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第二十二章
二次函数
22.1.2
二次函数y=ax2的图像和性质
基础巩固
1．（2020·广西壮族自治区初三期末）下列二次函数中，二次项系数是﹣3的是（ ）
A．y＝3x2﹣2x+5
B．y＝x2﹣3x+2
C．y＝﹣3x2﹣x
D．y＝x2﹣3
2．（2019·河南省初三期末）下列关系式中，属于二次函数的是（x是自变量）
A．y=x2
B．y=
C．y=
D．y=ax2+bx+c
3．（2020·江苏省初三一模）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·上海初三一模）下列函数中，是二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·安徽省初三月考）无论为何值时，下列一定是的二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2019·吉林省东北师大附中初三月考）下列各式中，是的二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2018·浙江省初三期中）下列函数中，是二次函数的是(
)
A．
B．
C．
D．
8．（2019·甘肃省初三期中）二次函数y＝3x2﹣x﹣4的二次项系数与常数项的和是（
）
A．1
B．﹣1
C．7
D．﹣6
9．（2019·安徽省初三期中）在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（??
）
A．y=x2??
B．y=ax2+bx+c??
C．y=8x??
D．y=x2（1+x）
10．（2019·衡阳市逸夫中学初三月考）下列函数中，属于二次函数的是( )
A．y＝－2x
B．y＝x2＋
C．y＝(x＋3)2－9
D．y＝＋1
11．（2020·内蒙古自治区初三月考）下来函数中是二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·南通市八一中学初二月考）下列函数中，二次函数是(
)
A．y＝﹣4x+5
B．y＝x(2x﹣3)
C．y＝(x+4)2﹣x2
D．y＝
13．（2020·广西壮族自治区初三期中）若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（
）
A．a≠0
B．a≠2
C．a＜2
D．a＞2
14．（2020·湖北省初三月考）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．=
B．y＝
C．y=k
D．y=k2x
15．（2020·广西壮族自治区初三月考）下列各式中，y是x的二次函数的是(
)
A．y＝3x－1
B．y＝
C．y＝3x2＋x－1
D．y＝2x2＋
16．（2020·成都市泡桐树中学初一期中）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为(
)
A．
B．
C．
D．
17．（2019·安徽省初三月考）若是二次函数，则的值为（
）
A．2
B．-1
C．-1或2
D．以上都不对
18．（2019·天津初三期中）若是二次函数，且图象开口向下，则的值为（
）
A．
B．0
C．
D．
19．（2019·昌图县第三初级中学初三一模）把元的电器连续两次降价后的价格为元，若平均每次降价的百分率是，则与的函数关系式为(
)
A．y=320(x-1)
B．y=320(1-x)
C．y=160(1-x2)
D．y=160(1-x)
2
20．（2019·济宁市第十五中学初三月考）已知函数y＝（m+3）是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣1
B．﹣3
C．﹣1或﹣3
D．3
21．（2020·安徽省初三月考）已知函数：①；②；③；④；⑤，其中二次函数的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
22．（2020·甘肃省初一期中）一个长方形的周长为30,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为( )
A．y=x(15-x)
B．y=x(30-x)
C．y=x(30-2x)
D．y=x(15+x)
23．（2019·重庆八中初三月考）若y=（m﹣1）
是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣2或1
C．1
D．不存在
24．（2019·安徽省初三期中）用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（
）
A．
B．
C．
D．
25．（2018·广西壮族自治区初三期末）一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数的关系式是(
)
A．y=10x
B．y=x(20-x)
C．y=
x(20-x)
D．y=x(10-x)
26．（2019·吉林市第二十三中学初三月考）如果是二次函数，则__________．
27．（2018·四川省初三零模）已知函数是关于的二次函数，则__________．
28．（2019·武汉六中上智中学初三月考）函数y＝（m2－3m＋2）x2＋mx＋1-m，则当m＝_____时，它为正比例函数；当m＝____时，它为一次函数；当m_____时，它为二次函数．
29．（2019·福建省初二期中）正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为______．
30．（2019·邯郸市第十一中学初三月考）矩形周长等于40，设矩形的一边长为，那么矩形面积与边长之间的函数关系式为____.
拓展提升
1．（2020·北京临川学校初三期末）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
2．（2020·全国初三单元测试）一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
3．（2019·全国初三）已知函数.
（1）当为何值时，此函数是正比例函数？
（2）当为何值时，此函数是二次函数？
4．（2018·全国初三课时练习）王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:．若这种产品每天的销售利润为(元).求与之间的函数关系式．
5．（2018·全国初三课时练习）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2
，
求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
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第二十二章
二次函数
22.1.2
二次函数y=ax2的图像和性质
基础巩固
1．关于函数的图象，下列叙述正确的是（
）
A．的值越大，开口越大
B．的值越小，开口越小
C．的绝对值越大，开口越小
D．的绝对值越小，开口越小
【答案】C
【解析】解：因为|a|越大，抛物线的开口越小；
|a|越小，抛物线的开口越大．
2．若点A（2，m）在抛物线y=x2上，则m的值为（
）
A．4
B．±2
C．2
D．±4
【答案】A
【解析】∵点A（2，m）在抛物线上，
∴，故选：A．
3．抛物线的开口方向是（
）
A．向下
B．向上
C．向左
D．向右
【答案】B
【解析】解：∵y=2x2的二次项系数a=2＞0，
∴抛物线y=2x2的开口方向是向上；
4．函数y＝﹣2x2的图象的顶点坐标为（ ）
A．（1，﹣2）
B．（0，0）
C．（0，﹣2）
D．（2，﹣8）
【答案】B
【解析】解：函数y＝﹣2x2的图象的顶点坐标为：（0，0）．
5．抛物线，，共有的性质是（
）
A．开口方向相同
B．开口大小相同
C．当时，随的增大而增大
D．对称轴相同
【答案】D
【解析】∵抛物线，，中的＞0,8＞0，-5＜0，不相等，故开口方向和大小不同，A,B错误；
∵中，当时，随的增大而减小，故C错误；
∵抛物线，，的对称轴都是轴，故D正确
6．关于函数y＝36x2的叙述，错误的是（ ）
A．图象的对称轴是y轴
B．图象的顶点是原点
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最大值
【答案】D
【解析】解：∵函数y＝36x2的顶点在原点，
∴其对称轴是y轴，顶点是原点，故A、B正确；
∵函数y＝36x2的开口向上，顶点是原点，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，y有最小值，故C正确，D错误．
7．对于抛物线y＝x2与y＝﹣x2，下列命题中错误的是(
)
A．两条抛物线关于x轴对称
B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线各自关于y轴对称
D．两条抛物线没有公共点
【答案】D
【解析】解：两个函数的顶点坐标都是(0，0)，二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下．
故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称．
8．抛物线，，共有的性质是（
）
A．开口向上
B．对称轴是轴
C．顶点坐标都是
D．在对称轴的右侧随的增大而增大
【答案】B
【解析】解：，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,0），在对称轴的右侧随的增大而增大；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,0），在对称轴的右侧随的增大而减小；，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,1），在对称轴的右侧随的增大而增大．
9．以下那个点不在函数的图象上（
）
A．(3，9)
B．(-1，1)
C．(2，4)
D．(1，2)
【答案】D
【解析】A.
(3，9)，在函数图象上；
B.
(-1，1)，在函数图象上；
C.
(2，4)
，在函数图象上；
D.
(1，2)，不在函数图象上；
10．二次函数y=x2的图象向上平移3个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由“上加下减”的原则可知，二次函数的图象向上平移3个单位，得到新的图象的二次函数表达式是；
11．将抛物线的图象向右平移3个单位后得到的图象的表达式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将抛物线的图象向右平移3个单位后得到的图象的表达式是：；
12．点P(m
，n)在函数y
x2的图象上，当-1
≤
m
≤2时，则n的取值范围是（
）
A．1
≤
n
≤4
B．0≤
n
≤4
C．0≤
n
≤1
D．-1≤
n
≤2
【答案】B
【解析】解：函数y=x2，所以对称轴为y轴，
∵-1≤m≤2，a=1＞0即开口向上，
∴当m=0时，n有最小值0，
当m=2时，n有最大值为22=4，
所以n的取值范围是0≤n≤4．
13．已知函数y＝﹣x2的图象上有三个点：A(﹣3，y1)，B(﹣1，y2)，C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（
）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y3＞y1
C．y3＞y2＞y1
D．y3＞y1＞y2
【答案】B
【解析】解：函数的对称轴是y轴，二次函数y＝﹣x2开口向下，有最大值，
∵A到y轴的距离是3；B到y轴的距离是1，C到y轴的距离是2．
∴y2＞y3＞y1．
14．若二次函数y＝（m+3）x2的图象的开口向下，则m的取值范围是（
）
A．m＞0
B．m＜0
C．m＞﹣3
D．m＜﹣3
【答案】D
【解析】解：∵二次函数y＝（m+3）x2的图象的开口向下，
∴m+3＜0，
解得：m＜﹣3．
15．在同一坐标系中，抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2的共同特点是（
）
A．关于y轴对称，开口向上
B．关于y轴对称，y随x的增大而增大
C．关于y轴对称，y随x的增大而减小
D．关于y轴对称，顶点是原点
【答案】D
【解析】解：因为抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2都符合抛物线的最简形式y=ax2，其对称轴是y轴，顶点是原点．
16．下列说法错误的是（
）．
A．二次函数中，当时，随的增大而增大
B．二次函数中，当时，有最大值
C．越大图象开口越小，越小图象开口越大
D．不论是正数还是负数，抛物线的顶点一定是坐标原点
【答案】C
【解析】A.
二次函数中，开口方向向上，对称轴为，所以当时，随的增大而增大，正确，故不符合题意；
B.
二次函数中，开口方向向下，对称为，所以当时，有最大值，正确，故不符合题意；
C.
越大图象开口越小，越小图象开口越大，错误，故符合题意；
D.
不论是正数还是负数，抛物线的顶点一定是坐标原点，正确
，故不符合题意；
17．下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝﹣4x
B．y＝x﹣4
C．y＝
D．y＝x2
【答案】A
【解析】解：A、k＝﹣4＜0，y随x的增大而减小，故A符合题意；
B、k＝1＞0，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
C、k＝4＞0，在每一象限，y随x的增大而减小，故C不符合题意；
D、a＝1，当x＜0时，y随x增大而减小，当x＞0时，y随x增大而增大，故D不符合题意；
18．下列抛物线中，在开口向下的抛物线中开口最大的是（
）
A．y=x2
B．y=﹣
x2
C．y=x2
D．y=﹣x2
【答案】B
【解析】∵抛物线开口向下，
∴二次项系数小于0，
∵|-
|＜|-
|，
∴y=-x2的开口更大．
19．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，
而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x≤1，
∴m≥1．
20．如图，一次函数y＝ax+a和二次函数y＝ax2的大致图象在同一直角坐标系中可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2的开口向上，一次函数y＝ax+a的图象经过第一、二、三象限，A错误，B正确；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2的开口向下，一次函数y＝ax+a的图象经过第二、三、四象限，C错误，D错误．
21．已知点A（-2，m），B（2，m），C（3，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A．y＝x
B．y＝﹣
C．y＝x2
D．y＝﹣x2
【答案】D
【解析】解：∵A（-2，m），B（2，m）关于y轴对称，且在同一个函数的图像上，
而，的图象关于原点对称，
∴选项A、B错误，只能选C、D，
，
；
∵，在同一个函数的图像上，
而
y＝x2在y轴右侧呈上升趋势，
∴选项C错误，
而D选项符合题意.
22．下列二次函数中，如果图像能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：已知图像能与y轴交于点A（0，1），
故函数经过（0,1），
只有经过该点，故选B.
23．已知点（﹣4，y1），（2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2
B．y1＞y2
C．y1≤y2
D．y1≥y2
【答案】B
【解析】∵二次函数的解析式为y=x2-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=0，
∵（-4，y1）、B（2，y2），
∴点（-4，y1）离直线x=0远，点（2，y2）离直线x=0近，
而抛物线开口向上，
∴y1＞y2．
24．抛物线在同一直角坐标系内，则它们（
）
A．都关于轴对称
B．开口方向相同
C．都经过原点
D．互相可以通过平移得到
【答案】A
【解析】．观察两个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴，对称轴为轴，都关于轴对称,该选项正确；
．前一个，开口向上，后一个，开口向下，该选项错误；
前一个经过原点，后一个经过点，该选项错误；
．因为二次项系数不一样，不可能通过平移得到的，该选项错误；.
25．若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在二次函数y＝mx2（m＞0）图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b
B．b＜a＜c
C．a＜b＜c
D．c＜b＜a
【答案】B
【解析】∵二次函数y＝mx2（m＞0）
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵A（﹣2，a）、B（﹣1，b）、C（3，c）
∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，
而抛物线开口向上，
∴b＜a＜c；
26．二次函数y＝（m﹣1）x2的图象开口向下，则m_____．
【答案】＜1
【解析】∵二次函数y＝（m﹣1）x2的图象开口向下，
∴m﹣1＜0，
解得：m＜1，
27．已知二次函数的图象开口向上，则________________．
【答案】
【解析】解：∵是二次函数
∴m2-3m+2=2
解得
m=0或3
∵图像的开口向上
∴m-1＞0
即m＞1
∴m=3
28．已知两个二次函数的图像如图所示，那么
a1________a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】
【解析】解：如图所示：
的开口小于的开口，
则a1＞a2，
29．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=x2与y=–x2的图象，则阴影部分的面积是__________．
【答案】8
【解析】函数y=x2与y=–x2的图象关于x轴对称，又因正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，所以阴影部分的面积为正方形面积的一半，即4×4×=8.
30．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．
【答案】a＞b＞d＞c
【解析】因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
拓展提升
31．画出二次函数y＝x2的图象．
【解析】函数y＝x2的图象如图所示：
32．已知是二次函数，且函数图象有最高点.
(1)求k的值；
(2)求顶点坐标和对称轴．
【解析】（1）∵y=（k+2）xk2+k?4是二次函数，
∴k2+k-4=2且k+2≠0，
解得k=-3或k=2，
∵函数有最高点，
∴抛物线的开口向下，
∴k+2＜0，
解得k＜-2，
∴k=-3．???????????????????
（2）当k=-3时，y=-x2顶点坐标（0，0），对称轴为y轴.
33．一条抛物线的顶点和形状都与抛物线相同，但开口方向相反，求此抛物线解析式，并画出它的图像.
【解析】解：所求抛物线的顶点和形状与抛物线相同，但开口方向相反，
∴为的相反数，
解析式为
34．如图，直线y=kx+b(b>0)与抛物线y=x2相交于点A（x1,y1),B(x2,y2)两点，与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，设?OCD的面积为S，且kS+8=0.
（1）求b的值.
（2）求证：点（y1,y2)在反比例函数y=的图像上.
【解析】（1）∵D(0,b),C(-,0)
∴由题意得OD=b,OC=
-
∴S=
∴k?()+8=0
∴b=4(b>0)
（2）∵
∴
∴
∴
∴点（y1,y2)在反比例函数y=的图像上.
35．在平面直角坐标系中，若抛物线与直线交于点和点，其中，点为原点，求的面积.
【解析】解：由题意得：
解得：或
∵点和点，其中
∴，
直线与y轴的交点坐标为：（0，1）
∴
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