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人教版
八年级数学上
13.3.1等腰三角形（1）
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用
等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)
回顾旧知
定义及相关概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
等腰三角形除了两腰相等之外还有其他的性质吗？下面我们一起来探究一下。
合作探究
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
合作探究
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
合作探究
折一折：△ABC
是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
合作探究
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？
重合的线段
重合的角
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∠B=∠C
∠BAD=∠CAD
∠ADB=∠ADC
合作探究
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）
等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）
如何证明第一个性质呢？
合作探究
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=?C.
思考：如何构造两个全等的三角形？
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证
合作探究
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：
∠B=
∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，
则BD=CD.
AB=AC
(
已知
)，
BD=CD
(
已作
)，
AD=AD
(公共边)，
∴
△BAD≌
△CAD
(SSS).
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
合作探究
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC.求证：
∠B=
∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC
(
已知
),
∠BAD=∠CAD
(
已作
),
AD=AD
(公共边),
∴
△BAD
≌
△CAD
(SAS).
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
合作探究
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）
等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）
符号语言：
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
下面我们小组合作
来证明性质2。
合作探究
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC,
∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC,
BD=CD
(已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC,
AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD,
∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
符号语言：
典例精析
A
B
C
D
例1
如图，在△ABC中
，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
分析：（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
典例精析
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC=
∠A+
∠ABD=2x,
从而∠ABC=
∠C=
∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180
°
，解得x=36
°
，在△ABC中，
∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
知识点拨：在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
小试牛刀
1、等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
知识点拨：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
A
小试牛刀
2．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，若∠1＝20°，则∠2的度数为(
)
A．25°
B．65°
C．70°
D．75°
B
3.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40°
B．30°
C．70°
D．50°
A
小试牛刀
4、（1）等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____
__；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为__________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_
___
__.
75°,
30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
小试牛刀
5.如图，在△ABC中，AB
=
AC，D是BC边上的中点，∠B
=
30°，
求
∠BAD
和
∠ADC的度数.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴
∠C=
∠
B=30°，
∠BAD
=
∠
DAC，∠ADC
=
90°.
∴∠
BAC
=180°
-
30°-30°
=
120°.
∴
=
60°.
课后作业
今天我们收获了哪些知识？
1.等腰三角形有哪些性质的？
2.本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？
综合演练
2．如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，
△ACD的周长为24，则AD的长为____．
8
1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是(
)
A．过顶点的直线
B．底边的垂线
C．顶角的角平分线所在的直线
D．腰上的高所在的直线
C
综合演练
3、已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
图②
图①
综合演练
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
课后作业
教材81页习题13.3第1、2、4、7题．
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