第二章推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
第1课时 归纳推理
课后篇巩固提升
1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,……可以得出的一般性结论是( )
A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2(n∈N
)
B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N
)
C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2(n∈N
)
D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2(n∈N
)
解析观察各等式的构成规律可以发现,各等式的左边是2n-1(n∈N
)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个等式首项为n,共有2n-1项,右边是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.
答案B
2.已知不等式1+,1+,1+,……均成立,照此规律,第五个不等式应为1+<( )
A.
B.
C.
D.
解析观察不等式的左边发现,第n(n∈N
)个不等式的左边=1++…+,右边=,所以第五个不等式为1+.
答案C
3.如图是元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所形成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )
解析观察可知,该五角星对角上的两盏灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,则下一个呈现出来的图形是A中的图形.故选A.
答案A
4.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N
),则可归纳猜想{an}的通项公式为( )
A.an=
B.an=
C.an=
D.an=
解析由已知得a1=1,a2=,a3=,a4=,……由此可猜想an=(n∈N
).
答案B
5.设f(x)=,记f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x)),则f2
016(2
016)等于( )
A.2
016
B.-
C.-
D.
解析由已知可得f1(x)=,f2(x)=-,f3(x)=,f4(x)=x,f5(x)=,f6(x)=-,f7(x)=,f8(x)=x,……可得fn(x)是以4为周期的函数,因此f2016(x)=f504×4(x)=f4(x)=x,故f2016(2016)=2016.
答案A
6.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飞出去各自又带回了5只蜜蜂,……如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂( )
A.只
B.66只
C.63只
D.62只
解析根据题意,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+6×5=62(只),第三天共有蜜蜂62+62×5=63(只),……故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+65×5=66(只),故选B.
答案B
7.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律,依次在一个黑色三角形内去掉小三角形,则当n=6时,该黑色三角形内共去掉小三角形的个数为( )
A.81
B.121
C.364
D.1
093
解析由题图可知,每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形中小三角形个数的3倍加1,设第n个黑色三角形内去掉小三角形的个数为an,则n=1时,a1=1;n=2时,a2=3×1+1=4;n=3时,a3=3×4+1=13;n=4时,a4=3×13+1=40;n=5时,a5=3×40+1=121;n=6时,a6=3×121+1=364.故选C.
答案C
8.给出若干个数:,……
由此可猜测第n(n∈N
)个数为 .?
解析给出的每个数都是根式,被开方数都是两个数相加,第一个数恰好比序号多1,第二个数是分式,分子也是比序号多1,分母则是分子的平方减去1,由此可得第n个数为.
答案
9.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
①sin213°+cos217°-sin
13°cos
17°;
②sin215°+cos215°-sin
15°cos
15°;
③sin218°+cos212°-sin
18°cos
12°;
④sin2(-18)°+cos248°-sin(-18)°cos
48°;
⑤sin2(-25)°+cos255°-sin(-25)°cos
55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
解(1)选择②式计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.
证法一:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°·cosα+sin30°sinα)
=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α
=sin2α+cos2α=.故上式成立.
证法二:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=-sinα
=1+sin2α-(1-cos2α)
=1-cos2α-cos2α=1-.
故上式成立.
10.已知下列等式成立:,……试根据以上等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示,并用数列中的方法加以证明.
解从给出的各个等式可以看出:第1个等式左边有1项,右边为;第2个等式左边有2项,右边为;第3个等式左边有3项,右边为;第4个等式左边有4项,右边为,
由此可以归纳得出一般性的结论为+…+(n∈N
).
以下用数列的方法证明该等式成立:
+…+
=+…+
=+…+=.
1(共24张PPT)
第1课时 归纳推理
归纳推理
【做一做1】
已知n是正整数,
,则当n=1,2,3,4,…时,
M= , , , ,由此可推测当n>1时,M是一个整数,这个整数从最高位开始,连续有 个 ,最后一位是 .?
解析:当n=1,2,3,4,…时,M=3,23,223,2
223,因此推测当n>1时,M是一个整数,这个整数从最高位开始,连续有n-1个2,最后一位是3.
答案:3 23 223 2
223 n-1 2 3
【做一做2】
如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排列下去,那么第36颗珠子的颜色是( )
A.白色
B.黑色
C.白色的可能性大
D.黑色的可能性大
解析:由题图知,这串珠子的排列规律是每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)呈周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子,其颜色与第一颗珠子的颜色相同,故它的颜色一定是白色.
答案:A
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属于归纳推理.
( )
(2)归纳推理是根据部分已知的特殊现象推断未知的一般现象.
( )
(3)归纳推理是由部分到整体,由一般到特殊的推理.
( )
(4)归纳推理得出的结果一定不正确.
( )
(5)归纳推理分为完全归纳推理与不完全归纳推理.
( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
探究一
探究二
探究三
探究四
等式中的归纳推理问题
【例1】
已知下列等式成立:
13=1,13+23=9,13+23+33=36,13+23+33+43=100,……试根据以上几个等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示.
思路分析:分析给出的各个等式左边的项数、各项的次数以及底数的取值特点,分析等号右边的结果与项数的关系,从而写出一般性的结论.
解:从给出的各个等式可以看出:第1个等式左边有1项,是13,右边为1,等于12;第2个等式左边有2项,是13+23,右边为9,等于(1+2)2;第3个等式左边有3项,是13+23+33,右边为36,等于(1+2+3)2,第4个等式左边有4项,是13+23+33+43,右边为100,等于(1+2+3+4)2,由此可以归纳得出一般性的结论为13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2(n∈N
).
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟给出几个等式归纳其一般性结论时,要重点观察分析所给出的等式中项数、次数以及字母的系数等方面的变化规律,发现它们与自然数n的关系,从而写出一般性结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练1观察下列各式:
9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……
这些等式反映了自然数间的某种规律,设n表示正整数,则可用关于n的等式表示为 .?
解析:由已知,得32-12=2×4,42-22=3×4,52-32=4×4,62-42=5×4,
……猜想(n+2)2-n2=4(n+1).
答案:(n+2)2-n2=4(n+1)
探究一
探究二
探究三
探究四
不等式中的归纳推理问题
【例2】观察下列不等式:
思路分析:观察给出的不等式发现,左侧括号内是连续奇数的倒数之和,右侧括号内是连续偶数的倒数之和,而另一个数与项数有关,据此可写出一般性结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟给出几个不等式归纳其一般性结论时,要重点观察分析所给出的不等式中项数、次数以及字母的系数等方面的变化规律,发现它们与自然数n的关系,从而写出一般性结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2观察下列不等式:log32·log34<1,log43·log45<1,
log54·log56<1,……试由此归纳出一个一般性的结论,并证明这一结论.
解:由所给几个不等式可得一般性结论为:若n∈N
,且n>2,
则logn(n-1)·logn(n+1)<1.
证明:因为n∈N
且n>2,
所以logn(n-1)>0,logn(n+1)>0,
探究一
探究二
探究三
探究四
图形中的归纳推理问题
【例3】
有两种颜色的正六边形地面砖,按如图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中灰色正六边形的个数是
( )
?
A.26
B.31
C.32
D.36
思路分析:分析给出的3个图案中灰色正六边形的个数,猜测一般结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
解析:方法一:灰色正六边形个数如表:
由表可以看出灰色正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中灰色正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.
方法二:由图案的排列规律可知,除第一块白色正六边形需6个灰色正六边形围绕(图案1)外,每增加一块白色正六边形,只需增加5块灰色正六边形(每两块相邻的白色正六边形之间有一块“公共”的灰色正六边形),故第六个图案中灰色正六边形的个数为
6+5×(6-1)=31.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟解决图形形式的归纳推理问题,关键是认真分析给出的图形的各方面的特点,例如数量规律、排列规律、结构规律等,由此推测出一般结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练3观察下图中的图形规律,在右下角的空格内画上合适的图形为( )
探究一
探究二
探究三
探究四
数列中的归纳推理问题
【例4】
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).试归纳猜想数列{an}的通项公式.
思路分析:利用a1的值和公式nan+1=Sn+n(n+1),逐步求得a2,a3,a4的值,然后归纳得到数列{an}的通项公式.
解:由于a1=2,且nan+1=Sn+n(n+1).
令n=1,得a2=S1+1×2=a1+2=2+2=4;
令n=2,得2a3=S2+2×3=a1+a2+6=2+4+6=12,于是a3=6;
令n=3,得3a4=S3+3×4=a1+a2+a3+12=2+4+6+12=24,于是a4=8,
由此可以归纳得到数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N
).
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟在数列问题中,常常用归纳推理来求数列的通项公式与前n项和公式,其一般步骤是:
(1)根据给出的第1项(或其他几项)的值,利用递推关系式求出数列的前几项或前几项和;
(2)观察数列的前几项或前几项和的结果,从中寻找与项数n的关系;
(3)写出数列的通项公式或前n项和公式.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练4已知在数列{an}中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和),则S2,S3,S4分别为 ,由此猜想Sn= .?
解析:由Sn,Sn+1,2S1成等差数列,得2Sn+1=Sn+2S1.
∵S1=a1=1,∴2Sn+1=Sn+2.
1.根据给出的数塔猜测123
456×9+7等于( )
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1
111
1
234×9+5=11
111
12
345×9+6=111
111
A.1
111
110
B.1
111
111
C.1
111
112
D.1
111
113
解析:由数塔呈现的规律知,结果是各位都是1的7位数.
答案:B
2.如图,在所给的四个选项中,最适合填入问号处,使之呈现一定的规律性的为( )
解析:观察第一组中的三个图,可知每一个黑色方块都从右向左循环移动,每次向左移动一格,由第二组的前两个图,可知选A.
答案:A
解析:由已知不等式可猜测
答案:C
4.观察下列等式:(1+1)=2×1,(2+1)(2+2)=22×1×3,(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5,……照此规律,第n个等式可为 .?
答案:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N
)第二章推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
第2课时 类比推理
课后篇巩固提升
1.给出下列三个类比结论:①类比ax·ay=ax+y,则有ax÷ay=ax-y;②类比loga(xy)=logax+logay,则有sin(α+β)=sin
α+sin
β;③类比(a+b)2=a2+2ab+b2,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.
其中正确结论的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析根据指数幂的运算性质知①正确;根据正弦函数的运算性质知②错误;根据向量的运算性质知③正确,因此正确结论有2个.
答案C
2.在等差数列{an}中,有结论,类比该结论,在等比数列{bn}中,可有结论( )
A.
B.
C.
D.
解析由于b1b8=b2b7=b3b6=b4b5,所以,故选D.
答案D
3.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知:四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,四面体P-ABC的体积为V,则r=( )
A.
B.
C.
D.
解析将△ABC的三条边长a,b,c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1,S2,S3,S4,将三角形面积公式中系数,类比到三棱锥体积公式中系数,从而可知选C.证明如下:以四面体各面为底,内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V,所以V=S1r+S2r+S3r+S4r,故r=.
答案C
4.在平面直角坐标系内,方程=1表示在x轴、y轴上的截距分别为a和b的直线,拓展到空间,在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c(abc≠0)的平面方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.ax+by+cz=1
解析从方程=1的结构形式来看,空间直角坐标系中,平面方程的形式应该是=1.
答案A
5.若数列{an}是等差数列,则数列{bn}bn=也是等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则dn的表达式应为( )
A.dn=
B.dn=
C.dn=
D.dn=
解析若{an}是等差数列,则设其首项为a1,公差为d,则a1+a2+…+an=na1+d,∴bn=a1+d=n+a1-,即{bn}为等差数列;若{cn}是等比数列,则设其首项为c1,公比为q,则c1·c2·…·cn=·q1+2+…+(n-1)=,∴dn==c1·,即{dn}为等比数列.故选D.
答案D
6.在平面几何中,△ABC中的内角平分线CE分AB所成线段的比为(如图①).把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图②),平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于点E,则得到的结论是 .?
图①
图②
解析由平面中线段的比转化为空间中面积的比,可得.
答案
7.圆的面积S=πr2,周长C=2πr,两者满足C=S'(r),类比此关系写出球的公式的一个结论是? .?
解析圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得,球的体积V=πR3,表面积S=4πR2,满足S=V'(R).
答案球的体积V=πR3,表面积S=4πR2,满足S=V'(R)
8.解决问题“求方程3x+4x=5x的解”有如下思路:方程3x+4x=5x可变为=1,由函数f(x)=可知,f(2)=1,且函数f(x)在R上单调递减,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解法,可得到不等式x6-(2x+3)>(2x+3)3-x2的解集是 .?
解析将不等式化为x6+x2>(2x+3)3+(2x+3),构造函数f(x)=x3+x,显然函数f(x)在R上单调递增,而f(x2)>f(2x+3),所以x2>2x+3,解得x>3或x<-1.
答案(-∞,-1)∪(3,+∞)
9.若数列{an}满足a1=1,an+an+1=,设Sn=a1+4a2+42a3+…+4n-1an(n∈N
),类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,试求5Sn-4nan.
解由题意,Sn=a1+a2×4+a3×42+…+an×,①
两边同乘以4,得
4Sn=a1×4+a2×42+…+an-1×+an×4n,②
由①+②,得5Sn=a1+(a1+a2)×4+(a2+a3)×42+…+(an-1+an)×+an×4n.
又a1=1,an+an+1=,
所以a1+a2=,a2+a3=,
所以5Sn=+an×4n.
故5Sn-4nan=n.
-
1
-(共27张PPT)
第2课时 类比推理
1.类比推理
名师点拨类比推理与归纳推理的比较
【做一做1】
“鲁班发明锯子”的思维过程为:带齿的草叶能割破行人的腿,“锯子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因此,它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的.该过程体现了( )
A.归纳推理
B.类比推理
C.没有推理
D.以上说法都不对
解析:推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,上述过程是推理,由性质类比可知是类比推理.
答案:B
2.合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.
【做一做2】
下列说法正确的是( )
A.合情推理的结论一定正确
B.合情推理的结论一定不正确
C.归纳推理和类比推理都属于合情推理
D.合情推理是由一般到特殊的推理
答案:C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)类比推理是由一般到特殊的推理.
( )
(2)由直线与圆相切时,圆心与切点的连线和直线垂直,想到平面与球相切时,球心与切点连线与平面垂直,这是运用了类比推理.
( )
(3)类比推理得到的结论可以作为定理使用.
( )
(4)合情推理在数学证明和数学发现中具有重要作用.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平面与空间的类比
思路分析:由平面向空间类比推广时,等边三角形与正四面体是类比对象,BC的中点与△BCD的重心是类比对象,外接圆与外接球是类比对象.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟平面与空间的类比是最常见的一种类比,一般地,进行平面与空间的类比时,常见的对象如下:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
等差数列与等比数列的类比
【例2】
在等差数列{an}中,如果m,n,p,r∈N
,且m+n+p=3r,那么必有am+an+ap=3ar,类比该结论,写出在等比数列{bn}中类似的结论,并用数列知识加以证明.
思路分析:从等差数列与等比数列的定义与性质出发,寻找两种数列的联系点进行类比.
解:类似结论如下:在等比数列{bn}中,如果m,n,p,r∈N
,且m+n+p=3r,那么必有bmbnbp
证明如下:设等比数列{bn}的公比为q,则bm=b1qm-1,bn=b1qn-1,bp=b1qp-1,br=b1qr-1,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.等差数列与等比数列是一对重要的类比对象,二者在很多方面可以进行类比,例如:等差数列中项的加、减、倍数运算与等比数列中的乘、除、开方运算相对应.
2.进行类比推理时,要注意比较两个对象的相同点和不同点,找到可以进行类比的两个量,然后加以推测,得到类比结果,最好能够结合相关的知识进行证明,以确保类比结果的合理性.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2设等差数列{an}的前n项和为Sn,若存在正整数m,n(m解析:在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时,加减运算类比推理到乘除运算,累加类比推理到累乘,故若正项等比数列{bn}的前n项积为Tn,若存在正整数m,n(m答案:1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解题方法的类比
【例3】
我们知道:
12=1,
22=(1+1)2=12+2×1+1,
32=(2+1)2=22+2×2+1,
42=(3+1)2=32+2×3+1,
……
n2=(n-1)2+2(n-1)+1,
将以上各式的左右两边分别相加,整理得n2=2×[1+2+3+…+(n-1)]+n(n∈N
),
所以1+2+3+…+(n-1)=
.
类比上述推理方法写出求12+22+32+…+n2的表达式的过程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
思路分析:这是解题方法上的类比问题,分析已经给出的问题的解题方法与步骤可知,应将13,23,33,…,n3等进行改写,然后两边相加,通过变形整理得出结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:已知:
13=1,
23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,
33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,
43=(3+1)3=33+3×32+3×3+1,
……
n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1,
将以上各式的左右两边分别相加,得
(13+23+…+n3)=[13+23+…+(n-1)3]+3[12+22+…+(n-1)2]
+3[1+2+…+(n-1)]+n,
整理得n3=3(12+22+…+n2)-3n2+3[1+2+…+(n-1)]+n,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟借助类比推理可以推测未知,可以发现新结论,可以探索和提供解决问题的思路和方法,这是类比推理的重要作用,因此在解决一个未知的问题时,如果能够发现未知问题与已知问题的相似之处,它们之间具有可类比性,就可以根据已知问题的求解方法类比解决未知问题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
盲目类比致误
【典例】
平面几何中有结论:若一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等或互补.类比这一结论,在立体几何中,若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角( )
A.互补
B.相等
C.互补或相等
D.大小关系不定
错解分析:本题的错误在于盲目将空间问题与平面问题类比,不注意结合实际问题进行分析.?
解析:如右图所示,当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时,这两个二面角没有任何大小关系,故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得类比推理是很重要的推理,利用类比推理可以获得一些重要结论,但它的结论不一定是正确的,因此为了使这种推理更严谨、更完美,我们还要注意结合类比所涉及的实际问题进行分析.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练已知{an}为等比数列,a7=6,则a1a2·…·a13=613.类比该结论,若{bn}为等差数列,b7=6,则{bn}中的类似结论为 .?
解析:等比数列中,“乘积”类比到等差数列中“和”,故应有结论为b1+b2+…+b13=6×13.
答案:b1+b2+…+b13=6×13
1.下列使用类比推理正确的是( )
A.“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”
C.“实数a,b,c满足运算(ab)c=a(bc)”类比推出“平面向量a,b,c满足运算(a·b)c=a(b·c)”
D.“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”
解析:对于选项A,空间中平行于同一平面的两直线平行是假命题,
错误的.对于选项C,由于向量的数量积不满足结合律,所以C是错误的.显然易知选项D是正确的.故选D.
答案:D
2.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式
,可推知扇形面积公式S扇等于( )
解析:我们将扇形的弧类比为三角形的底边,则扇形的半径r类比为三角形底边上的高,所以
.
答案:C
3.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为 .?
解析:因为两个正三角形是相似三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体积之比为相似比的立方,故体积比为1∶8.
答案:1∶8
4.在平面中,如果一个平行四边形的两条对角线相等,那么这个平行四边形是矩形.将这一结论类比推广到空间中,我们可以得到怎样的结论?如何证明该结论的准确性?
解:空间中,类似的结论是:如果一个平行六面体的体对角线相等,那么这个平行六面体是直平行六面体.
证明如下:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
若对角线A1C与AC1相等,
则四边形ACC1A1是矩形,
因此A1A⊥AC.
同理,由BD1=B1D可得四边形BB1D1D是矩形,
因此D1D⊥DB,
即A1A⊥DB.
又因为AC与BD相交,
所以A1A⊥底面ABCD,
故平行六面体是直平行六面体.第二章推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
课后篇巩固提升
基础巩固
1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电
B.猜想数列,……的通项公式为an=(n∈N
)
C.半径为r的圆的面积为πr2,则单位圆的面积为π
D.由在平面直角坐标系中,圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2
解析选项A,B是归纳推理,选项D是类比推理,只有选项C是演绎推理.
答案C
2.(多选)在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提;④函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是( )
A.①
B.②
C.③
D.④
解析根据三段论特点,过程应为:大前提是增函数的定义;小前提是f(x)=2x+1满足增函数的定义;结论是f(x)=2x+1为增函数,故①④正确.
答案AD
3.推理“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形,③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A.①
B.②
C.③
D.①和②
解析大前提为①,小前提为②,结论为③.
答案B
4.某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧,每天一部,受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一和周四上演,《茶馆》不能在周一和周三上演,《天籁》不能在周三和周四上演,《马蹄声碎》不能在周一和周四上演,那么下列说法正确的是( )
A.《雷雨》只能在周二上演
B.《茶馆》可能在周二或周四上演
C.周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》
D.四部话剧都有可能在周二上演
解析由题意可知,周一上演《天籁》,周四上演《茶馆》,周二上演《雷雨》(或《马蹄声碎》)
,周三上演《马蹄声碎》(或《雷雨》),故选C.
答案C
5.函数y=x2+2x+1的图象是一条抛物线,用三段论表示为:
大前提 .?
小前提 .?
结论 .?
答案二次函数的图象是一条抛物线 函数y=x2+2x+1是二次函数 函数y=x2+2x+1的图象是一条抛物线
6.三段论“平面内到两定点F1,F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提),平面内动点M到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4(小前提),则M点的轨迹是椭圆(结论)”中的错误是 .?
解析大前提中到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆,概念出错,不严密.而因为F1(-2,0),F2(2,0)间距离为|F1F2|=4,所以平面内动点M到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是线段而不是椭圆.
答案大前提
7.将下列演绎推理写成“三段论”的形式.
(1)太阳系的大行星都沿椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海王星沿椭圆形轨道绕太阳运行;
(2)菱形对角线互相平分;
(3)函数f(x)=x2-cos
x是偶函数.
解(1)太阳系的大行星都沿椭圆形轨道绕太阳运行,大前提
海王星是太阳系中的大行星,小前提
所以海王星沿椭圆形轨道绕太阳运行.结论
(2)平行四边形对角线互相平分,大前提
菱形是平行四边形,小前提
所以菱形对角线互相平分.结论
(3)若对函数f(x)定义域中的任意x,都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数,大前提
对于函数f(x)=x2-cos
x,当x∈R时,有f(-x)=f(x),小前提
所以函数f(x)=x2-cos
x是偶函数.结论
8.设a>0,f(x)=是R上的偶函数.
(1)求a的值;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)内是增函数.
(1)解∵f(x)是R上的偶函数,
∴对于一切x∈R,都有f(x)=f(-x),
∴+aex,
即=0对一切x∈R成立.
∵ex-不恒等于0,∴-a=0,即a2=1,∴a=±1,
又∵a>0,∴a=1.
(2)证明任取x1,x2∈(0,+∞),且x1∵x1>0,x2>0,且x10,x1+x2>0,
∴-1>0,1-<0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故f(x)在(0,+∞)内是增函数.
能力提升
1.下列推理属于演绎推理的是( )
A.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质
B.由铜、铁、铝、金、银等金属能导电,得出一切金属都能导电
C.两条直线平行,同位角相等,若角A与角B是两条平行直线的同位角,则A=B
D.在数列{an}中,a1=2,an=2an-1+1(n≥2),猜想{an}的通项公式
解析对于A选项,由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质是类比推理;对于B选项,由铜、铁、铝、金、银等金属能导电,得出一切金属都能导电是归纳推理;对于C选项,两条直线平行,同位角相等,若角A与角B是两条平行直线的同位角,则A=B是演绎推理;对于D选项,在数列{an}中,a1=2,an=2an-1+1(n≥2),猜想{an}的通项公式是归纳推理.故选C.
答案C
2.三段论“①船只要准时起航,就能准时到达目的港,②这艘船准时到达目的港,③这艘船是准时起航的.”中的小前提是( )
A.①
B.②
C.①②
D.③
解析本题中①为大前提,③为小前提,②为结论.
答案D
3.自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考,主要包括“北约”联盟,“华约”联盟,“卓越”联盟和“京派”联盟.在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时,得到如下结果:①报考“北约”联盟的学生,都没报考“华约”联盟;②报考“华约”联盟的学生,也报考了“京派”联盟;③报考“卓越”联盟的学生,都没报考“京派”联盟;④不报考“卓越”联盟的学生,就报考“华约”联盟.根据上述调查结果,下列结论错误的是( )
A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生
B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多
C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟
D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟
解析设报考“北约”联盟,“华约”联盟,“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A,B,C,D,则由题意知,A∩B=?,B?C,D∩C=?,?UD=B,∴A?D,B=C,?UD=B.选项A,B∩D=?,正确;选项B,B=C,正确;选项C,A?D,正确.故选D.
答案D
4.若函数f(x)满足f(a+b)=f(a)·f(b)(a,b∈N
),且f(1)=2,则+…+= .?
解析因为f(a+b)=f(a)·f(b)(a,b∈N
),所以可令b=1,得f(a+1)=f(a)f(1),于是=2,故+…+=2×2
015=4
030.
答案4
030
5.如图,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,运用三段论证明:BD⊥平面PAC.
证明如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线,大前提
PO⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,小前提
所以PO⊥BD.结论
正方形的对角线互相垂直,大前提
AC,BD是正方形ABCD的对角线,小前提
所以AC⊥BD.结论
如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线与该平面垂直,大前提
PO⊥BD,AC⊥BD,PO∩AC=O,且PO?平面PAC,AC?平面PAC,小前提
所以BD⊥平面PAC.结论
6.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看做是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规定,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.
(1)试给出f(4),f(5)的值,并求f(n)的表达式(不要求证明);
(2)求证:+…+.
(1)解f(4)=37,f(5)=61.
由于f(2)-f(1)=7-1=6,
f(3)-f(2)=19-7=2×6,
f(4)-f(3)=37-19=3×6,
f(5)-f(4)=61-37=4×6,
……
因此,当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),
所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.
又f(1)=1=3×12-3×1+1,
所以f(n)=3n2-3n+1.
(2)证明当k≥2时,
,
所以+…+<1+1-++…+
=1+1-<1+.
-
1
-(共31张PPT)
2.1.2 演绎推理
1.演绎推理
【做一做1】
下列推理是演绎推理的是( )
A.若M,N是平面内两定点,动点P满足|PM|+|PN|=2a>|MN|,则点P的轨迹是椭圆
B.由a1=1,an=2n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积为πr2,猜想出椭圆
的面积为πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析:可知B是归纳推理,C,D是类比推理,只有A是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理.
答案:A
2.三段论推理
【做一做2】
“凡是自然数都是整数,4是自然数,所以4是整数.”以上三段论推理( )
A.完全正确
B.推理形式不正确
C.不正确,两个“自然数”概念不一致
D.不正确,两个“整数”概念不一致
解析:大前提“凡是自然数都是整数”正确.小前提“4是自然数”也正确,推理形式符合演绎推理规则,所以结论正确.
答案:A
3.演绎推理与合情推理的区别与联系
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)演绎推理是由特殊到一般再回到特殊的推理.
( )
(2)三段论推理是演绎推理的唯一模式.
( )
(3)三段论中,大前提正确,小前提正确,推理过程正确,则结论正确.
( )
(4)三段论推理中,大前提可以省略,小前提不能省略.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
三段论推理模式的理解与应用
思路分析:分析各个命题,明确它们的大前提、小前提、结论,若有省略,则应先补齐,再改写为三段论模式.
例1将下列演绎推理改写为三段论推理的形式,并注明大前提、小前提、结论.
(1)若角A,B是等腰三角形ABC的两个底角,则A=B;
(2)函数f(x)=x3-2x的图象关于原点对称;
(3)通项公式为an=3n-1(n∈N
)的数列{an}是等差数列.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)等腰三角形的两底角相等,
…………………………大前提
角A,B是等腰三角形的底角,
………………………………小前提
所以A=B.
…………………………
…………………………结论
(2)所有奇函数的图象都关于原点对称,
…………………大前提
函数f(x)=x3-2x是奇函数,
…………………………………小前提
所以函数f(x)=x3-2x的图象关于原点对称.
…………………结论
(3)数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为常数,则{an}为等差数列,
…………………………
…………………………
…………大前提
通项公式为an=3n-1的数列{an}中,
当n≥2时,an-an-1=3n-1-[3(n-1)-1]=3为常数,
………………小前提
所以通项公式为an=3n-1的数列{an}是等差数列.
…………………………
…………………………
…………结论
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟用三段论写演绎推理的过程时,关键是明确其中的大前提、小前提、结论,其中大前提是指一般性的原理,一般都是省略不写的;小前提指出了一种特殊情况,有时也是省略的,大小前提结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系,得到结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1把下列推断写成三段论的形式:
(1)因△ABC三条边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形;
(2)一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
演绎推理在代数证明中的应用
思路分析:(1)利用等比数列的定义进行证明;(2)根据等差数列的定义求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)证明:因为2an+1-an=n,
所以2an+2-an+1=n+1,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟代数推理和证明的过程,基本都是演绎推理的应用过程,即运用已有的定义、定理、性质、法则等作为大前提进行三段论推理.证明过程中,要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提),根据需要引入相关的定义、定理、性质、法则等(大前提),并保证每一步的推理都是正确的,从而得出正确的结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2已知函数f(x)=x2+2bx+c(c(1)证明:-3(2)若m是函数y=f(x)+1的一个零点,判断f(m-4)的正负,并加以证明.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)证明:因为函数f(x)的一个零点是1,所以f(1)=0,
函数y=f(x)+1有零点,即方程x2+2bx+c+1=0有实数根,
故Δ=4b2-4(c+1)=(c+1)2-4(c+1)≥0,
所以c≥3或c≤-1,
(2)解:f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-1)·(x-c),
因为m是函数y=f(x)+1的一个零点,
所以f(m)=(m-c)(m-1)=-1<0,所以c所以c-4所以f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0,
即f(m-4)的符号为正.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
演绎推理在几何证明中的应用
【例3】
已知平面α∥平面β,直线l⊥α,l∩α=A,如图所示,
求证:l⊥β
.
思路分析:本题可由线面垂直的定义证明.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:在平面β内任取一条直线b,平面γ是经过点A与直线b的平面.设γ∩α=a.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟在几何推理过程中,多数情况下采用的都是三段论推理模式,其中大前提通常是两个三角形全等、相似的判定定理,线面平行与垂直的判定定理、性质定理,面面平行与垂直的判定定理、性质定理等,一般都可以省略不写.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3如图,在锐角三角形ABC中,AD,BE是高线,D,E为垂足,
M为AB的中点.求证:ME=MD.试用三段论推理证明这个问题,并指出每一步推理的大、小前提及结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
三段论推理中大(小)前提错误致误
【典例】
如图,已知S为△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
求证:AB⊥BC.
错解分析:本题常见错误是在证明过程中使用错误的大前提“如果两个平面垂直,那么一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面”,事实上,此处应该用的大前提是面面垂直的性质定理,即“如果两个平面垂直,那么其中一个平面内与交线垂直的直线,必垂直于另一个平面”.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:如图,过点A作直线AE⊥SB于点E,
因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,
所以AE⊥平面SBC.
又BC?平面SBC,所以BC⊥AE.
因为SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.
又AE∩SA=A,所以BC⊥平面SAB.
所以BC⊥AB,即AB⊥BC.
纠错心得在立体几何中,线面平行、垂直等位置关系的证明基本都是演绎推理三段论的过程,而这是一个难点,也是易错点,其中主要的错误在于搞错大前提,有时甚至随意编造有关定理作为大前提,从而导致错误.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.是正确的
解析:由题意,大前提“指数函数y=ax(a>0,a≠1)是增函数”是错误的,故推理得到错误的结论,选A.
答案:A
1.“因为e=2.718
28…是无限不循环小数,所以e是无理数”,以上推理的大前提是( )
A.实数分为有理数和无理数
B.e不是有理数
C.无限不循环小数都是无理数
D.无理数都是无限不循环小数
解析:由题意得:大前提是无限不循环小数都是无理数.
答案:C
2.给出下面一段演绎推理:
有理数是真分数,……大前提
整数是有理数,……小前提
整数是真分数.……结论
结论显然是错误的,是因为( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
解析:举反例,如2是有理数,但不是真分数,故大前提错误.
答案:A
3.“一切奇数都不能被2整除,35是奇数,所以35不能被2整除.”把此演绎推理写成“三段论”的形式.
大前提:
,?
小前提:
,?
结论:
.?
答案:不能被2整除的整数是奇数 35是奇数 35不能被2整除
