2019-2020学年江西省萍乡市高一下学期期末数学试卷 （word解析版）

2019-2020学年萍乡市高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．不等式（2+x）（1﹣x）≥0的解集为（　　）
A．[﹣2，1] B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
2．为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革．学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性（　　）
A．都相等，且为 B．不全相等
C．都相等，且为 D．都不相等
3．已知等比数列{an}中a3?a5＝18，a4?a8＝72，则公比q为（　　）
A． B．2 C．±2 D．
4．在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下，若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（　　）
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 144 147 318 027
A． B． C． D．
5．若a＞b＞0，c≤0，则下列结论正确的是（　　）
A．ac≥bc B．ac2＞bc2 C． D．
6．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖．萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪镇邪．坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建．某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60°，在塔底C处测得A处的俯角为45°．已知山岭高CD为36米，则塔高BC为（　　）
A．（）米 B．（）米 C．（）米 D．（）米
8．某地甲乙两家保险公司分别对公司的员工进行了保险基础知识测试，现从两家公司的员工中各随机选取10人的测试成绩用茎叶图表示．如图，则下列说法错误的是（　　）
A．甲保险公司员工的测试成绩的众数高于乙保险公司员工的测试成绩的众数
B．甲保险公司员工的测试成绩的极差低于乙保险公司员工的测试成绩的极差
C．甲保险公司员工的测试成绩的平均分高于乙保险公司员工的测试成绩的平均分
D．甲保险公司员工的测试成绩的方差高于乙保险公司员工的测试成绩的方差
9．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（　　）
A．336 B．510 C．1326 D．3603
10．在区间[﹣2，2]上随机取一个数x，则事件“y＝，且”发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（　　）
A．﹣3 B．2 C． D．
12．已知数列{an}中，，其前n项和Sn，数列的前n项和Tn．若对n∈N*恒成立，则实数λ取值范围是（　　）
A．（3，+∞） B．（﹣1，3） C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．某印刷厂的工人师傅为了了解96个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对96个印章进行编号为：01，02，03，…，96，已知抽取的印张中最小的两个编号为07，15，则抽取的印张中最大的编号为　 　．
14．已知，当z＝x+y取到最小值时，xy的最大值为　 　．
15．1+++…+＝　 　．
16．已知锐角△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝1，三角形的面积S△ABC＝1，则a2+b2的取值范围为　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．2020年2月份，根据新型冠状病毒的疫情情况，教育部下达了延迟开学的通知．由此使得全国中小学生停课，影响了教学进度，某高中按照“停课不停学”的原则，扎实开展停课不停学的工作，特制定了网上授课和微课自学相结合的学习方式进行教学，某学校随机调查了100名学生每天使用微课学习情况，进行抽样分析，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这100名学生每天使用微课学习时间的中位数（结果保留一位小数）；
（2）为了进一步了解学生的学习情况，按分层抽样的思想，从每天使用微课学习时间在[40，60）分钟的学生中抽出5人，再从5人中随机抽取2人，试求抽取的2人中恰有一人来自使用微课学习时间在[40，50）分钟的概率．
18．（1）解不等式；
（2）解关于x的不等式：x2﹣ax+a﹣1＜0（a∈R）．
19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a?sinA﹣b?sinB＝a?sinC﹣c?sinC．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为，其外接圆半径，求a+c的值．
20．已知数列{an}中，a1＝1，a1a2+a2a3+…+anan+1＝1﹣an+1．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求Sn＝b1+b2+…+bn．
21．为了了解某校高中生的身体质量情况，某调查机构进行了一次高一学生体重和身高的抽样调查，从中抽取了8名学生（编号为1～8）的身高x（cm）和体重y（kg）数据．如表：
学生的编号i 1 2 3 4 5 6 7 8
身高x（cm） 164 176 165 163 170 172 168 182
体重y（kg） 60 72 77 54 * * 72 55
某调查机构分析发现学生的身高和体重之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析并计算出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预估一名身高为180cm的学生体重为71kg，计算得到的其他数据如下：．
（1）求的值及表格中8名学生体重的平均值；
（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的学生体重数据有误，应为63kg，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的学生的体重．
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，．
22．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．
一次购物量 1至5件 6至10件 11至15件 16至20件 21件及以上
顾客数（人） x 30 25 y 5
结算时间（分钟/人） 1 2 3 4 5
已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%．
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率．（将频率视为概率）
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．不等式（2+x）（1﹣x）≥0的解集为（　　）
A．[﹣2，1] B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣1）≤0，求出解集即可．
解：不等式（2+x）（1﹣x）≥0可化为
不等式（x+2）（x﹣1）≤0，
解得﹣2≤x≤1，
所以不等式的解集为[﹣2，1]．
故选：A．
2．为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革．学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性（　　）
A．都相等，且为 B．不全相等
C．都相等，且为 D．都不相等
【分析】由题意利用系统抽样的定义和方法特点，得出结论．
解：根据系统抽样的定义和方法，它和简单随机抽样的概率是一样的，都是，
故选：C．
3．已知等比数列{an}中a3?a5＝18，a4?a8＝72，则公比q为（　　）
A． B．2 C．±2 D．
【分析】直接根据等比数列的通项公式即可求出．
解：等比数列{an}中a3?a5＝18，a4?a8＝72，
∴a12?q6＝18，a12?q10＝72，
∴q4＝4，
解得q＝±，
故选：D．
4．在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下，若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（　　）
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 144 147 318 027
A． B． C． D．
【分析】利用列举法求出今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个，由此能求出今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计值．
解：在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．
某人用计算机生成了20组随机数，用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，
今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个，分别为：
116，812，730，452，125，217，109，361，284，147，318，027，
则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是：
P＝＝．
故选：B．
5．若a＞b＞0，c≤0，则下列结论正确的是（　　）
A．ac≥bc B．ac2＞bc2 C． D．
【分析】根据条件分别取a＝2，b＝1，c＝0和a＝2，b＝1，c＝﹣1，即可排除错误选项．
解：根据a＞b＞0，c≤0，取a＝2，b＝1，c＝0，则可排除B，
取a＝2，b＝1，c＝﹣1，则可排除A，C．
故选：D．
6．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由三角形的三边成等差数列，根据等差数列的性质得到a+c＝2b，记作①，再由sinA，sinB及sinC成等比数列，根据等比数列的性质得到一个关系式，利用正弦定理化简得到关于a，b及c的关系式，记作②，联立①②消去b得到关于a与c的关系式，变形可得出a＝c，从而得到a，b及c都相等，即可得解．
解：∵三边a，b，c成等差数列，
∴a+c＝2b①，
又sinA，sinB，sinC成等比数列，
∴sin2B＝sinA?sinC，
根据正弦定理化简得：b2＝ac②，
由①得：b＝，代入②得：＝ac，即（a﹣c）2＝0，
∴a＝c，故b＝a＝c，
则三角形为等边三角形．
故选：C．
7．俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖．萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪镇邪．坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建．某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60°，在塔底C处测得A处的俯角为45°．已知山岭高CD为36米，则塔高BC为（　　）
A．（）米 B．（）米 C．（）米 D．（）米
【分析】根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC的值．
解：如图所示，
在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，CD＝36，所以AD＝36；
在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，所以BD＝ADtan∠BAD＝36，
所以BC＝BD﹣CD＝36﹣36，
即塔高BC为（36﹣36）米．
故选：B．
8．某地甲乙两家保险公司分别对公司的员工进行了保险基础知识测试，现从两家公司的员工中各随机选取10人的测试成绩用茎叶图表示．如图，则下列说法错误的是（　　）
A．甲保险公司员工的测试成绩的众数高于乙保险公司员工的测试成绩的众数
B．甲保险公司员工的测试成绩的极差低于乙保险公司员工的测试成绩的极差
C．甲保险公司员工的测试成绩的平均分高于乙保险公司员工的测试成绩的平均分
D．甲保险公司员工的测试成绩的方差高于乙保险公司员工的测试成绩的方差
【分析】通过观察茎叶图，根据平均数的运算公式和众数，极差的定义，可确定选项A，B，C正确，根据数据的稳定程度与茎叶图形状的关系，可判断甲保险公司员工的测试成绩低于乙保险公司员工的测试成绩，即选项D错误．
解：由茎叶图可知，
选项A，甲保险公司员工的测试成绩的众数77，高于乙保险公司员工的测试成绩的众数64成立；
选项B，甲保险公司员工的测试成绩的极差96﹣59＝37，低于乙保险公司员工的测试成绩的极差94﹣49＝45成立；
选项C，甲保险公司员工的测试成绩的平均分782÷10＝78.2，高于乙保险公司员工的测试成绩的平均分684÷10＝68.4成立；
选项D，甲保险公司员工的测试成绩较乙保险公司员工的测试成绩稳定，波动小，所以甲保险公司员工的测试成绩高于乙保险公司员工的测试成绩不成立．
故选：D．
9．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（　　）
A．336 B．510 C．1326 D．3603
【分析】由题意可得，该表示为七进制，运用进制转换，即可得到所求的十进制数．
解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，
化为十进制数为1×73+3×72+2×7+6＝510．
故选：B．
10．在区间[﹣2，2]上随机取一个数x，则事件“y＝，且”发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，求事件“y＝，且”发生时x的取值范围，代入几何概型计算公式，即可求出答案．
解：事件“y＝，且”
由题可知，该分段函数是一个增函数，
，此时x∈[﹣1，1]，
所以该事件发生的概率P＝＝．
故选：A．
11．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（　　）
A．﹣3 B．2 C． D．
【分析】由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝2，S＝﹣3，
不满足条件k≥2020，执行循环体，k＝2，S＝﹣，
不满足条件k≥2020，执行循环体，k＝3，S＝，
不满足条件k≥2020，执行循环体，k＝4，S＝2，
不满足条件k≥2020，执行循环体，k＝5，S＝﹣3，
不满足条件k≥2020，执行循环体，k＝6，S＝，
…
观察规律可知S的取值周期为4，由于2020＝505×4，
可得k＝2020，S＝2，满足条件k≥2020，退出循环，输出S的值为2．
故选：B．
12．已知数列{an}中，，其前n项和Sn，数列的前n项和Tn．若对n∈N*恒成立，则实数λ取值范围是（　　）
A．（3，+∞） B．（﹣1，3） C． D．
【分析】运用等比数列的通项公式和求和公式，可得3（2n﹣1）﹣λ?（﹣1）n?（2n+1）＞0恒成立，再对n为偶数或奇数，由参数分离和数列的单调性可得最值，进而得到所求范围．
解：数列{an}中，，其前n项和Sn＝＝2（1﹣），
由an2＝，可得前n项和Tn＝＝（1﹣），
对n∈N*恒成立，
即为4（1﹣）2﹣λ?（﹣1）n?（1﹣）＞0，
即3（1﹣）﹣λ?（﹣1）n?（1+）＞0，即有3（2n﹣1）﹣λ?（﹣1）n?（2n+1）＞0恒成立，
当n为偶数时，λ＜＝3（1﹣）恒成立，
由{3（1﹣）}在n∈N*递增，
可得n＝2时，3（1﹣）取得最小值，则λ＜；
当n为奇数时，﹣λ＜＝3（1﹣）恒成立，
由{3（1﹣）}在n∈N*递增，
可得n＝1时，3（1﹣）取得最小值1，则﹣λ＜1，即λ＞﹣1．
则实数λ的取值范围是（﹣1，），
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．某印刷厂的工人师傅为了了解96个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对96个印章进行编号为：01，02，03，…，96，已知抽取的印张中最小的两个编号为07，15，则抽取的印张中最大的编号为　95　．
【分析】利用系统抽样的定义，求出样本间隔即可．
解：已知抽取的学生中最小的两个编号为07，15．
则样本间隔为15﹣7＝8，
则抽样样本数为96÷8＝12个，
则抽取的学生中最大的编号7+8×11＝95，
故答案为：95．
14．已知，当z＝x+y取到最小值时，xy的最大值为　　．
【分析】由约束条件作出可行域，求出x+y的最小值，再由基本不等式求最值．
解：由约束条件作出可行域如图，
作出直线y＝﹣x，由图可知，平移直线y＝﹣x至与直线x+y＝1重合时，z有最小值，
此时x+y＝1，且x≥0，y≥0．
∴xy≤．
当且仅当x＝y＝时上式等号成立．
∴xy的最大值为．
故答案为：
15．1+++…+＝　　．
【分析】由＝．
可得1+++…+＝2（1﹣++…+﹣）即可求解．
解：解：＝．
∴1+++…+＝2（1﹣++…+﹣）＝2（1﹣）＝．
故答案为：．
16．已知锐角△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝1，三角形的面积S△ABC＝1，则a2+b2的取值范围为　　．
【分析】将该三角形的边AB放在x轴上，结合已知条件可知，顶点C在线段y＝2（0＜x＜1）上，然后利用距离公式即可表示出a2+b2的值，最终转化为二次函数的最值问题．
解：由已知得AB＝1，，故h＝2．
故顶点到边AB的距离为2．
将△ABC如图置于平面直角坐标系中：则A（0，0），B（1，0），C（x，2）．
因为锐角△ABC，且最大边在AC，BC中产生，所以x∈（0，1）．
∴a2+b2＝AC2+BC2＝x2+4+（x﹣1）2+4＝2x2﹣2x+9，（0＜x＜1）．
令f（x）＝，x∈（0，1）．
该二次函数在单调递减，在上单调递增，且关于对称．
∴，f（x）＜f（0）＝f（1）＝9．
∴．∴．
故答案为：
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．2020年2月份，根据新型冠状病毒的疫情情况，教育部下达了延迟开学的通知．由此使得全国中小学生停课，影响了教学进度，某高中按照“停课不停学”的原则，扎实开展停课不停学的工作，特制定了网上授课和微课自学相结合的学习方式进行教学，某学校随机调查了100名学生每天使用微课学习情况，进行抽样分析，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这100名学生每天使用微课学习时间的中位数（结果保留一位小数）；
（2）为了进一步了解学生的学习情况，按分层抽样的思想，从每天使用微课学习时间在[40，60）分钟的学生中抽出5人，再从5人中随机抽取2人，试求抽取的2人中恰有一人来自使用微课学习时间在[40，50）分钟的概率．
【分析】（1）由频率分布直方图能求出a，从而能求出中位数．
（2）由频率分布直方图中可求得每天使用微课学习时间在[40，60）分钟的学生人数为10+15＝25人，按分层抽样的方法抽出5人时，时间在[40，50）分钟的人数有2人，记为{a1，a2}，时间在[50，60）分钟的人数有3人，记为{b1，b2，b3}．任选2人，利用列举法能求出抽取的2人中恰有一人来自使用微课学习时间在[40，50）分钟的概率．
解：（1）由10×（0.01+0.015×2+a+0.025+0.005）＝1，
得a＝0.03．
设中位数为x，则根据直方图可知x∈[70，80），
所以10×（0.01+0.015×2）+0.03（x﹣70）＝0.5，
所以x≈73.3，即中位数为73.3．
（2）由频率分布直方图中可求得每天使用微课学习时间在[40，60）分钟的学生人数为10+15＝25人，
所以按分层抽样的方法抽出5人时，时间在[40，50）分钟的人数有2人，记为{a1，a2}，
时间在[50，60）分钟的人数有3人，记为{b1，b2，b3}．
则任选2人共有：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）10种情况，
而恰有一人来自使用微课学习时间在[40，50）分钟共有：
（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3）6种情况，
故抽取的2人中恰有一人来自使用微课学习时间在[40，50）分钟的概率为．
18．（1）解不等式；
（2）解关于x的不等式：x2﹣ax+a﹣1＜0（a∈R）．
【分析】（1）原不等式可化为（x+1）（x﹣2）（x﹣5）≥0且x≠2，由标根法求出它的解集．
（2）原不等式等价于（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＜0，再利用二次函数的性质、分类讨论，求出它的解集．
【解答】（1）原不等式可化为（x+1）（x﹣2）（x﹣5）≥0且x≠2，
由标根法（或穿针引线法）：
可得不等式的解集为[﹣1，2）∪[5，+∞）．
（2）原不等式等价于（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＜0．
1°当a＞2时，1＜x＜a﹣1；
2°当a＝2时，（x﹣1）2＜0，解集为空集?；
3°当a＜2时，a﹣1＜x＜1．
综上所述，
当a＞2时，解集为{x|1＜x＜a﹣1}；
当a＝2时，解集为空集?；
当a＜2时，解集为{x|a﹣1＜x＜1}．
19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a?sinA﹣b?sinB＝a?sinC﹣c?sinC．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为，其外接圆半径，求a+c的值．
【分析】（1）由a?sinA﹣b?sinB＝a?sinC﹣c?sinC及正弦定理，得a2+c2﹣b2＝ac，再利用余弦定理即可得出．
（2），可得ac＝4．由正弦定理得b＝2RsinB＝2，再利用余弦定理即可得出．
解：（1）由a?sinA﹣b?sinB＝a?sinC﹣c?sinC及正弦定理，得a2+c2﹣b2＝ac，…
所以，………………………………………………………………………
所以．…………………………………………………………………………………
又B∈（0，π），故，…………………………………………………………………
（2），∴ac＝4．………………………………………………………
由正弦定理得b＝2RsinB＝2．………………………………………………………………
由（1）中a2+c2﹣b2＝ac，可得（a+c）2＝3ac+b2＝12+4＝16，……………………
所以a+c＝4．…………………
20．已知数列{an}中，a1＝1，a1a2+a2a3+…+anan+1＝1﹣an+1．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求Sn＝b1+b2+…+bn．
【分析】（1）当n≥2时，得a1a2+a2a3+…+an﹣1an＝1﹣an，
两式相减得．即可得是以为首项，公差为1的等差数列．
（2）由（1）得．利用错位相减法求Sn．
解：（1）当n≥2时，由a1a2+a2a3+…+anan+1＝1﹣an+1，
得a1a2+a2a3+…+an﹣1an＝1﹣an，
两式相减得anan+1＝an﹣an+1．
∴．
当n＝1时，a1a2＝1﹣a2＝a2得．
∴，
故是以为首项，公差为1的等差数列．
（2）由（1）得，故．
，
2Sn＝1?22+2?23+…+n?2n+1，
两式相减得．
∴．
21．为了了解某校高中生的身体质量情况，某调查机构进行了一次高一学生体重和身高的抽样调查，从中抽取了8名学生（编号为1～8）的身高x（cm）和体重y（kg）数据．如表：
学生的编号i 1 2 3 4 5 6 7 8
身高x（cm） 164 176 165 163 170 172 168 182
体重y（kg） 60 72 77 54 * * 72 55
某调查机构分析发现学生的身高和体重之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析并计算出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预估一名身高为180cm的学生体重为71kg，计算得到的其他数据如下：．
（1）求的值及表格中8名学生体重的平均值；
（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的学生体重数据有误，应为63kg，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的学生的体重．
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，．
【分析】（1）调查员由线性回归方程，通过预估一名身高为180cm的学生体重为71kg，求解a，然后求解平均值．
（2）由（1）知更正前的数据．求出回归直线的斜率，更正后的数据的样本中心，回归直线的斜率，得到更正后该组数据的线性回归方程为．然后求解即可．
解：（1）调查员由线性回归方程，
预估一名身高为180cm的学生体重为71kg，
由此可计算，
故．
（2）由（1）知更正前的数据．
由，
得，
更正后的数据，
，，＝，
故．
更正后该组数据的线性回归方程为．
当身高为180cm时，体重为0.8×180﹣69＝75kg
故一名身高为180cm的学生的体重预估为75kg．
22．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．
一次购物量 1至5件 6至10件 11至15件 16至20件 21件及以上
顾客数（人） x 30 25 y 5
结算时间（分钟/人） 1 2 3 4 5
已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%．
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率．（将频率视为概率）
【分析】（1）由知得25+y+5＝40，x+30＝60，该超市所以顾客一次购物的结算时间可视为一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，由此能求出结果．
（2）记A为事件“一位顾客一次购买的结算时间不超过3分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为4分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为5分钟”，将频率视为概率，P（A）＝1﹣P（A1）﹣P（A2），由此能求出一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率．
解：（1）由已知得25+y+5＝40，x+30＝60，
解得x＝30，y＝10．
该超市所以顾客一次购物的结算时间可视为一个总体，
所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，
顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，
其估计值为分钟．
（2）记A为事件“一位顾客一次购买的结算时间不超过3分钟”，
A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为4分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为5分钟”，
将频率视为概率得．
P（A）＝1﹣P（A1）﹣P（A2）＝．
故一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率为．