【备考2021】中考数学一轮 “阿氏圆”经典讲解剖析 学案

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阿式圆专题
知识点回顾：
轨迹为圆的几何条件：
一、一动点到一定点的距离不变，此动点的轨迹为圆；
二、定角对定长，也叫“隐形圆”
注意：1、定长表示线段的长度和位置不变；
2、定角为90°，角的顶点的轨迹为圆，定角不为90°，角的顶点的
轨迹为一段圆弧；
阿式圆定义：
已知平面两个定点A、B到一动点P的比值为一定值k（k≠1），那么这个动点P的轨迹是一个圆。
注意：1、此圆与直线AB交于点E和点F，点E以定比内分线段AB,点F以定比外分线段AB;
2、k=1,此动点在定线段的垂直平分线上。
图文：

,且
解题思路：1、连接动点至圆心，即连接OP，再连接其中一个定点于圆心，即连
接OB,为了确定另一个定点也在直线OB上;
2、计算OB和OP的长度，确定比值=K;
3、在OB上取一点，A，使==K,得三角形相似即△POA∽△BOP；
4、根据△POA∽△BOP，可得PA=K·PB,可将PB和PA进行转换。
阿式圆总结：遇到“PA+k·PB”型的最值问题，要将系数为K的线段转化为系数为1的线段，即要考虑k·PB=PC。求PA+k·PB可转化为PA+PC.
图1 图2 图3
关键在于确定点C的位置，当点A、P、C三点共线时，PA+PC.最小，
即PA+k·PB值最小。
（提示：PA+k·PB=（PA+PB）,所以也可以将PA转化为系数为1的线段。）
相关例题：
如图，点A、B在圆O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且0D=4，动点P在圆O上，则2PC+PD的最小值为 。
解题思路：连接OP,圆上一动点P，OA上有一定点C，由阿式圆
可得，直线OA上肯定存在另一定点E，使得为
定值。因为题目中出现了2PC，所以=，将
2PC转化为PE.由△POC∽△EOP可得=，OE=12.
求2PC+PD的最小值，即求PE+PD最小值，当P、E。D
三点共线时，PE+PD最小。
证明：此题套用“阿式圆”模型。还用到两点之间线段最短。
变式：1、如何求PC+PD的最小值？提示：可提取，即PC+PD=（2PC+PD）。
2、如何求PC+PD的最小值？
解题思路：关键将PD进行转化，定点E肯定在直线OD上，
=,即PD=PE.由△POD∽△BOP。可得=
OE=9,当C、P。E 三点共线时，PC+PE最小。
已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.
求的最小值为
求的最小值为
解题思路：（1）连接PC，将BP转化为系数为1的线段，点P为
圆上的动点，B是定点，那么直线CB上肯定存
在另外一定点D,使得为定值，由△PCD∽△BCP
可确定点D的位置，即CD=1,即BP=PD.
（2）连接PC，将AP转化为系数为1的线段，点P为
圆上的动点，A是定点，那么直线CA上肯定存
在另外一定点E,使得为定值，由△PCE∽△ACP
可确定点E的位置，即CE=,即AP=PE.

如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上
一动点，则PD+PC的最小值为　 　；PD+4PC的最小值为　 　．
解题思路：连接PB，点P为圆上的动点，若将点D看作定点
则另外一个定点在直线BD上，若将点C看作定点，
则另外一个定点在直线BC上。
如图，AB为⊙O的直径，AB=2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD=1，BC=3,点P是⊙O上的一动点，则PD+PC的最小值为
解题思路：连接PO,点P为圆上的动点,将PD转化为系数为1
的线段,点D是定点，则OD上肯定存在另外一定点E。
(连接OD，取OD得中点即为点E.)
例题解析：
如图，在平面直角坐标系中，点A(4,0),B(4，4)，点在半径为2的圆O上运动，则的最小值为
提示：取OE得中点D，由阿式圆可得：,所以最大值为(用两点坐标公式可求的BD长)
用了两次阿式圆：
正方形ABCD的边长为4，AE=DF,AN=1，求
提示：,由阿式圆可得：,
,所以,最大值为
(过点D’作AB的垂线，运动勾股定理可求得的长)
其中，

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