广东理数压轴大题热点训练

广东理数压轴大题热点训练
宗旨:数列与不等式,函数的交叉.
热点1:
热点2:裂项相消
1.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.
（I）如果函数有且仅有两个不动点、，且c=2,一各项不为零的数列满足，求证：
（II）在(I)的条件下设，为数列的前项和，求证：
2.已知数列满足求证:数列的前n项和
3.已知函数设数列满足
求证:
求证:
4.已知正项数列的首项a1=m,其中0(I)若数列满足证明是等差数列,并求的通项公式;
(II) 若数列满足数列满足证明:
5.证明:
6.在数列中,a1=1,且设且数列的前n项和为求证:
7. 已知数列，中，对任何正整数都有：
．
（I）若数列是首项为和公比为的等比数列，求数列的通项公式；
（II）若数列是等差数列，数列是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由；
（III）求证：．
8. （I）定理：若函数的图像在区间上连续，且在内可导，则至少存在一点，使得成立.
应用上述定理证明：
①；
②.
（II）设.若对任意的实数， 恒成立，求所有可能的值.
热点3:拉格朗日中值定理
若函数的图像在区间上连续，且在内可导，则至少存在一点，使得成立.
若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.
热点4:等比相消.(形如);绝对值不等式
9.如果对于函数的定义域内任意的，都有成立，那么就称函数是定义域上的“平缓函数”．
（I）判断函数，是否是“平缓函数”；
（II）
(i)若函数是闭区间上的“平缓函数”，且．证明：对于任意的，都有成立．
(ii)若数列对所有正整数n都有设求证:
（III）设、为实常数，．若是区间上的“平缓函数”，试估计的取值范围（用表示，不必证明）．
(IV) 若是定义在实数集上的、周期为的平缓函数，试证明对、，．
若、，
当时，；
当时，不妨设，根据的周期性，，
，所以对、，都有．
对、，根据的周期性（且），存在、，使、，从而．
10. 对于数列若存在常数M＞0,对任意的，恒有
, 则称数列为B-数列.
(I)首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
(II)设是数列的前项和，若数列是B-数列,则数列一定是B-数列吗
(III)已知数列的前n项和为且证明: 是B-数列.
（IV）若数列都是数列，证明：数列也是数列.
11. 已知函数的定义域为R,且对于任意，存在正实数L,使
都成立.
若求L的取值范围;
当时数列满足
证明:
令证明:
12. 设,函数.ks5u
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（Ⅰ）证明:存在唯一实数，使；
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（Ⅱ）定义数列:,,.
（i）求证:对任意正整数n都有；
(ii) 当时, 若，证明:对任意都有:.
（Ⅰ）证明: ①. ………………………………… 1分
令,则,,
∴. ………………………………… 2分
又,∴是R上的增函数. …………………… 3分
故在区间上有唯一零点,
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即存在唯一实数使. ………………………………… 4分
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②当时, ,,由①知,即成立；………… 5分
设当时, ,注意到在上是减函数,且,
故有:,即
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∴, ………………………………… 7分
即.这就是说,时,结论也成立.
故对任意正整数都有:. ………………………………… 8分
(2)当时,由得:, ……………… 9分
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……………………… 10分
当时,,
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∴
………………………………… 12分
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对,
………………………………… 13分
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………………… 14分
热点5: 从函数上“扒”题
热点6: 函数观点及牛顿—莱布尼茨公式解题
热点7: 二项式定理证明不等式
13. 已知f(x)=x3+bx2+cx+d是定义在R上的函数, 其图象交x轴于A、B、C三点, 点B的坐标为(2,0),且 f(x)在［-1，0］和［0，2］有相反的单调性, 在［0，2］和［4，5］有相反的单调性.
(I)求c的值;
(II)在函数f(x)图象上是否存在一点M(x0,y0), 使得f(x)在点M的切线斜率为3b 若存在, 求出M点的坐标;若不存在, 说明理由.
求|AC|的取值范围.
14.已知常数a为正实数,曲线,在其上一点处的切线总经过一定点(-a,0).
(I)求证:点列在同一直线上;
(II)求证:
15. 设数列的前项和为，且对任意的，都有，．
（I）求，的值；
（II）求数列的通项公式；
（III）证明：．
热点8:构造法(最高境界)
热点9:赋值法(用到精妙之处,你总是想不到)
16.已知各项不全为零的数列的前n项和为且,其中a1=1.
(I)求的通项公式;
(II)设.
证明:
求证: (2010,广二模,21)
17已知函数证明:
18.已知函数的图像在点x=e处的切线斜率为3.
(I)求实数a的值;
(II)若,且对任意x>1均成立,求k的最大值;
(III)当n>m≥4时,证明: (mnn)m>(nmm)n. (2011,广二模,21)
19.*已知数列中,
(I)设求数列的通项公式;
(II)求使不等式成立的c的取值范围.(全国I,22)
20. 已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增．(2007,湖南,21)