第二章测评
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.用反证法证明“若x+y≤0,则x≤0或y≤0”时,应假设( )
A.x>0或y>0
B.x>0且y>0
C.xy>0
D.x+y<0
解析用反证法证明“若x+y≤0,则x≤0或y≤0”时,应先假设x>0且y>0.
答案B
2.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体PABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=( )
A.
B.
C.
D.
解析正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,故.故选D.
答案D
3.观察下列各等式:55=3
125,56=15
625,57=78
125,……则52
017的末四位数字是( )
A.3125
B.5625
C.8125
D.0625
解析55=3
125的末四位数字为3125;56=15
625的末四位数字为5625;57=78
125的末四位数字为8125;58=390
625的末四位数字为0625;59=1
953
125的末四位数字为3125……根据末四位数字的变化,3125,5625,8125,0625,即末四位的数字是以4为周期变化的,故2
017除以4余1,即末四位数为3125.则52
017的末四位数字为3125.
答案A
4.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:
16进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如,用十六进制表示E+D=1B,则A×B等于( )
A.6E
B.72
C.5F
D.B0
解析A×B=110=6×16+14=6E.
答案A
5.在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,则有EF∥BC.这个命题的大前提为( )
A.三角形的中位线平行于第三边
B.三角形的中位线等于第三边的一半
C.EF为中位线
D.EF∥CB
解析本题的推理过程形式是三段论,其大前提是一个一般的结论,即三角形中位线定理.
答案A
6.证明命题“f(x)=ex+在(0,+∞)上单调递增”.现给出的证法如下:因为f(x)=ex+,所以f'(x)=ex-.因为x>0,所以ex>1,0<<1.所以ex->0,即f'(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.使用的证明方法是( )
A.综合法
B.分析法
C.反证法
D.以上都不是
解析从已知条件出发利用已知的定理证得结论,是综合法.故选A.
答案A
7.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f'(x0)=0,所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.结论正确
解析大前提是“对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,且满足当x>x0时和当x
答案A
8.已知实数a,b,c,d满足aA.aB.cC.cD.a解析构造二次函数f(x)=(x-c)(x-d),因此c,d是函数f(x)=(x-c)(x-d)的零点,且c答案D
9.无限循环小数为有理数,如:0.,0.,0.,……则可归纳出0.=( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意,得0.=0.45+0.004
5+…=.
答案D
10.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”反映这个命题本质的式子是( )
A.1++…+=2-
B.1++…+<2
C.+…+=1
D.+…+<1
解析据已知可得,每次截取的长度构成一个以为首项,为公比的等比数列,+…+=1-<1.故反映这个命题本质的式子是+…+<1.
答案D
11.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解析假设袋中只有一红一黑两个球,第一次取出后,若将红球放入了甲盒,则乙盒中有一个黑球,丙盒中无球,A错误;若将黑球放入了甲盒,则乙盒中无球,丙盒中有一个红球,D错误;同样,假设袋中有两个红球和两个黑球,第一次取出两个红球,则乙盒中有一个红球,第二次必然拿出两个黑球,则丙盒中有一个黑球,此时乙盒中红球多于丙盒中的红球,C错误.故选B.
答案B
12.已知面积为S的凸四边形中,四条边长分别记为a1,a2,a3,a4,点P为四边形内任意一点,且点P到四边的距离分别记为h1,h2,h3,h4,若=k,则h1+2h2+3h3+4h4=.类比以上性质,体积为y的三棱锥的每个面的面积分别记为S1,S2,S3,S4,此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1,H2,H3,H4,若=K,则H1+2H2+3H3+4H4=( )
A.
B.
C.
D.
解析根据三棱锥的体积公式V=Sh,得S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=V,即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V,∴H1+2H2+3H3+4H4=.
答案B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于 .(填具体数字)?
解析假设a,b,c都大于,则a+b+c>1,这与已知a+b+c=1矛盾.假设a,b,c都小于,则a+b+c<1,这与已知a+b+c=1矛盾,故a,b,c中至少有一个数不小于.
答案
14.在△ABC中,若D为BC的中点,则有),将此结论类比到四面体中,在四面体A-BCD中,若G为△BCD的重心,则可得一个类比结论: .?
解析由“△ABC”类比“四面体A-BCD”,“中点”类比“重心”,由此可得在四面体A-BCD中,G为△BCD的重心,则有).
答案)
15.甲、乙、丙三人中只有一人做了好事,
他们各自都说了一句话,而且其中只有一句真话.甲说:是乙做的.乙说:不是我做的.丙说:不是我做的.则做好事的是 .(选填“甲”“乙”或“
丙”)?
解析假设甲说的是真话,则乙说了假话,丙说的是真话,与条件不符;假设乙说的是真话,则甲说的是假话,丙说的也是假话,符合条件;假设丙说的是真话,则甲、乙二人中必有一人说的是真话,与条件不符,所以乙说的是真话,做好事的是丙.
答案丙
16.将正整数1,2,3,…按照如图的规律排列,则100应在第 列.?
解析由排列的规律可得,第n列结束的时候排了1+2+3+…+n-1=n(n+1)个数.每一列的数字都是按照从大到小的顺序排列的,且每一列的数字个数等于列数,而第13列的第一个数字是×13×(13+1)=91,第14列的第一个数字是×14×(14+1)=105,故100应在第14列.
答案14
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N
).
(1)求a2,a3,a4的值,猜想数列{an}的通项公式;
(2)运用(1)中的猜想,写出用三段论证明数列是等差数列时的大前提、小前提和结论.
解(1)∵数列{an}中,a1=1,an+1=,
∴a2=,a3=,a4=.
猜想an=.
(2)在数列{an}中,若an+1-an=d,d是常数,则{an}是等差数列,大前提
,为常数,小前提
所以数列是等差数列.结论
18.(本小题满分12分)已知a,b,c∈R.
(1)若|a|<1且|b|<1,求证:ab+1>a+b;
(2)由(1),运用类比推理,若|a|<1且|b|<1且|c|<1,求证:abc+2>a+b+c;
(3)由(1)(2),运用归纳推理,猜想出一个更一般性的结论(不要求证明).
(1)证明由ab+1-a-b=(a-1)(b-1)>0,
得ab+1>a+b;
(2)证明由(1)得(ab)c+1>ab+c,
所以abc+2=[(ab)c+1]+1>(ab+c)+1=(ab+1)+c>a+b+c;
(3)解若|ai|<1,i=1,2,3,…,n,
则有a1a2a3…an+(n-1)>a1+a2+a3+…+an.
19.(本小题满分12分)设f(α)=sinnα+cosnα,n∈{n|n=2k,k∈N
}
(1)分别求f(α)在n=2,4,6时的值域;
(2)根据(1)中的结论,对n=2k(k∈N
)时,f(α)的取值范围作出一个猜想(只需写出猜想,不必证明).
解(1)当n=2时,f(α)=sin2α+cos2α=1,
所以f(α)的值域为{1};
当n=4时,f(α)=sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-sin22α,
此时有≤f(α)≤1,
所以f(α)的值域为;
当n=6时,f(α)=sin6α+cos6α
=(sin2α+cos2α)(sin4α+cos4α-sin2αcos2α)
=1-3sin2αcos2α=1-sin22α,
此时有≤f(α)≤1,
所以f(α)的值域为.
(2)由以上结论猜想,当n=2k(k∈N
)时,f(α)的值域是.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+(x>0),若P(x1,y1),Q(x2,y2)(00,使得f'(x0)=,证明:x1证明由f(x)=x2+,得f'(x)=2x-(x>0).
又=x2+x1-,
所以2x0-=x2+x1-.①
若x0≥x2,则2x0>x1+x2,->-,
所以2x0->x2+x1-,与①矛盾;
若x0≤x1,同理可得2x0-综上,有x121.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-x2,x∈R.
(1)若正数m,n满足mn>1,证明:f(m),f(n)至少有一个不小于零;
(2)若a,b为不相等的正实数,且满足f(a)=f(b),求证:a+b<.
证明(1)假设f(m)<0,f(n)<0,即m3-m2<0,n3-n2<0.
∵m>0,n>0,∴m-1<0,n-1<0.
∴0∴mn<1,这与mn>1矛盾,
∴假设不成立,即f(m),f(n)至少有一个不小于零.
(2)由f(a)=f(b)得a3-a2=b3-b2,
∴a3-b3=a2-b2,
∴(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b),
∵a≠b,∴a2+ab+b2=a+b,
∴(a+b)2-(a+b)=ab<2,
∴(a+b)2-(a+b)<0,解得a+b<.
22.(本小题满分12分)如图,设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的实数,且aij∈{1,-1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.对于A∈S(n,n),记ri(A)为A的第i行各数之积,cj(A)为A的第j列各数之积.令l(A)=ri(A)+cj(A).
a11
a12
…
a1n
a21
a22
…
a2n
?
?
…
?
an1
an2
…
ann
(1)对如下数表A∈S(4,4),求l(A)的值;
1
1
-1
-1
1
-1
1
1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
(2)证明:存在A∈S(n,n),使得l(A)=2n-4k,其中k=0,1,2,…,n;
(3)给定n为奇数,对于所有的A∈S(n,n),证明l(A)≠0.
(1)解r1(A)=r3(A)=r4(A)=1,r2(A)=-1;c1(A)=c2(A)=c4(A)=-1,c3(A)=1,
所以l(A)=ri(A)+cj(A)=0.
(2)证明数表A0中aij=1(i,j=1,2,3,…,n),显然l(A0)=2n.
将数表A0中的a11由1变为-1,得到数表A1,显然l(A1)=2n-4.
将数表A1中的a22由1变为-1,得到数表A2,显然l(A2)=2n-8.
依此类推,将数表Ak-1中的akk由1变为-1,得到数表Ak.
即数表Ak满足:a11=a22=…=akk=-1(1≤k≤n),其余aij=1.
所以r1(A)=r2(A)=…=rk(A)=-1,c1(A)=c2(A)=…=ck(A)=-1.
所以l(Ak)=2[(-1)×k+(n-k)]=2n-4k,其中k=0,1,2,…,n;
【注:数表Ak不唯一】
(3)证明(反证法)
假设存在A∈S(n,n),其中n为奇数,使得l(A)=0.
因为ri(A)∈{1,-1},cj(A)∈{1,-1}(1≤i≤n,1≤j≤n),
所以r1(A),r2(A),…,rn(A),c1(A),c2(A),…,cn(A)这2n个数中有n个1,n个-1.
令M=r1(A)·r2(A)·…·rn(A)·c1(A)·c2(A)·…·cn(A).
一方面,由于这2n个数中有n个1,n个-1,从而M=(-1)n=-1.①
另一方面,r1(A)·r2(A)·…·rn(A)表示数表中所有元素之积(记这n2个实数之积为m);c1(A)·c2(A)·…·cn(A)也表示m,从而M=m2=1.②
①②相互矛盾,从而不存在A∈S(n,n),使得l(A)=0.
即当n为奇数时,必有l(A)≠0.
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-第二章推理与证明
习题课——推理与证明的综合问题
课后篇巩固提升
1.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算和如下:
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
b
b
b
b
c
b
c
b
d
b
b
d
a
b
c
a
b
c
d
a
a
a
a
a
b
c
d
a
c
c
a
则d(ac)等于( )
A.a
B.b
C.c
D.d
解析由给出的定义可知d(ac)=dc=a.
答案A
2.设m是一个非负整数,m的个位数记作G(m),如G(2
017)=7,G(12)=2,G(50)=0,称这样的函数为尾数函数,给出下列有关尾数函数的结论:①G(a-b)=G(a)-G(b);②?a,b,c∈N,若a-b=10c,则有G(a)=G(b);③G(a·b·c)=G(G(a)·G(b)·G(c)),则正确结论的个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
解析令a=12,b=8,则G(a-b)=G(a)-G(b),显然①错;令x,y,z为小于10的自然数,m,n,k为自然数,a=10m+x,b=10n+y,c=10k+z,由?a,b,c∈N,若a-b=10c,可知x-y=0,即a与b的个位数相同,因此G(a)=G(b),②正确;显然的个位数由这三个数的个位数的积来确定的,因此③正确.
答案B
3.若“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第45个“整数对”是( )
A.(1,9)
B.(9,1)
C.(1,10)
D.(10,1)
解析因为(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),…,(n,1)共有整数对1+2+3+…+n=个,当n=9时,共有45个整数对,所以第45个“整数对”是(9,1).
答案B
4.如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
解析如图,连接BD,BE.
在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,
∴BM,EN是相交直线,
排除选项C、D.
作EO⊥CD于点O,连接ON.
作MF⊥OD于点F,连接BF.
∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO?平面CDE,
∴EO⊥平面ABCD.
同理,MF⊥平面ABCD.
∴△MFB与△EON均为直角三角形.
设正方形ABCD的边长为2,易知EO=,ON=1,MF=,BF=,
则EN==2,BM=,
∴BM≠EN.故选B.
答案B
5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是 .?
解析若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的,同理可推出乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.
答案丙
6.若数列{an}满足an+1=an+an+2(n∈N
),则称数列{an}为“凸数列”,已知数列{bn}为“凸数列”,且b1=1,b2=-2,则数列{bn}的前2
016项的和为 .?
解析由“凸数列”的定义,可写出数列的前几项:b1=1,b2=-2,b3=-3,b4=-1,b5=2,b6=3,b7=1,b8=-2,……故数列{bn}是周期为6的周期数列.又b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,故S2
016=S336×6=0.
答案0
7.对于集合{a1,a2,…,an}和常数a0,定义:ω=为集合{a1,a2,…,an}相对a0的“正弦方差”,则集合相对a0的“正弦方差”为 .?
解析由题意,得集合相对a0的“正弦方差”为ω=,
即3ω=cos2a0+,
所以6ω=2cos2a0+1-cos+1-cos,
即6ω=2cos2a0+2-2coscos
2a0,
所以6ω=2cos2a0+2-(2cos2a0-1),于是ω=.
答案
8.阅读下列不等式的证法,并回答后面的问题.
已知a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:.
证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,
则f(x)=2x2-2x+.
∵x∈R,f(x)≥0恒成立,
∴Δ=4-8()≤0,∴.
(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1(n∈N
),请写出上述结论的推广形式;
(2)参考上述证法,请对你推广的结论加以证明.
(1)解若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1(n∈N
),
则+…+(n∈N
).
(2)证明构造函数g(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2,
则g(x)=nx2-2x++…+.
∵x∈R,g(x)≥0恒成立,
∴Δ=4-4n(+…+)≤0,
∴+…+(n∈N
).
9.点M在圆C:x2+y2=1上,经过点M的圆的切线方程为x+y=1;又点Q(2,1)在圆C外部,容易证明直线2x+y=1与圆相交;点R在圆C的内部,直线x+y=1与圆相离.类比上述结论,你能给出关于一点P(a,b)与圆x2+y2=r2的位置关系与相应直线ax+by=r2与圆的位置关系的结论吗?并证明你的结论.
解点P(a,b)在☉C':x2+y2=r2上时,直线ax+by=r2与☉C'相切;
点P在☉C'内部时,直线ax+by=r2与☉C'相离;
点P在☉C'外部时,直线ax+by=r2与☉C'相交.
证明如下:圆x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by=r2的距离为d=
.
若(a,b)在圆内,则a2+b2r,所以直线与圆相离;
若(a,b)在圆上,则a2+b2=r2,所以d=r,所以直线与圆相切;
若(a,b)在圆外,则a2+b2>r2,所以d10.设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.是否存在a1,d,使得a1,依次构成等比数列?并说明理由.
解令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).
假设存在a1,d,使得a1,依次构成等比数列,
则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.
令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,
化简得t3+2t2-2=0(
),且t2=t+1.
将t2=t+1代入(
)式,
得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-.
显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,
因此不存在a1,d,使得a1,依次构成等比数列.
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-(共19张PPT)
习题课——推理与证明的综合问题
1.新定义问题
新定义问题是指给出一个新概念、新定义,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求同学在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,解决所给出的新问题.
2.推理与证明的综合
解决有些数学问题时,通常将推理和证明结合起来,一般是先通过合情推理推出有关的结论,再用直接证明或者间接证明的方法进行结论正确性的证明.
3.探索性问题
探索性问题是相对于传统封闭性问题而言的,它具有条件的不完备性、结论的不确定性等特征.解决探索性问题时,一般是先假设满足题意的元素存在或者是命题成立,再通过代数推理、论证,若可以得到满足条件的结果,则可以得出存在性结论;若得到了与已知条件等相矛盾的结果,则说明假设的元素不存在,或者命题不成立.
【做一做1】
在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围是( )
A.(0,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-1,2)
答案:B
【做一做2】
若两个向量a,b的夹角为θ,则定义“a×b”为向量的外积,其长度为|a×b|=|a||b|sin
θ.若已知|a|=1,|b|=5,a·b=-4,则|a×b|= .?
解析:设向量a,b的夹角为θ,因为|a|=1,|b|=5,a·b=-4,
答案:3
解析:∵x☉(x-2)<0,∴x(x-2)+2x+x-2<0,化简得x2+x-2<0,解得-2【做一做3】
下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:
请将错误的一个改正为lg
= .?
解析:因为表中的对数值有且仅有一个是错误的,且lg
9=2lg
3,4a-2b=2(2a-b),
所以3和9的对数值正确,
lg
5=1-lg
2,lg
8=3lg
2,
所以3lg
5+lg
8=3,故5和8的对数值也不能都错,
故只有15的对数值错误.
应改正为lg
15=lg
3+lg
5=3a-b+c.
答案:15 3a-b+c
探究一
探究二
探究三
新定义问题
思路分析:先求出{bn}的通项公式,再求出其前n项和,最后按照“和等比数列”的定义进行判断.
答案:是
探究一
探究二
探究三
反思感悟求解新定义问题时,要紧扣题目给出的新定义、新概念、新运算,并结合学过的其他数学知识加以解决.
探究一
探究二
探究三
变式训练1对于定义在R上的函数f(x),如果存在实数x0使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在不动点,则a的取值范围是( )
解析:因为f(x)=x2+2ax+1不存在不动点,所以x2+2ax+1=x无解,即x2+(2a-1)x+1=0无解.所以Δ=(2a-1)2-4<0,解得
答案:A
探究一
探究二
探究三
推理与证明的综合问题
【例2】已知椭圆具有以下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并分别记为kPM,kPN,则kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线
(a>0,b>0)写出类似的性质,并加以证明.
思路分析:先进行类比推理,得到结论后,再利用综合法进行证明.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
反思感悟椭圆和双曲线在定义、标准方程、几何性质等诸多方面都具有类似的性质,通过我们已经学习过的相关知识,可以将椭圆的某些性质和双曲线的某些性质进行类比,这样就可以发现一些新的结论,并且可以利用相关的知识证明这些结论的正确性.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探索性问题
【例3】
已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离为
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
思路分析:先假设符合条件的直线l存在,设出其方程,再根据两个条件进行求解,若求得相应的直线方程,则存在;否则,不存在.
探究一
探究二
探究三
解:(1)将点A(1,-2)代入抛物线y2=2px(p>0),得(-2)2=2p×1,
得p=2.
即抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.
解得t=±1.
综上可知t=1.
于是符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
探究一
探究二
探究三
反思感悟解决探索性问题时,一般是先假设满足题意的元素存在或者是命题成立,再在此基础上通过代数推理、论证,若可以得到满足条件的结果,不出现矛盾,则可以判断结论成立;若得到了与已知条件等相矛盾的结果,则说明假设的元素不存在.
探究一
探究二
探究三
变式训练3已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,a≠1),是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
解:假设存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1,
则f(1)=1,即loga(3-a)=1,解得a=1.5,则f(x)=log1.5(3-1.5x),但当x=2时,函数无意义,故a=1.5不符合题意,
即不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1.
1.已知函数f(x),其导数为f'(x),记函数f'(x)的导数为f″(x),若在区间(a,b)上,f″(x)>0恒成立,则称f(x)在(a,b)上为下凸函数,下列函数中,在(0,+∞)上为下凸函数的是( )
A.f(x)=2x
B.f(x)=
C.f(x)=x2
D.f(x)=sin
x
解析:对于函数f(x)=x2,f'(x)=2x,于是f″(x)=2,满足f″(x)>0恒成立,故f(x)=x2在(0,+∞)上为下凸函数.
答案:C
解析:因为f'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),
所以f'(a)=(a-b)(a-c),f'(b)=(b-a)(b-c),f'(c)=(c-a)(c-b),
答案:0
4.定义:如果函数y=f(x)在定义域内的给定区间[a,b]上存在x0(a,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,例如y=x2是[-1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f(x)=x3+mx是[-1,1]上的平均值函数,则实数m的取值范围是 .?