苏科版八年级下册第9章 中心对称图形中心对称图形知识点复习学案

平行四边形
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.（要按照字母顺时针或逆时针方向读）
注意：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
平行四边形的性质：
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.；（
）
注意：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
平行四边形其它有关性质：
1、过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分为两个全等的部分。
2、两条对角线将平行四边形分为四个面积相等的三角形。
3、一条对角线将平行四边形分为两个面积相等的三角形。
4、平行四边形的两条对角线将平行四边形分为两组全等的三角形（SAS）
5、顺次连接任意四边形各边中点，得到的四边形肯定是平行四边形。（利用三角形中位线去判定）
6、对称中心为对角线的交点。（注意：不是轴对称图形）
平行线间的距离：
定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
注意：平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.（平行四边形的性质说明）
平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
平行四边形的判定条件：
1、两组对边分别平行；（定义判定）
2、两组对边分别相等；
3、对角分别相等；
4、对角线互相平分；（注意：是平分不是相等）
5、一组对边平行且相等；
注意：这5个判定条件是学习本章的基础，下面遇到特殊的平行四边形，也离不
开这些条件。要根据题目中已知条件，选择恰当的判断条件。
典型例题：
在ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为____
（角平分线+平行线=等腰△）
如图，平行四边形ABCD的对角线AC上的一点O，过点O作AD、BC的平行线GH、EF，则比较图中两个阴影部分面积的大小关系是（
）
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在轴的正半轴上，且点C（4,0），点B（6,2），直线以每秒1个单位的速度向下移，经过＿＿＿＿＿秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分.
如图，点是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论:
①,
②若，则，
③若，则，
④若，则点一定在对角线上.
其中正确的结论是
.(填序号)
中考题：
如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，EF=AB,GH=BC,△EOF面积为S1，△GOH的面积为S2，则=
矩形
矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有2条对称轴.
注意：（1）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点也是对角线的交点（即对称中心）.
（2）矩形是特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性质外，它的每个角都是90°，对角线相等（注意：不是垂直）
矩形其它有关性质：
（1）矩形的两条对角线相交被分为四条相等的线段；
（2）矩形的两条对角线将平行四边形分为两组全等的等腰三角形；
（3）过对角线交点的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分；
（4）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，得到的四边形为矩形。
.
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
注意：此性质只适用于直角三角形；
推论的逆定理：若三角形一边的中线等于该边的一半，则此三角形为直角三角形。
有关直角三角形的其它性质：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。
矩形的判定条件：
1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；（定义判定）
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
注意：如果在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.，也可以证明三个角为90°的四边形去判定。
例题解析：
如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=4cm，∠AOB＝60°
（1）判定△AOB的形状并加以说明；
（2）计算矩形ABCD的周长。
矩形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处如果∠BAF=60°
则∠DAE=
.
（2）矩形ABCD沿BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,
则S△BED=
.
（3）矩形ABCD中,AB=6,BC=8，E、F分别是AB、CD的中点,折叠使点A落在EF的A′处,则BG=
.
已知。如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH是矩形。
中考题：
如图，矩形纸片中，，将沿折叠，使点落在点处，
交于点，则的长等于(
)
菱形
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质；
1、菱形具有平行四边形的一切性质；
2、菱形的四条边都相等；
3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
4、菱形也是轴对称图形，有2条对称轴。
注意：（1）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）；
（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半。
（任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半）
（3）菱形是特殊的平行四边形，菱形除了具有平行四边形的所有性质外，它的每条边都相等，对角线垂直（注意：不是相等）
菱形其它有关性质：
（1）菱形的两条对角线将菱形分位四个全等的直角三角形；
（2）过对角线交点的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分；
（3）顺次连接对角线相等的四边形各边中点，得到的四边形为菱形。
菱形的判定条件：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（定义判定）
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3.四条边相等的四边形是菱形。
注意：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
正方形
正方形的定义：
四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形；
或者有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形的性质：
1、边—-四边相等、邻边垂直、对边平行；
2、角—-四个角都是直角；
3、对角线—-①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4、是轴对称图形，有4条对称轴；
注意：（1）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称（对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线），
（2）正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形。
所以具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质,正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
正方形其它有关性质：
（1）正方形的两条对角线将正方形分位四个全等的等腰直角三角形；
（2）过对角线交点的任意直线可将正方形分成完全全等的两部分；
（3）顺次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点，得到的四边形为正方形。
正方形的判定条件：
（1）根据正方形的定义判定。
（2）先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；
（3）先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直。
三角形的中位线
定义：连接三角形任意两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
推论：过三角形一边的中点作第三边的平行线，与另外一边的交点就是此边的
中点。
注意：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
根据三角形中位线性质可得：
顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
总结：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.