函数的综合应用

(共20张PPT)
【课前热身】
1. 找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的括号里。
(1)一辆匀速行驶的汽车,其速度与时间的关系,对应的图象是
（ ）
(2)正方形的面积与边长之间的关系,对应的图象是 （ ）
(3)用一定长度的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与其中一边的长之间的关系, 对应的图象是 （ ）
(4)在220V电压下，电流强度与电阻之间的关系,对应的图象是
( )
A B C D
A
D
C
B
2. 在直角坐标系中，点P(1，-1)一定在( )
A. 抛物线y=-2x2+3x上 B.双曲线y=
C. 直线y=x上 D. 直线y=-x上
3．函数y=kx-2与
(k≠0)在同一坐标系内的
上
图象可能是( )
D
B
4、如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,给出下列说法：
①ab＜0; ②方程的根为x1= -1, x2=3； ③a+b+c＞0；
④当x＞1时,y随x值的增大而增大； ⑤当y＞0时,-1＜x＜3．
其中,正确的说法有 ,（请写出所有正确说法的序号）
①②④
【回顾与思考】
函数的图象和性质
图象 特殊点 性质
一次
函
数
与x轴交点
与y轴交点 　
(1)当k>0时，y随x的增大而增大；
(2)当k<0时，y随x的增大而减小.
（0，b）
正
比
例
函
数 　　与x、y轴交点是原点(0,0)。　　　　　　　　　　　　　 　　(1)当k>0时，y随x的增大而增大，且直线经过第一、三象限；
　(2)当k<0时，y随x的增大而减小，且直线经过第二、四象限
反
比
例
函
数 　 　　与坐标轴没有交点，但与坐标轴无限靠近。 (1)当k>0时，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
(2) 当k<0时，双曲线在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
二
次
函
数 与x轴交点
或
其中 是方程 ax2+bx+c=0 的解，
与y 轴交点
（0，c),
顶点坐标是
(- , )。 (1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；对称轴是直线x=-
y最小值=
(2)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；对称轴是直线x=-
y最大值=
知识考点：函数的综合应用
1.利用数型结合的思想，借助函数的图像和性质解决方程、不等式以及图像的位置关系等问题。
2.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解。涉及最值问题，要想到利用二次函数或函数的增减性。
知识重点、难点
用函数解决问题时的主要方法、策略和注意事项是本节课的重点；在实际问题中建立函数的模型解决问题是本节课的难点。
解题的关键
根据数型结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程问题（或不等式问题）。
【例题经典】
一次函数与反比例函数的综合应用
例1 如图，直线y=kx+b与反比例函数 的图像相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2,4），点B的横坐标为-4.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△ABO的面积。
解:(1)把点A（-2,4)代入y= 得 m=-8
∴ 反比例函数的关系式为:y=-
(2) 当 x=-4时，y= =2 ∴ B（-4,2）
把A(-2,4)、B(-4,2)代入y=kx+b得
-2k+b=4 k=1
-4k+b=2 解得 b=6 ∴ y=x+6
当y=0时 x=6 ∴ C(-6,0) ∴ OC=6
S△ABO=S△ACO-S△BCO= ×6×4- ×6×2=12-6=6
一次函数与二次函数的综合应用
例2某电缆销售公司根据市场变化情况，采用灵活多样的营销策略，产值、利税逐年大幅度增长．经市场调研，他们发现：这种电缆线一天的销量y(米)与售价x(元/米)之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x≤70.
(1)根据图象，求y与x之间的函数解析式；
(2)设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为w 元.
①试用含x的代数式表示w ；
②试问当售价定为每米多少元时 该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高？最高是多少元？
解:（1）设y=kx+b由图像得 50k+b=3500
60k+b=3000
解得 k=-50 b=6000
∴ y=-50+6000
例2某电缆销售公司根据市场变化情况，采用灵活多样的营销策略，产值、利税逐年大幅度增长．经市场调研，他们发现：这种电缆线一天的销量y(米)与售价x(元/米)之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x≤70.
(1)根据图象，求y与x之间的函数解析式；
(2)设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为w 元.
①试用含x的代数式表示w ；
②试问当售价定为每米多少元时，该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高？最高是多少元？
(2)① w=x(-50x+6000)= -50x2+6000x
② ∵ a=-50＜0
∴ 当x= - = - =60时
w最高= -50×602+6000×60=180000（元）
答:当售价定为每米60元时,公司收入最高为180000元.
解:（1）设y=kx+b由图像得 50k+b=3500
60k+b=3000
解得 k=-50 b=6000
∴ y=-50+6000
【中考演练】
1．如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数 的图象,观察
图象写出y1＞y2时，x 的取值范围是 .
－2＜x＜0或x＞3
2．根据图中所示的程序计算变量y的值，若输入自变量x的值为
,则输出的结果是 .
3.5
3.如图,过原点的一条直线与反比例函数
的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标
为(a，b)，则B点的坐标为( )
A．（a，b） B．（b，a）
C．（-b，-a） D．（-a，-b）
D
4.下列图形中阴影部分的面积相等的是( )
① ② ③ ④
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
的图象大致是( )
5. 在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与
D
D
6.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )
A. B. C. D.
B
7.为了鼓励节约用水，按以下规定收取水费：(1)每户每月用水量不超过20立方米，则每立方米水费1.2元；(2)每户每月用水量超过20立方米，则超过部份每立方米水费2元，设某户一个月所交水费y(元)，用水量为x(立方米)，则y与x的函数关系用图象表示为 ( )
C
8. 随着北海近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高. 某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图(1)所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图(2)所示(注：利润与投资量的单位：万元)
(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，
他至少获得多少利润？
他能获取的最大利润是多少？
解: （1）设y1=kx由P(1,2)得 k=2 y2=ax2 由Q(2,2)得 a=
∴ y1=2x ∴ y2= x2
（2）设投入花卉x万元，则投入树木有（8-x）万元，获得利润为
w万元，
w=y2+y1= x2+2(8-x)
= x2-2x+16 (0≤x≤8)
当x= - = - =2时 w最小= ×22-2×2+16=14
解: （1）设y1=kx由P(1,2)得 k=2
∴ y1=2x
y2=ax2 由Q(2,2)得 a=
∴ y2= x2
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，
他至少获得多少利润？
他能获取的最大利润是多少？
∵在对称轴x=2的右边w随x的增大而增大
∴当x=8时 w最大= ×82-2×8+16=32
∴获得的利润至少为14万元，最大为32万元
9. 反比例函数
的图象在第一象限的分支上有一
点A
（3，4），P为x轴正半轴上的一个动点，
(1)求反比例函数解析式.
(2)当P在什么位置时，△OPA为直角
三角形，求出此时P点的坐标.
②当∠OAP2=900时 OA=5
cos∠AOP2= = ∴ =
∴ OP2= ∴ P2( ,0)
P1
P2
解：（1）把A(3,4)代入y= 得
k=12 ∴y=
(2) ①当∠OP1A=900时 P1(3,0)
10. 已知抛物线y=-(x-m)2+1与x轴的交点为A、B(B在A的右边)，
与y轴的交点为C.
(1)写出一个对任意的m值都能成立的正确结论；
(2)写出m=1时与抛物线有关的三个正确结论；
(3)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）①对任意的m值，y有最大值1.
②对任意的m值，抛物线开口向下.
（2）当m=1时 y=-(x-1)2+1
① 抛物线开口向下.
②抛物线的顶点坐标为（1,1）.
③抛物线得对称轴为直线x=1.
④抛物线经过原点.
⑤抛物线与x轴一交点坐标是（2,0）.
解：（3）存在 如图
当y=0时 -(x-m)2+1=0
∴x1=m-1 x2=m+1
∵点B在右边 ∴ B（m+1,0）
当x=0时 y=1-m2 ∴ c（0,1-m2） OC=-(1-m2)
当OC=OB时 -(1-m2)=m+1
解得 m1=2 m2=-1 (舍去)
∴存在△BOC为等腰三角形，m=2
x
y
10. 已知抛物线y=-(x-m)2+1与x轴的交点为A、B(B在A的右)，
与y轴的交点为C.
(3)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存△BOC
为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，
请说明理由.
y
x
小结：在解决与函数有关的问题时，如果有图像的要从图像中获取有价值的信息，灵活应用图像的特殊点，解答时要认真审题，建立符合题意的数学模型，利用函数的性质达到解决问题的目的。