人教版数学九年级上册21．2．1 配方法第2课时课件（25张PPT）

(共25张PPT)
21.2.1
配方法
第2课时
配方法
人教版数学九年级上册
第二十一章
一元二次方程
1．掌握配方法和指导过程，能使用配方法解一元二次方程。
2．通过降次的思想解方程，掌握一些转化的技能。
学习目标
(1)
9x2=1
；
(2)
(x-2)2=2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)
x2+6x+9
=5；
(2)x2+6x+4=0.
把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的
形式，再利用开平方
导入新知
配方的方法
问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1)a2+2ab+b2=(
)2；
(2)a2-2ab+b2=(
)2.
a+b
a-b
探究新知
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2+4x+
=
(
x
+
)2
（2）x2-6x+
=
(
x-
)2
（3）x2+8x+
=
(
x+
)2
（4）
x2-
x+
=
(
x-
)2
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
想一想：
x2+px+(
)2=(x+
)2
配方的方法
归纳新知
用配方法解方程
怎样解方程:
x2+6x+4=0
(1)
问题1
方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
探究新知
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
问题2
为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
方程配方的方法：
方法归纳
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法的定义
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
归纳新知
例1
解下列方程：
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方，得
x2－8x+42=－1+42
,
(
x－4)2=15
由此可得
即
典例精析
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1,
即
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程两边都加12？
即
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要
注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则
,方程的两个根为
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
总结规律
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式
k2－4k＋5
的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
配方法的应用
典例精析
例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为直角三角形.
1.
方程2x2
-
3m
-
x
+m2
+2=0有一根为x
=
0，则
m
的值为（
）
A.
1
B.1
C.1或2
D.1或-2
2.应用配方法求最值.
(1)
2x2
-
4x+5的最小值；
(2)
-3x2
+
5x
+1的最大值.
C
解：原式
=
2(x
-
1)2
+3
当x
=1时有最小值3
解：原式=
-3(x
-
2)2
-
4
当x
=2时有最大值-4
巩固练习
配方法的应用
1.求最值或
证明代数式
的值为恒正
（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2
＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.
归纳新知
类别
解题策略
大江东去浪淘尽，
千古风流数人物。
而立之年督东吴，
早逝英年两位数。
十位恰小个位三，
个位平方与寿符。
哪位学子算得快，
多少年华属周瑜？
例4.读诗词解题：
（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）
典例精析
解：设个位数字为x，十位数字为(x-3)
x1=6,
x2=5
x2-11x=-30
x2-11x+5.52=-30+5.52
(x-5.5)2=0.25
x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5
x2=10(x-3)+x
∴这个两位数为36或25，
∴周瑜去世的年龄为36岁.
∵周瑜30岁还攻打过东吴，
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；
（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0；
（4）
3x2+6x-9=0.
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解；
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6,x2=-2；
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
课堂检测
2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
解：－x2－x－1=－(x2+x+
)+
－1
所以－x2－x－1的值必定小于零.
当
时，－x2－x－1有最大值
3.若
，求(xy)z
的值.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？?
解：设道路的宽为xm,
根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）,
x2=1.
答：道路的宽为1m.
5.已知a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.