体位置并帮他改正.
解：
①
②
③
④
拓展提升
解方程：
参考答案
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一、知识链接
1.平方根
2.±
3.±8
4.负数不可以作为被开方数.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：直接开平方法解形如x2=p的方程
问题1
解：设一个盒子的棱长为x
dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程10×6x2=1500，由此可得x2=25，开平方得x=±5，即x1=5，x2=－5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
试一试
(1)解：根据平方根的意义，得x1=2，x2=－2.
(2)解：根据平方根的意义，得x1=x2=0.
(3)解：移项，得x2=－1，因为负数没有平方根，所以原方程无解.
典例精析
例1
解：(1)x2=6，直接开平方，得，∴.
(2)移项，得x2=900，直接开平方，得，∴.
探究点2：直接开平方法解形如(x+n)2=p
(p≥0)的方程
想一想
解：直接开平方，得，∴，或.
∴.
例2
解：(1)∵x+1是2的平方根，∴.即.
(2)移项，得(x-1)2=4，∵x-1是4的平方根，∴.即.
(3)移项，得12(3-2x)2=3，两边都除以12，得(3-2x)2=0.25.∵3-2x是0.25的平方根，
∴.即，或.∴.
例3
解：(1)
方程的两根为.
(2)方程的两根为.
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1.D
2.(1)
(2)
(3)
3.解：(1)；
(2)；
(3)
4.解：不对，从②开始错，应改为∴.
拓展提升
解：或.∴方程的两根为.
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4(共28张PPT)
小结与复习
第二十一章
一元二次方程
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
复习目标
1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.
2.能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题.
3.列一元二次方程解决实际问题.（重、难点）
4.进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用.
本章知识结构框图
一般形式：
ax2
+
bx
+
c
=0(a≠0)
a
b
c
二次项系数
一次项系数
常数项
一元二次方程
概念
是整式方程
只含一个未知数
未知数的最高次数是2
要点梳理
根
根的判别式Δ=b2-4ac
Δ>0,方程有两个不等的实数根
Δ=0,方程有两个相等的实数根
Δ<0,方程无实数根
根与系数的关系
解法
因式分解法：
配方法：
公式法：
若A·B=0，则A=0或B=0
形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式直接开平方
一般形式的方程先配方为(mx+n)2=p(p≥0)的形式再求解
应用
列一元二次方程解实际问题的步骤：
审设列解验答
几种常见类型
传播问题
单(双)循环问题
增长率问题
销售问题
数字问题
图形面积问题
例1
下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2-x（x+3）=0
B．ax2+bx+c=0
C．x2-2x-3=0
D．x2-2y-1=0
解析
A.将方程化简后，为一次方程；B.未限定二次项系数a不为0；D.含有两个未知数，只有C符合一元二次方程的定义，故选C.
1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是
，一次项系数是
，常数项是
.
4
-2
0
考点讲练
C
解析
根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
例2
若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m=
.
【易错提示】求出m值有两个1和-1，由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.
-1
2.
（1）一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为
.
（2）若x=-2是方程ax2+bx+3=0（a≠0）的一个解，则代数式1-8a+4b的值是
．
（3）若x=a是方程x2-x-1=0的一个根，则-a3+2a+2020的值为_________.
-1
2019
7
解析
(1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；
(2)先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边长，进而求得三角形周长．
【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；(a-b)2与(a+b)2
要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯.
例3
(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（
）
A.
(x-1)2=6
B.(x+2)2=9
C.
(x+1)2=6
D.(x-2)2=9
(2)
(易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程
x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A.13
B.15
C.18
D.13或18
A
A
3.解方程：
(1)x2-4x-1=0
;
(1)x2-4x-1=0
;
(2)(2x-1)2=(3-x)2;
直接开方法：2x-1=±(3-x)，
即2x-1=3-x或2x-1=-3+x，
因式分解法：移项得(2x-1)2-(3-x)2=0.
分解因式，得(2x-1-3+x)(2x-1+3-x)=0.
即3x-4=0，或x+2=0.
拓展：(x2-2x)2-5x2+10x+6=0．
解：方程整理得(x2-2x)2-5(x2-2x)+6=0，
设x2-2x=m，则原方程变为m2-5m+6=0，
换元法
解得m1=3，m2=2，
当m=3时，x2-2x=3，解得x=3或-1，
A
【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a，b，c的值.
4.下列所给方程中，没有实数根的是（
）
A.
x2+x=0
B.
5x2-4x-1=0
C.3x2-4x+1=0
D.
4x2-5x+2=0
5.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是 （写出一个即可）．
D
0
例5
已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝
．
25
解析：根据根与系数的关系可知，m+n=4，mn=-3.
m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25.故填25.
【重要变形】
解：(1)根据题意得Δ=(2m)2-4(m2+m)≥0，
解得m≤0.
(2)根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=m2+m，
故m的值是-2．
∴(-2m)2-2(m2+m)=12，
解得m1=-2，m2=3(不合题意，舍去)．
考点五
一元二次方程的应用
例6
某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）=1260
B．2x（x+1）=1260
C．x（x-1）=1260×2
D．x（x-1）=1260
D
7.有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为
．
1+x+x（1+x）=121
例7
新冠肺炎疫情期间，某餐馆老板小王每日为一线抗疫医护人员免费提供3000份盒饭，各省医务人员纷纷驰援武汉之后，小王连续两次增加盒饭数量，每日提供5880份盒饭.求平均每次增加的盒饭数量的百分率.
解：设平均每次增加的盒饭数量的百分率是x，
根据题意得
3000(1+x)2=5880
解得
x1=-2.4
(舍去)，
x2=0.4=40%.
答：平均每次增加的盒饭数量的百分率是40%.
例8
某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨1元，平均每天就少售出2件.
(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？
(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
解析：本题为销售中的利润问题，其基本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.
4
32
x-20
32-2(x-24)
(x-20)[32-2(x-24)]
其等量关系：总利润=单件利润×销售量.
解：(1)32-(x-24)
×2=80-2x.
(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
【易错提示】根据实际情况及题目限制条件，对根进行取舍.
128
解得
x1=25，
x2=35.
由题意x≤28，∴x=25，即售价应当为25元.
单件利润
销售量（件）
每天利润（元）
正常销售
涨价销售
8.2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．
（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；
即a的值是25.
解：
由题意得256(1+a%)2=400，
解得a1=25，a2=-225(舍去)，
即2、3这两个月的月平均增长率为25%，
（2）若农产品礼包进价为每包25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？
答：当农产品每袋降价4元时，该农产品在4月份可获利4620元．
解：设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元．
根据题意可得(40-25-m)
(400+5m)=4620，
解得m1=4，m2=-69(舍去)，
例9
某单位准备将院内一个长为30m，宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形）
解：设小道进出口的宽为xcm，
根据题意得
(30-2x)(20-x)=532
x2-35x+34=0
解得x1=1，
x2=34（舍去）
答：小道进出口的宽度应为1米.
解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.
（注意：这里的横竖斜小路的的宽度都相等）
平移转化
课堂小结一元二次方程
教学时间
课题
21.1
一元二次方程
课型
新授
教学媒体
多媒体
教学目标
知识技能
1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根
过程方法
1..通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念，
情感态度
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点
一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念
教学难点
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.二、探究新知探究课本问题2分析：1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛场数？整理所列方程后观察：1.方程中未知数的个数和次数各是多少？2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？4x+3=0；
；；；概念归纳：1.一元二次方程定义：分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式：分析：.为什么规定≠0？.方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程的各项分别是什么？各项系数是什么？3.特殊形式：；；课本例题分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号.一元二次方程的根的概念1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0（2）x2+1=0
（3）x2-3x=0
（4）4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？5.排球邀请赛问题中，所列方程的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？归纳：一元二次方程的根的情况一元二次方程的解要满足实际问题三、课堂训练1.课本练习2补充：1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（
）．
①3x2+7=0
②ax2+bx+c=0
③（x-2）（x+5）=x2-1
④3x2-=0
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个2）.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a范围________．3).已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________4).关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？四、小结归纳1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.五、作业设计必做：P4：1.2.4.6.7选做：.P29：3.5.7
点题，板书课题.学生读题找等量关系列方程.学生观察所列方程整理后的特点，把握方程结构，初步感知一元二次方程概念.学生尝试叙述，然后师生归纳师生分析概念和一般形式.学生根据相关概念作答，复习巩固.学生类比一元一次方程的解尝试叙述学生思考，讨论完成，学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正师生归纳总结，学生作笔记.
联系曾经学习过的方程知识衔接本章，明确本节课内容淡化列方程难度，重点突出方程特点
通过比较，对一元二次方程的概念达到共识，从而为掌握概念作准备.全面理解和掌握识记、理解相关概念通过类比，迁移提高加深对概念理解和运用，同时对一元二次方程的根的情况初步感知使学生巩固提高，了解学生掌握情况纳入知识系统
教学反
思第二十一章
一元二次方程
21.2
解一元二次方程
21.2.3
因式分解法
学习目标：1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
重点：运用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
难点：根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
一、知识链接
1.用公式法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.用学过的方法解一元二次方程(x－3)(x－5)=0.
二、要点探究
探究点1：因式分解法解一元二次方程
问题1
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10
的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?
思考1
除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程10x－4.9x2=0？
思考2
解方程10x－4.9x2时，二次方程是如何降为一次的？
要点归纳：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
试一试
下列各方程的根分别是多少？
(1)
x(x－2)=0；
(2)
(y+2)(y－3)=0；
(3)
(3x+6)(2x－4)=0；
(4)
x2=x.
典例精析
例1
(教材P14例3)解下列方程：
(1)
；
(2)
练一练
解下列方程：
(1)
(x+1)2=5x+5；
(2)x2-6x+9=(5-2x)2．
拓展提升：十字相乘法
试一试
解方程x2+6x-7=0.
x2
+
6x
-7
-x+7x=6x
练一练
解下列方程：
(1)x2-5x+6=0；
(2)x2+4x-5=0；
(3)(x+3)(x-1)=5；
(4)2x2-7x+3=0.
探究点2：灵活选用方法解方程
例2
用适当的方法解方程：
(1)
3x(x+5)=5(x+5)；
(2)
(5x+1)2=1；
(3)
x2－12x=4；
(4)
3x2
=
4x
+
1.
要点归纳：解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；
2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0
(ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
三、课堂小结
因式分解法
内容
概念
当右边=0时，将方程左边因式分解.
原理
如果a
·b=0，那么a=0或b=0.
步骤
简记歌诀：右化零
左分解两因式
各求解
1.填空.
①
x2－3x+1=0；
②
3x2－1=0；
③
－3t2+t=0；
④
x2－4x=2；
⑤
2x2－x=0；
⑥
5(m+2)2=8；
⑦
3y2－y－1=0；
⑧
2x2+4x－1=0；
⑨
(x－2)2=2(x－2).
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
2.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为
；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=
，
x2=
.
3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程(x－5)(x+2)=18.
解：原方程化为：
(x－5)(x+2)=3×6.
①
由x－5=3，得x=8；②
由x+2=6，得x=4；
③
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
4.解方程.
(1)
；
(2)
；
(3)2x2-5x+1=0；
(4)x2+4x-2=2x+3；
(5)(3m+2)2-7(3m+2)+10=0．
5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加到原来的2倍，求小圆形场地的半径．
挑战自我
(1)已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是________;
(2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2-13x+40=0的根，则此三角形的周长为________;
(3)已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二
次方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是________.
参考答案
自主学习
1、知识链接
1.①变形：化已知方程为一般形式；②确定系数：用a，b，c写出各项系数；
③计算：b2－4ac的值；④判断：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若b2－4ac<0，则方程没有实数根.
2.解：方程整理得x2-8x+15=0,配方得x2-8x+16=1,即（x-4）2=1.开平方，得x-4=1，或x-4=-1,解得x1=5,x2=3.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：因式分解法解一元二次方程
问题1：解：设物体经过
x
s落回地面，这时它离地面的高度为0
m
，即10x-4.9x2
=0.
配方法解方程10x-4.9x2=0.
解：
公式法解方程10x-4.9x2=0.
解：方程可化为4.9x2-10x=0,
∵a=4.9,b=-10,c=0,∴b2-4ac=(-10)2-4×4.9×0=100.
思考1
能
思考2
将方程10x－4.9x2=0的左边进行因式分解，根据如果a
·
b
=
0，那么
a
=
0或
b
=
0.将方程转化为两个一次方程.
试一试
解：(1)
x1=0，x2=2；
（2）
y1=-2，y2=3
；(3)
x1=-2，x2=2；
(4)
x1=0，x2=1.
典例精析
例1
解：(1)因式分解，得(x－2)(x＋1)=0.于是得x－2＝0或x＋1=0,x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得4x2-1=0,因式分解，得
(
2x＋1)(
2x－1
)=0.2x＋1=0或2x－1=0,
于是得
练一练
解：(1)∵(x+1)2=5(x+1),∴(x+1)2-5(x+1)=0，则(x+1)(x-4)=0，∴x+1=0，或x-4=0，∴x1=4，x2=-1．
(2)方程整理得(x-3)2-(5-2x)2=0，则[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0，∴-x+2=0，或3x-8=0，
拓展提升：
试一试
（x+7）(x-1)
（x+7）(x-1)
x+7
x-1
-7
1
练一练
解：（1）分解因式，得(x-2)(x-3)=0，解得x1=2，x2=3；
（2）分解因式，得(x+5)(x-1)=0，解得x1=-5，x2=1；
（3）整理得x2+2x-8=0，分解因式，得(x+4)(x-2)=0，解得x1=-4，x2=2；
（4）解：分解因式，得(2x-1)(x-3)=0，解得
探究点2：灵活选用方法解方程
例2
解：（1）化简
(3x
-5)
(x
+
5)
=
0.即
3x
-
5
=
0
或
x
+
5
=
0.
（2）开平方,得5x
+
1
=
±1.
（3）配方，得x2
-
12x
+
62
=
4
+
62,即
(x
-
6)2
=
40.开平方，得
（4）解：化为一般形式3x2
-
4x
-
1
=
0.
∵Δ=b2
-
4ac
=
28
>
0,
.
当堂检测
1.
②⑥
③⑤⑨
①⑦⑧
④
2.x2+x－2=0
-2
1
3.解:
原方程化为：
x2－3x－28=
0，
(x－7)(x+4)=0，
x1=7，x2=－4.
4.解：（1）化为一般式为x2－2x+1
=
0.因式分解，得(
x－1
)
2
=
0.有
x
－
1
=
0，x1=x2=1.
（2）因式分解，得(
2x
+
11
)(
2x－
11
)
=
0.有
2x
+
11
=
0
或
2x
－
11=
0，
（3）a=2，b=-5，c=1，∴△=(-5)2-4×2×1=17．
（4）整理，得x2+2x=5，∴x2+2x+1=5+1，即(x+1)2=6，
（5）解法一：方程整理得9m2-9m=0.分解因式，得9m(m-1)=0.解得m1=0，m2=1．
解法二：分解因式，得(3m+2-2)(3m+2-5)=0.∴3m+2-2=0，或3m+2-5=0，解得m1=0，m2=1．
5.
解：设小圆形场地的半径为r，根据题意
(
r
+
5
)2×π=2πr2.因式分解，得于是得
（舍去）.答：小圆新场地的半径为
挑战自我
（1）11或12
（2）13
（3）12
自主学习
课堂探究
解：分解因式得_____________=0,
∴__________=0，或_________=0.
∴x1=_______,x2=____________.
=_______________.
x
x
7
-1
当堂检测
PAGE
5(共26张PPT)
21.2
解一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
21.2.3
因式分解法
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境引入
我们经常看到大学毕业的学生，穿着学士服，将学士帽高高抛起的样子，那么抛起的学士帽什么时候落下，什么时候抬头接才不会被砸到呢？一起看看吧！
导入新课
讲授新课
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?
分析：设物体经过
x
s落回地面，这时它离地面的高度为0
m
，即
10x-4.9x2
=0
①
解：
解：
∵
a=4.9,b=-10,c=0.
∴
b2－4ac
=
(－10)2－4×4.9×0
=100.
公式法解方程10x-4.9x2=0.
配方法解方程10x-4.9x2=0.
方程可化为4.9x2-10x=0.
因式分解
两个因式乘积为
0，说明什么？
或
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
10x-4.9x2
=0
①
x(10-4.9x)
=0
x
=0
10-4.9x=0
②
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
要点归纳
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
简记歌诀：
右化零
左分解
两因式
各求解
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1)
x(x-2)=0；
(1)
x1=0，x2=2；
(2)
(y+2)(y-3)=0；
(2)
y1=-2，y2=3
；
(3)
(3x+6)(2x-4)=0；
(3)
x1=-2，x2=2；
(4)
x2=x.
(4)
x1=0，x2=1.
例1
解下列方程：
解：(1)因式分解，得
于是得
x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得
(
2x＋1)(
2x－1
)=0.
于是得
2x＋1=0或2x－1=0,
(x－2)(x＋1)=0.
典例精析
练一练
解下列方程：
(1)(x+1)2=5x+5；
∴x1=4，x2=-1．
(2)x2-6x+9=(5-2x)2．
解：∵(x+1)2=5(x+1)，
∴(x+1)2-5(x+1)=0，
则(x+1)(x-4)=0，
∴x+1=0，或x-4=0，
解：方程整理得(x-3)2-(5-2x)2=0，
则[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0，
∴-x+2=0，或3x-8=0，
十字相乘法
拓展提升
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
整式的乘法
反过来，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.
步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.
试一试
解方程：x2+6x-7=0.
解：因式分解得
(x+7)(x-1)=0.
∴x+7=0,或x-1=0.
∴x1=-7,x2=1.
练一练
解下列方程：
(1)x2-5x+6=0；
解：分解因式，
得(x-2)(x-3)=0，
(3)(x+3)(x-1)=5；
解：整理得x2+2x-8=0，
(4)2x2-7x+3=0.
(2)x2+4x-5=0；
解：分解因式，
得(x+5)(x-1)=0，
解：分解因式，
得(2x-1)(x-3)=0，
解得x1=2，x2=3.
解得x1=-5，x2=1．
解得x1=-4，x2=2.
分解因式，
得(x+4)(x-2)=0，
例2
用适当的方法解方程：
(1)
3x(x
+
5)=
5(x
+
5)；
(2)
(5x
+
1)2
=
1；
即
3x
-
5
=
0
或
x
+
5
=
0.
分析：该式左右两边可以提取公因式，
所以用因式分解法解答较快.
解：化简
(3x
-5)
(x
+
5)
=
0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解：开平方,得
5x
+
1
=
±1.
(3)
x2
-
12x
=
4
;
(4)
3x2
=
4x
+
1.
开平方，得
解：化为一般形式
3x2
-
4x
-
1
=
0.
∵Δ=b2
-
4ac
=
28
>
0,
分析：二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用配方法来解题较快.
解：配方，得
x2
-
12x
+
62
=
4
+
62,
即
(x
-
6)2
=
40.
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
1.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；
2.若常数项为0(
ax2+bx=0)，应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0
(ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法；
4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
要点归纳
解法选择基本思路
填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
x2
+
px
+
q
=
0
(p2
-
4q
≥0)
(x+m)2＝n
(n
≥
0)
ax2
+
bx
+c
=
0
(a≠0
，
b2
-
4ac≥0)
(x
+
m)
(x
+
n)＝0
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
①
x2-3x+1=0
；
②
3x2-1=0
；
③
-3t2+t=0
；
④
x2-4x=2
；
⑤
2x2-x=0；
⑥
5(m+2)2=8；
⑦
3y2-y-1=0；
⑧
2x2+4x-1=0；
⑨
(x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
当堂练习
1.填空
⑥
①
②
③
④
⑤
⑦
⑧
⑨
注意：每个题都有多种解法，选择更合适的方法，可以简化解题过程！
2.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为
；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=
,
x2=
.
x2+x-2=0
-2
1
3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程
(x-5)(x+2)=18.
解：原方程化为：
(x-5)(x+2)=3×6
.
①
由x-5=3，得x=8；
②
由x+2=6，得x=4；
③
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
解:
原方程化为：
x2
－3x
－28=
0，
(x－7)(x+4)=0，
x1=7，x2=－4.
解：化为一般式为
因式分解，得
x2－2x+1
=
0.
(
x－1
)
2
=
0.
有
x
－
1
=
0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
(
2x
+
11
)(
2x－
11
)
=
0.
有
2x
+
11
=
0
或
2x
－
11=
0，
4.解方程：
(4)x2+4x-2=2x+3；
(3)2x2-5x+1=0；
解：a=2，b=-5，c=1，
∴△=(-5)2-4×2×1=17．
解：整理，得x2+2x=5，
∴x2+2x+1=5+1，
即(x+1)2=6，
(5)(3m+2)2-7(3m+2)+10=0．
解法一：
解：方程整理得9m2-9m=0.
分解因式，得9m(m-1)=0.
解得m1=0，m2=1．
解法二：
解：分解因式，得(3m+2-2)(3m+2-5)=0.
∴3m+2-2=0，或3m+2-5=0，
解得m1=0，m2=1．
5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加到原来的2倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r，
根据题意
(
r
+
5
)2×π=2r2π.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径为
挑战自我
(2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2-13x+40=0的根，则此三角形的周长为________;
(1)已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是________;
(3)
已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是________.
11或12
13
12
课堂小结
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零
左分解
两因式
各求解
如果a
·b=0，那么a=0或b=0.
原理
当右边=0时，将方程左边因式分解.
因式分解常见的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c)；
a2±2ab+b2=(a±b)2；
a2-b2=(a
+b)(a
-b).22.2.1
配方法
第1课时
直接开平方法
教学内容
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
教学目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
重难点关键
1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
教学过程
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x2-8x+____=（x-___）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+___）2；
（3）x2+px+_____=（x+______）2．
问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
老师点评：
问题1：根据完全平方公式可得：（1）16
4；（2）4
2；（3）（）2
．
问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x，BQ=2x
依题意，得：x·2x=8
x2=8
根据平方根的意义，得x=±2
即x1=2，x2=-2
可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
（学生分组讨论）
老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2
即2t+1=2，2t+1=-2
方程的两根为t1=-，t2=--
例1：解方程：x2+4x+4=1
分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
解：由已知，得：（x+2）2=1
直接开平方，得：x+2=±1
即x+2=1，x+2=-1
所以，方程的两根x1=-1，x2=-3
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、巩固练习
教材P36
练习．
四、应用拓展
例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）当成一个数，配方得：
（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56
x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6
方程的根为x1=10%，x2=-3.1
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
五、归纳小结
本节课应掌握：
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．
六、布置作业
1．教材P45
复习巩固1、2．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（
）．
A．p=4，q=2
B．p=4，q=-2
C．p=-4，q=2
D．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为（
）．
A．3
B．-3
C．±3
D．无实数根
3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（
）．
A．（x-）2=，x=±
B．（x-）2=-，原方程无解
C．（x-）2=，x1=+，x2=
D．（x-）2=1，x1=，x2=-
二、填空题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
三、综合提高题
1．解关于x的方程（x+m）2=n．
2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？
PAGE
321.2.3
因式分解法
教学内容
用因式分解法解一元二次方程．
教学目标
掌握用因式分解法解一元二次方程．
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
重难点关键
1．重点：用因式分解法解一元二次方程．
2．难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法）
（2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．
二、探索新知
（学生活动）请同学们口答下面各题．
（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:
2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）
因此，上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0
（2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例1．解方程
（1）4x2=11x
（2）（x-2）2=2x-4
分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式
解：（1）移项，得：4x2-11x=0
因式分解，得：x（4x-11）=0
于是，得：x=0或4x-11=0
x1=0，x2=
（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0
（x-2）2-2（x-2）=0
因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0
整理，得：（x-2）（x-4）=0
于是，得x-2=0或x-4=0
x1=2，x2=4
例2．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．
分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．
解：原式=
∵9a2-4b2=0
∴（3a+2b）（3a-2b）=0
3a+2b=0或3a-2b=0，
a=-b或a=b
当a=-b时，原式=-=3
当a=b时，原式=-3．
三、巩固练习
教材P45
练习1、2．
四、应用拓展
例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0
（2）x2-7x+6=0
（3）x2+4x-5=0
分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．
解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）
∴（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）
∴（x-6）（x-1）=0
∴x-6=0或x-1=0
∴x1=6，x2=1
（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）
∴（x+5）（x-1）=0
∴x+5=0或x-1=0
∴x1=-5，x2=1
上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．
五、归纳小结
本节课要掌握：
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．
（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：
联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．
②公式法是由配方法推导而得到．
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
区别：①配方法要先配方，再开方求根．
②公式法直接利用公式求根．
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
六、布置作业
教材P46
复习巩固5
综合运用8、10
拓广探索11．
第六课时作业设计
一、选择题
1．下面一元二次方程解法中，正确的是（
）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=
，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x
两边同除以x，得x=1
2．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（
）．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（
）．
A．-
B．-1
C．
D．1
二、填空题
1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．
2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．
3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．
三、综合提高题
1．用因式分解法解下列方程．
（1）3y2-6y=0
（2）25y2-16=0
（3）x2-12x-28=0
（4）x2-12x+35=0
2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．
3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）
答案:
一、1．B
2．A
3．D
二、1．x（x-5），（x-3）（2x-5）
2．x1=，x2=1
3．（x+12）（x+8），x1=-12，x2=-8
三、1．（1）3y（y-2）=0，y1=0，y0=2
（2）（5y）2-42=0
（5y+4）（5y-4）=0，y1=-，y2=
（3）（x-14）（x+2）=0
x1=14，x2=-2
（4）（x-7）（x-5）=0
x1=7，x2=5
2．x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=1
3．设宽为x，则长为35-2x，依题意，得x（35-2x）=150
2x2-35x+150=0
（2x-15）（x-10）=0，
x1=7.5，x2=10，
当宽x1=7.5时，长为35-2x=20，
当宽x=10时，长为15，
因a≥20m，两根都满足条件．21.2.3
因式分解法
学习目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
重点、难点
1、重点：应用分解因式法解一元二次方程
2、难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
【课前预习】阅读教材P38
—
40
,
完成课前预习
1：知识准备
将下列各题因式分解
am+bm+cm=
;
a2-b2=
;
a2±2ab+b2=
因式分解的方法：
解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法）
（2）3x2+6x=0（用公式法）
?
?
?
?
2：探究
仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？
?
3、归纳：
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________
_______的形式，再使_________________________，从而实现_____
____________，这种解法叫做__________________。
（2）如果
，那么
或
，这是因式分解法的根据。如：如果
，那么
或_______，即
或________。
?
练习1、用因式分解法解下列方程：
(1)
x2-4x=0
(2)
4x2-49=0
(3)
5x2-10x+20=0
?
?
?
【课堂活动】
活动1：预习反馈
活动2：典型例题
?
?
活动3：随堂训练
1、用因式分解法解下列方程
（1）x2+x=0
（2）x2-2
x=0
?
?
?
（3）3x2-6x=-3
（4）4x2-121=0
?
?
?
（5）3x(2x+1)=4x+2
（6）(x-4)2=(5-2x)2
?
?
?
?
?
?
2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。
?
?
?
?
?
?
活动4：课堂小结
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1）???
将方程右边化为
（2）???
将方程左边分解成两个一次因式的
（3）???
令每个因式分别为
，得两个一元一次方程
（4）???
解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
?
【课后巩固】
1．方程
的根是
2．方程
的根是________________
3．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________
4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于___
5．若（2x+3y）2+2（2x+3y）+4=0，则2x+3y的值为_________．
6．已知y=x2-6x+9，当x=______时，y的值为0；当x=_____时，y的值等于9．
7．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（
）
A．-1，2
B．1，-2
C．0，-1，2
D．0，1，2
8．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（
）
A．（x+5）（x-7）=0
B．（x-5）（x+7）=0
C．（x+5）（x+7）=0
D．（x-5）（x-7）=0
9．方程（x+4）（x-5）=1的根为（
）
A．x=-4
B．x=5
C．x1=-4，x2=5
D．以上结论都不对
10、用因式分解法解下列方程：
?
(1)
3x(x-1)=2(x-1)
(2)x2+x（x-5）=0
?
PAGE
3实际问题与一元二次方程（3）
教学目标
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．
重难点关键
1．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元导学流程：
一、复习引入
说出三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式（学生口答，老师点评）
二、探索新知
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．
例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
?
?
?
例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
思考：
(1)本体中有哪些数量关系？
（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
（）你有几种解法？
解法一：设上下边衬宽均为9xcm,左右边衬宽均为7xcm,则有：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。
?
?
?
?
?
三、课堂检测
（一）、选择题
1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（
）．
A．
B．5
C．
D．7
2．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（
）．
A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;
B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;
C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;
D．以上都不对
3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（
）．
A．8cm
B．64cm
C．8cm2
D．64cm2
图22-10
（二）、综合提高题
1．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少？．
?
?
?
PAGE
1一元二次方程根与系数的关系
一、学习目标
知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系
二、学习重点
1、知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系
2、理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程
三、新课探索
1、完成书本P30的问题3的表格，并回答下面问题：
（1）表格中方程的两个根相加后的和与原方程的的系数有什么关系？
___________________________________________
（2）表格中方程的两个根相乘后的积与原方程的的系数有什么关系？
___________________________________________
2、若设一元二次方程为，则用公式法求它的解，过程可以为：
填空：
注意：只有在二次项系数为1时才成立。
4、课堂练习：
1、不解方程，求出方程的两根之和，两根之积。
（1）
（2）
（3）
2、已知方程的一个根是2，求它的另外一个根和的值。
3、填空：
（1）写出一个二元一次方程，使它的两个根分别是1和：_______________
（2）已知关于的方程的两个根分别是1和3，则
4、思考题：
（1）已知是方程的两个实数根，求下列各式：
①
②
（3）
④
（2）一般形式中，两个根之和=__________，两根之积=___________
PAGE
221.2.2
公式法
教学内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0
（2）4x2-3x=52
（老师点评）
（1）移项，得：6x2-7x=-1
二次项系数化为1，得：x2-x=-
配方，得：x2-x+（）2=-+（）2
（x-）2=
x-=±
x1=+==1
x2=-+==
（2）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴≥0
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0
（2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0
（4）4x2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x=
∴x1=，x2=
（2）将方程化为一般形式
3x2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
x=
x1=2，x2=-
（3）将方程化为一般形式
3x2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
∴x=
∴x1=，x2=
（3）a=4，b=-3，c=1
b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．
三、巩固练习
教材P42
练习1．（1）、（3）、（5）
四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③
解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
m2=1
m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=，x2=-
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．
五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
1．教材P45
复习巩固4．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（
）．
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=
2．方程x2+4x+6=0的根是（
）．
A．x1=，x2=
B．x1=6，x2=
C．x1=2，x2=
D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（
）．
A．4
B．-2
C．4或-2
D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份
用电量（千瓦时）
交电费总金额（元）
3
80
25
4
45
10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
答案:
一、1．D
2．D
3．C
二、1．x=，b2-4ac≥0
2．4
3．-3
三、1．x==a±│b│
2．（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
∴x1=，x2=
∴x1+x2==-，
x1·x2=·=
（2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0
原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）
=0
3．（1）超过部分电费=（90-A）·=-A2+A
（2）依题意，得：（80-A）·=15，A1=30（舍去），A2=50(共20张PPT)
21.2.1
配方法
第二十一章
一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时
直接开平方法
学习目标
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p
(p≥0)的方程.
(重点）
导入新课
情景引入
古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况。某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在30里之外，营地形似正方形，约16方里”，将军立马说：“原来敌方营地长4里”。
1.如果
x2=a，则x叫做a的
.
导入新课
复习引入
平方根
2.如果
x2=a(a
≥0)，则x=
.
3.如果
x2=64，则x=
.
±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
讲授新课
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设一个盒子的棱长为x
dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程
10×6x2=1500，
由此可得
x2=25
开平方得
即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
x=±5，
试一试：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1)
x2=4
(2)
x2=0
(3)
x2+1=0
解：根据平方根的意义，得
x1=2，x2=-2.
解：根据平方根的意义，得
x1=x2=0.
解：移项，得x2=-1，
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
(2)当p=0
时，方程(I)有两个相等的实数根
=0;
(3)当p<0
时，因为任何实数x，都有x2≥0
，所以方程(I)无实数根.
探究归纳
一般的，对于可化为方程
x2
=
p，
(I)
(1)当p>0
时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等
的实数根
例1
利用直接开平方法解下列方程：
解：
(1)
x2=6，
直接开平方，得
(2)移项，得
x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30，x2=－30.
典例精析
方法点拨：通过移项把方程化为x2
=
p的形式，然后直接开平方即可求解．
在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：
(x+3)2=5
，
②
得
对照上面的方法，你认为可以怎样解方程(x+3)2=5？
探究交流
于是，方程(x+3)2=5的两个根为
上面的解法中
，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
解题归纳
例2
解下列方程：
（1）(x＋1)2=
2
；
解析：第1小题中只要将(x＋1)看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
解：（1）∵x+1是2的平方根，
典例精析
解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.
（2）(x－1)2－4
=
0；
即x1=3，x2=-1.
解：（2）移项，得(x-1)2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
（3）12(3－2x)2－3
=
0.
解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再将等式两边同时除以12，再同第1小题一样地去解.
解：（3）移项，得12(3-2x)2=3，
两边都除以12，得(3-2x)2=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5，3-2x=-0.5
解：
方程的两根为
解：
方程的两根为
例3
解下列方程：
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2=p或(x＋n)2=
p(p≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
探讨交流
当堂练习
D.
(2x+3)2=25，解方程，得2x+3=±5，
x1=
1，x2=-4
1.下列解方程的过程中，正确的是（
）
B.
(x-2)2=4，解方程，得x-2=2，x=4
D
(1)方程x2=0.25的根是
.
(2)方程2x2=18的根是
.
(3)方程(2x-1)2=9的根是
.
x1=0.5，x2=-0.5
x1＝3，x2＝-3
x1＝2，x2＝－1
2.填空:
3.
解下列方程：
(1)x2-81＝0；
(2)2x2＝50；
(3)(x＋1)2=4
.
解：x1＝9，x2＝－9；
解：x1＝5，
x2＝－5；
解：x1＝1，x2＝－3.
解方程：
挑战自我
解：
方程的两根为
课堂小结
直接开平方法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成
x2=p(p
≥0)或(x+n)2=p
(p
≥0).
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法实际问题与一元二次方程
教学目标
知识技能
1.能根据以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；以封面设计为问题背景，边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用.2.培养学生的阅读能力与分析能力.3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
过程方法
通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程.
情感态度
在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值.
教学重点
建立数学模型，找等量关系，列方程
教学难点
找等量关系，列方程
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
二次备课
一、复习引入导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.二、探究新知课本45页探究1分析：设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周期.第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包括传染源在内，共有几个人患着流感？第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程.拓展：课本思考.四轮呢？归纳：本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.课本47页探究3分析：正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为，设上下边衬宽为与左右边衬宽为.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为9x㎝，宽为7x㎝.尝试列出方程.方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义.归纳：在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决.对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程.三、课堂训练补充练习：1．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（
）．
A．8cm
B．64cm
C．8cm2
D．64cm22．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．3.有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）4.在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?四小结归纳谈一节课的收获和体会.五、作业设计必做：P48：4-8选做：P49：10补充作业：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
点题，板书课题.教师提出问题，并指导学生进行阅读，独立思考，学生根据个人理解，回答教师提出的问题.弄清题意，设出未知数，并表示相关量，根据相等关系尝试列方程，求根.根据实际问题要求，对根进行选择确定问题的解.教师组织学生合作交流，达到共识，师生汇总生活中常见的类似问题，总结这类题的做题技巧.教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识教师总结，学生体会学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正师生归纳总结，学生作笔记.
.
教
学
反
思21.2.2
公式法
学习目标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；
3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；
难点：推导求根公式的过程。
导学流程
复习提问：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
推导公式
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
因为a≠0，方程两边都除以a，得
_____________________＝0.
移项，得
x2＋
x＝________，
配方，得
x2＋
x＋______＝______－
,
即
(____________)
2＝___________
因为
a≠0，所以4
a2＞0，当b2－4
ac≥0时，直接开平方，得
_____________________________.
所以
x＝_______________________
即
x＝_________________________
x＝
(
b2－4
ac≥0)
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2
＋bx＋c＝0的求根公式：
?
精讲点拨
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
合作交流
b2－4
ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
展示反馈
学生在合作交流后展示小组学习成果。
①?
当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
②?
当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③?
当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
深入探究：自学P36页例2，完成下列特别各题：
应用公式法解下列方程:
(1)
2
x2＋x－6＝0；
(2)
x2＋4x＝2；
?
?
(3)
5x2－4x－12＝0；
(4)
4x2＋4x＋10＝1－8x.
?
?
巩固提高：完成P37页练习
课堂小结
1、一元二次方程的求根公式是什么？
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
达标测评
（A）1、应用公式法解方程：
(1)
x2－6x＋1＝0；
(2)2x2－x＝6；
?
?
(3)4x2－3x－1＝x－2；
(4)3x(x－3)
＝2(x－1)
(x＋1).
?
?
（5）（x-2）（x+5）＝8；
（6）（x＋1）2＝2（x＋1）.
PAGE
3第二十一章
一元二次方程
21.1
一元二次方程
学习目标：1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；
2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.
难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.
一、知识链接
1.什么叫做一元一次方程，它有什么特点？
2.下面式子哪些是方程？
2+6=8
2x+3
5x+6=22
x+3y=8
x-5<18
3.
设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2
m，下部BC=x
m，请列出方程.
二、要点探究
探究点1：一元二次方程的概念
问题1
有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
要点归纳：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)，其中
称为二次项，
称为二次项系数，
称为一次项，
称为一次项系数，
称为常数项.
想一想：为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c
可以为零吗？
典例精析
例1
下列选项中，关于x的一元二次方程的是（
）
方法总结：判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.
例2
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
【变式题】方程(2a－4)x2－2bx+a=0,
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
方法总结：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：
1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；
2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次方程未知数最高次数是2.
例3
(教材P3例题)将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项.
方法总结：系数和项均包含前面的符号.
探究点2：一元二次方程的根
问题1：下面哪些数是方程
x2–x–6
=
0的解?
-4，-3，
-2，-1，0，1，2，3，4
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x2?–?x?–?6
要点归纳：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
典例精析
例4
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
【变式题】已知a是方程
x2+2x－2=0
的一个实数根，求
2a2+4a+2018的值.
方法总结：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值．
探究点3：建立一元二次方程模型
问题
在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
三、课堂小结
一元二次方程的概念
①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)，其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
一元二次方程的根
使方程左右两边相等的未知数的值.
建立一元二次方程模型
审→设→找→列
1.下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
2.填空：
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
x2=-3x
3y2+1=2y
4x2=5
(2-x)(3x+4)=3
3.关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，
当k
时，是一元二次方程；
当k
时，是一元一次方程.
4.（1）已知方程5x2+mx-6=0的一个根为4，则m的值为
.
（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0，有一个根为0，求m的值.
5.
(1)
如图，已知一矩形的长为200
cm，宽为150
cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x
cm应满足的方程（其中π取3）；
(2)
如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
拓展提升
6.已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)一个根为1，
求a+b+c的值.
思考：（1）若
a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗?
（2）若
a-b
+c=0，4a+2b
+c=0
，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗?
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.等号两边都为整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程叫做一元一次方程；一元一次方程的特点是：①只含有一个未知数；②未知数的次数是1；③是整式方程.
2.
5x+6=22，x+3y=8
，.
3.解：列方程得x2=
2(2－x)，整理，得x2
+
2x－4
=
0．
课堂探究
二、要点探究
探究点1：一元二次方程的概念
问题1
解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm.根据方盒的底面积为3600cm2，得：(100－2x)(50－2x)=3600.化简得x2－75x
+350
=
0.
问题2
解：根据题意，列方程：化简，得：
要点归纳
ax2
a
bx
b
c
想一想
当a=0时，方程变为bx+c=0，是一元一次方程，故a≠0.b、c
可以为零.
典例精析
例1
C
例2
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由|a|+1
=2，且a－1
≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程.
变式题
解：（1）当
2a－4≠0，即a
≠2
时，是一元二次方程；（2）当a=2且b
≠0时，是一元一次方程．
例3
解：去括号，得：3x2－3x=5x+10.移项、合并同类项，得3x2－8x－10=0.其中二次项系数是3；一次项系数是－8；常数项是－10.
探究点2：一元二次方程的根
问题1
x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
x2?–?x?–?6
14
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
所以x=－2，x=3是方程
x2–x–6
=
0的解.
例4
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=－9，.
变式题
解：由题意得：a2+2a－2=0即a2+2a=2.∴2a2+4a+2018=2(a2+2a)+2018=2×2+2018=2022.
探究点3：建立一元二次方程模型建立
问题
解：设小路的宽是x
m，则横向小路的面积是32x
m2，纵向小路的面积是2×20x
m2，两者重叠的面积是2x2
m2.根据题意得32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570.整理得x2－36x＋35=0.
当堂检测
1.是一元二次方程的有：x2=0；(x+3)(2x－4)=x2；3x2=5x－1.
2.从左至右从上至下依次为x2+3x=0，1，3，0，3y2－2y+1=0，3，－2，1，4x2－5=0，4，0，－5，3x2－2x－5=0，3，－2，－5.
3.≠±1
＝－1
4.(1)；
(2)解：将x=0代入方程m2－4=0，解得m=±2.∵
m+2
≠0，∴
m≠－2，综上所述，m
=2.
5.(1)解：设由于圆的半径为x
cm，则它的面积为3x2
cm2.根据题意，得，
整理得.
(2)解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得，整理得.
6.解：由题意得，即.
思考：(1)解：由题意得，即.∴方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根是1.
(2)x=－1或x=2.
自主学习
课堂探究
(2)
(a－1)x|a|+1
－2x－7=0.
(1)ax2－x=2x2；
当堂检测
PAGE
221.3
实际问题与一元二次方程(2)
教学内容
建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况．
教学目标
掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．
重难点关键
1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．
2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．
问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+×100）
解：设每张贺年卡应降价x元
则（0.3-x）（500+）=120
解得：x=0.1
答：每张贺年卡应降价0.1元．
二、探索新知
刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．
例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．
分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．
解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．
（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，
则：（0.75-y）（200+×34）=120
即（-y）（200+136y）=120
整理：得68y2+49y-15=0
y=
∴y≈-0.98（不符题意，应舍去）
y≈0.23元
答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．
因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．
（学生活动）例2．两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
老师点评：
绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．
依题意，得5000（1-x）2=3000
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）
设乙种药品成本的平均下降率为y．
则：6000（1-y）2=3600
整理，得：（1-y）2=0.6
解得：y≈0.225
答：两种药品成本的年平均下降率一样大．
因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等．
三、巩固练习
新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?
四、应用拓展
例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．
（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]
（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．
解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元
（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000
（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000
解得：x1=80，x2=60
当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．
当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．
五、归纳小结
本节课应掌握：
建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
六、布置作业
1．教材P53
复习巩固2
综合运用7、9．
2．选用作业设计：
一、选择题
1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（
）．
A．12人
B．18人
C．9人
D．10人
2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（
）．
A．12%
B．15%
C．30%
D．50%
3．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（
）．
A．600
B．604
C．595
D．605
二、填空题
1．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．
2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．
3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，则列出的方程是________．
三、综合提高题
1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?
2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?
3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．
（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a、b的代数式表示）
（2）若一名检验员1天能检验b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?
答案：
一、1．C
2．B
3．D
二、1．2
2．1
3．（1-）2=
三、1．甲：设上升率为x，则100（1+x）2=121，x=10%
乙：设上升率为y，则200（1+y）2=288，y=20%，
那么乙商场年均利润的上升率大．
2．设多种x棵树，则（100+x）（1000-2x）=100×1000×（1+15.2%），
整理，得：x2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0，
解得x1=20，x2=380
3．（1）=a+2b或
（2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．
所以a+2b=，解得：a=4b
所以（a+2b）÷b=6b÷b==7.5（人）
所以至少要派8名检验员．21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
一、教材分析：
本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不但在中考中体现，延伸到高中的教学中也有广泛的应用。现在又将曾一度删去的内容恢复，可见根系关系的重要，它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路。
二、学情分析：
1.学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。
2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，
3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
三、教法特点及预期效果分析：
1、?本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启
发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。
3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。
学法指导
1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。
2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。
3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。
四、教学目标:
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
教学重点和难点
1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
五、教学过程:
（一）探索新知
问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。
问题2.解下列方程并填写下表：
（1）x2-5x+6=0
（2）2x2+5x+3=0
（2）3x2-2x-8=0
填写下表
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2-5x+6=0
2x2+5x+3=0
3x2-2x-8=0
【设计意图】：
二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜想两根和、两根积与系数之间的关系
请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？
问题3.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。
问题4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=，x2=
。则
x1+x2=
；x1x2=
设是方程的两个根。
∴?
∴
【设计意图】
学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出x1
和x2的值，接下来将字母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式??x1+x2和x1x2?得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀。
（二）尝试发展
试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）
（1）2x2-3x+1=0?
????x1+x2=
________?????
x1x2=
________??????????
（2）3x2+5x=0???????
x1+x2=
________?????
x1x2=
________???????????
（3）-4x2+x-2=0??????
x1+x2=
_________????
x1x2=
_________???????
（4）5x2+kx-6=0?????
x1+x2=
_________????
x1x2=
_________?????
?????
【设计意图】
本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握
的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法
尝试题1、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为，求它的另一个根及k的值。
组织学生自己分析解决，然后一学生演板，其余学生在草稿本上练习。
尝试题2、利用根与系数的关系，求一元二次方程3x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。
（三）归纳小结本课主要研究了什么？
1、方程的根是由系数决定的。
2、a≠0，且b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的根为x1、x2
3、a≠0，△≥0时，x1+x2=，x1x2=????
。
4、方程根与系数关系的有关应用。
（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。
六、设计说明:
一、?重视知识的连贯性，由浅入深，在旧知识上构建新知，激发学习兴趣，活跃学生的学习活动。
????在教学设计中，先复习一元二次方程的一般形式及求根公式，利用问题情境解方程，一方面巩固前面所说的用公式法求一元二次方程，另一方面通过求出方程的两根，引导学生探讨一元二次方程的两根和与两根之积和系数的关系。让学生自己动手，得出结论。这样做，充分发挥了学生的主动性。
二、采用循序渐进的方法达到教学目标。先是解解方程（1）x2-5x+6=0
（2）2x2+5x+3=0
（2）3x2-2x-8=0
观察、思考两根和、两根积与系数的关系．
思考：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？
????
接着是利用求根公式推导一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）两根之和与两根之积与系数的关系，做到由特殊到一般，从而得出最后的结论。在以前的教学设计中，我们习惯于教师讲，学生听，学生自主探究的机会较少，我们先把一元二次方程根与系数的关系告诉学生，之后再进行验证，学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力没有被充分发挥出来，通过这次的教学设计，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，提高了推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。最后是通过讲解例题和练习的方式让学生掌握一元二次方程根与系数的关系。??
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