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北师大版八年级数学上册第二章实数
2.6
二次根式
第1课时
二次根式(1)
【知识清单】
一、二次根式概念:
一般地形如(a≥0)的式子叫二次根式,其中a叫做被开方数.
二、性质:
1、;2、.
三、积的算术平方根:
1、文字叙述:积的算术平方根等于算术平方根的积;
2、字母表示:.
四、商的算术平方根:
1、文字叙述:商的算术平方根等于算术平方根的商;
2、字母表示:.
五、最简二次根式的概念:
1、被开方数的因数是整数,因式是整式(或被开方数不含分母);
2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
【经典例题】
【例题】二次根式在实数范围内有意义,则x应满足的条件是(
)
A.x≥8
B.x≤8
C.x=-8
D.x≥0
【考点】二次根式的概念.
【分析】根据二次根式的意义,被开方数是非负数,列出不等式即可解出答案.
【解答】根据题意,得4x32≥0,
解得:x≥8.
故选A.
【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念:式子(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
例题2、下列二次根式是最简二次根式的是(
)
A.
B.
C.
D.
【考点】最简二次根式.
【分析】A、B选项的被开方数都是分数含有分母,D选项含有未开尽方的因数;因此这三个选项都不是最简二次根式.
【解答】
A.
,被开方数含有小数,此选项错误;
B.,被开方数含有分母,此选项错误;
C.符合最简二次根式的定义,此选项正确;
D.==2,被开方数含有未开尽方的因数,此选项错误.
故C选项正确.
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意:(1)在二次根式的被开方数中,只要含有分
数或小数,就不是最简二次根式;(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或
因数),如果幂的指数等于或大于2,也不是最简二次根式.理解最简二次根式的概念是解决问题的关键.
【夯实基础】
1、下列各式中,是二次根式的是(
)
A.
B.
C.
D.
2、下列二次根式中,
①;②;③;④;⑤;⑥;⑦.
其中最简二次根式的个数为(
)
A.2个??
?B.3个
C.4个??
D.5个?
3、如果,则x的取值范围是(
)
A.
x≤5
B.x≥5
C.x>5
D.x<5
4、下列把二次根式化简成最简二次根式正确的是(
)
A.=7×6=42
B.=
C.
D.=
5、把下列根式化成最简二次根式:
(1)=
;=
;=
;=
.
(2)=
;=
;=
;=
.
(3)=
;=
;=
;=
.
6、(1)化简下列各式:=
;(2)×()=
.
7、(1)若是一个正整数,则正整数m的最小值为=
.
(2)
若代数式有最大值,则a=
.
8、化简:(1);
(2);
(3);
(4)(a≥0,b>0).
9、已知△ABC的三边为a、b、c,
试化简
【提优特训】
10、要使式子有意义,则a的取值为
(
)
A.0
B.6
C.6
D.任意实数
11、若成立,则x的取值范围为( )
A.x≥4
B.x≥4
C.4≤x≤4
D.任意实数
12、若等式成立,则x的取值范围是(
)
A.x≥0
B.x≥7
C.x≥0且x≠35
D.x≠35
13、化简:(a1)的结果为(
)
A.??
?B.
?C.??
D.
14、(1)
当
时,二次根式在实数范围内有意义.
(2)
对于任意不相等的两个实数a、b,定义运算△如下:a△b=,
如5△3=,那么(7)△(5)=
.
15、已知下列等式:
①
?
②
?
③??,…,
(1)根据上述等式的特点,请你写出第四个等式
,
第六个等式
;
(2)观察上述等式的规律,请你写出第n个等式:
.
16、已知,求a20192的值.
17、已知y=+,求124xy平方根.
18、如图所示△ABC和△EAD是两个同样的含45°角的三角尺,其中一个三角尺EAD的锐角顶点和另一个三角尺ABC的直角顶点重合于A,且另外三个锐角顶点B、C、D在一条直线上.若AB=,求CD的长.
【中考链接】
19、
(2019?广西河池)下列式子中,为最简二次根式的是(
)
A.
B.
C.
D.
20、(2019湖南长沙)式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是
.
参考答案
1、C
2、B
3、B
4、D
10、C
11、B
12、C
13、A
14、(1)
x<3,
(2)
19、B
20、x≥5
5、把下列根式化成最简二次根式:
(1)=
2
;=
4
;=
2
;=
5
.
(2)=
;=
;
=
;
=
.
(3)=
;=
;
=
;
=
.
6、(1)化简下列各式:=
2
;(2)×()=
2-3
.
7、(1)若是一个正整数,则正整数m的最小值为=
6
.
(2)
若代数式有最大值,则a=
±3
.
8、化简:(1);
(2);
(3);
(4)(a≥0,b>0).
解:(1)原式=;
(2)原式=;
(3)原式=;
(4)原式=;
9、已知△ABC的三边为a、b、c,
试化简
解:原式=
=a+b+c+c+ba+a+cb+a+bc
=2a+2b+2c.
15、已知下列等式:
①
?
②
?
③??,…,
(1)根据上述等式的特点,请你写出第四个等式
,
第六个等式
;
(2)观察上述等式的规律,请你写出第n个等式:
.
16、已知,求a20192的值.
解:由题意得:a2020≥0,∴a≥2020,
∴a2019+,
整理得:=2019.
由平方根的定义得:a2020=20192,
∴a20192=2020.
17、已知y=+,求124xy平方根.
解:由题意得:x225≥0,∴x2≥25,
25x2≥0,∴x2≤25,
∴x2=25,
∴x=±5,
∵x5≠0,
∴x≠5,
∴x=5
将x=5代入y=+,得,y=,
∴124xy=124×(5)
×()=8,
∴124xy平方根为±2.
18、如图所示△ABC和△EAD是两个同样的含45°角的三角尺,其中一个三角尺EAD的锐角顶点和另一个三角尺ABC的直角顶点重合于A,且另外三个锐角顶点B、C、D在一条直线上.若AB=,求CD的长.
解:过点A作AG⊥BC于点G,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴点G为BC的中点,
∵∠1=45°,∠AGC=90°,
∴∠2=45°,AG=CG,
AG=BG=CG.
∵△ABC和△EAD是两个同样的含45°角的三角尺,
∴AB=AC=AE=DE=,
在Rt△ABC中,由勾股定理得BC=,
∴AD=BC=.
∴AG=,
在Rt△AGD中,由勾股定理得
GD=
,
∵CD=GDGC==.
第18题图
第18题图
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