(共28张PPT)
2．1 曲线与方程课时作业7 曲线与方程
[基础巩固]
一、选择题
1．方程y＝－表示的曲线是( )
A．一个圆
B．一条射线
C．半个圆
D．一条直线
2．到两坐标轴距离之和等于1的点的轨迹方程是( )
A．x＋y＝1
B．x＋y＝±1
C．|x|＋|y|＝1
D．|x＋y|＝1
3．已知直线l：x－y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(4,1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，但在曲线C上
D．不在直线l上，也不在曲线C上
4．方程(x＋y－1)·＝0所表示的曲线是( )
5．下列命题正确的是( )
A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线
B．△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0
C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5
D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0
二、填空题
6．“点M在曲线y＝x上”是“点M到两坐标轴距离相等”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个)．
7．若点P(2，－3)在曲线x2－ky2＝1上，则实数k＝________.
8．到F(2,0)和y轴的距离相等的点的轨迹方程是________．
三、解答题
9．分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2,0)，平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系．
(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系．
(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
10．一条线段AB的长等于2a，两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点M的轨迹方程．
[能力提升]
11．下列选项中方程与曲线能够对应的是( )
12．已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程______________．
13．下列方程分别表示什么曲线？
(1)x2＋(x2＋y2－4)2＝0；
(2)(x－2)2＋＝0.
14．设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
课时作业7 曲线与方程
1．解析：由y＝－3－x2可知y≤0，方程可化为x2＋y2＝3(y≤0)，故表示的曲线是半圆．
答案：C
2．解析：动点P(x，y)到x轴和y轴上的距离分别为|y|和|x|，故有|x|＋|y|＝1.
答案：C
3．解析：将点M的坐标分别代入直线方程和曲线方程，都成立，所以选B.
答案：B
4．解析：原方程等价于x＋y－1＝0，x2＋y2≥4或x2＋y2－4＝0.
当x＋y－1＝0时，原方程所表示的曲线是在直线x＋y－1＝0上且不在圆x2＋y2＝4内的所有点．
显然x2＋y2－4＝0表示圆x2＋y2＝4上各点．
综上，可知正确答案为D.
答案：D
5．解析：对照曲线和方程的概念，A中的方程需满足y≠2；B中“中线AO的方程是x＝0(0≤y≤3)”；而C中，动点的轨迹方程为|y|＝5，从而只有D是正确的．
答案：D
6．解析：点M在曲线y＝x上?点M到两坐标轴距离相等，但点M到两坐标轴距离相等?/ 点M在曲线y＝x上，因为点M还有可能在y＝－x上．
答案：充分不必要
7．解析：将P(2，－3)代入曲线方程得4－9k＝1，所以k＝13.
答案：13
8．解析：设轨迹上的点为(x，y)，由题意得?x－2?2＋y2＝|x|，整理得y2＝4(x－1)．
答案：y2＝4(x－1)
9．解析：(1)过点A(2,0)，平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)，平行于y轴的直线的方程．
(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上，因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
10．解析：
如图，设点M的坐标为(x，y)．
(1)当点A或点B与原点重合时，显然有|OM|＝12|AB|＝a；
(2)当点A，点B都不在原点时，在如图所示的直角三角形AOB中，斜边上的中线|OM|＝12|AB|＝12×2a＝a，即OM的长度为定值a，所以x2＋y2＝a，即x2＋y2＝a2(x≠±a)．
综合(1)(2)可知，点M的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆，轨迹方程为x2＋y2＝a2.
11．解析：A中方程表示圆，A错误；B中方程表示两条直线y＝x和y＝－x，B错误；D中方程可化为y＝1|x|(x≠0)，曲线应在第一、二象限，且关于y轴对称，D错误．
答案：C
12．解析：设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，
则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}．
由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋?y－2?2－y＝2.化简得x2＝8y.
因为曲线在x轴上方，所以y＞0.
所以(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线．
所以所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0)．
答案：x2＝8y(y≠0)
13．解析：(1)由方程x2＋(x2＋y2－4)2＝0可得
x2＝0且x2＋y2－4＝0，即x＝0，y＝－2或x＝0，y＝2，故方程表示两个点(0，－2)和(0,2)．
(2)由(x－2)2＋y2－4＝0得x－2＝0，y2－4＝0，
∴x＝2，y＝2或x＝2，y＝－2.
故方程表示两个点(2,2)和(2，－2)．
14．解析：
方法一(直接法)：如图所示，设OQ为过点O的一条弦，P(x，y)为OQ的中点，则CP⊥OQ.
设OC的中点为M，则M点坐标为12，0，连接MP，则|MP|＝12|OC|＝12，即|MP|2＝14，
得方程x－122＋y2＝14，
由圆的范围知0＜x≤1.
故所求轨迹方程为x－122＋y2＝14(0＜x≤1)．
方法二(定义法)：设OQ为过点O的一条弦，P(x，y)为OQ的中点，连接PC，∵∠OPC＝90°，
∴动点P在以点M12，0为圆心，OC为直径的圆上．
故所求方程为x－122＋y2＝14(0＜x≤1)．
方法三(相关点法)：设OQ为过点O的一条弦，P(x，y)为OQ的中点，Q(x1，y1)，
则x＝x12，y＝y12，即x1＝2x，y1＝2y.
又(x1－1)2＋y21＝1，∴(2x－1)2＋4y2＝1(0＜x≤1)，
即所求轨迹方程为x－122＋y2＝14(0＜x≤1)．
方法四(参数法)：设OQ为过点O的一条弦，P(x，y)为OQ的中点，Q(x1，y1)，O(x2，y2)，动弦OQ所在直线的方程为y＝kx，代入圆的方程得(x－1)2＋k2x2＝1，即(1＋k2)x2－2x＝0.∴x＝x1＋x22＝11＋k2，y＝kx＝k1＋k2，消去k即得x－122＋y2＝14(0＜x≤1)．
故所求轨迹方程为x－122＋y2＝14(0＜x≤1)．
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