第三章数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
课后篇巩固提升
1.复数-2i的实部与虚部分别是( )
A.0,2
B.0,0
C.0,-2
D.-2,0
答案C
2.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析由ab=0,得a=0,b≠0或a≠0,b=0或a=0,b=0,a-bi不一定为纯虚数;若a-bi为纯虚数,则有a=0,且b≠0,这时有ab=0.综上,可知选B.
答案B
3.已知m∈R,且(m2-m)+(lg
m)i是纯虚数,则实数m( )
A.等于0或1
B.等于0
C.等于1
D.不存在
解析依题意有所以m不存在.
答案D
4.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为( )
A.4
B.-1
C.-1或4
D.-1或6
解析由M∩N={3},知3∈M,必有(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3,
所以
得m=-1.
答案B
5.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则( )
A.a=-1
B.a≠-1,且a≠2
C.a≠-1
D.a≠2
解析①当a2-a-2≠0时,已知的复数一定不是纯虚数,解得a≠-1,且a≠2.②当a2-a-2=0,且|a-1|-1=0时,已知的复数也不是纯虚数,解得∴a=2.综上可知,当a≠-1时,已知的复数不是纯虚数.故选C.
答案C
6.若复数z=a4+16a2i(a∈R)的实部与虚部相等,则实数a的取值集合M的子集的个数为 .?
解析依题意有a4=16a2,解得a=0,4,-4,于是集合M=,其子集个数为8.
答案8
7.若(x-2y)i=2x+1+3i,则实数x,y的值分别为 .?
解析依题意得所以
答案-,-
8.若复数z=log2(x2-3x-2)+ilog2(x-3)为实数,则实数x的值为 .?
解析因为复数z=log2(x2-3x-2)+ilog2(x-3)为实数,所以log2(x-3)=0,即x-3=1,所以x=4.将x=4代入x2-3x-2中,得42-3×4-2=2>0,满足题意.
答案4
9.已知关于实数x,y的方程组:
有实数解,求实数a,b.
解由①式,根据复数相等的充要条件有解得
(
)
将(
)代入②式,得5+4a-(6+b)i=9-8i,且a,b∈R,
所以有解得a=1,b=2.
10.已知复数z1=-a2+2a+ai,z2=2xy+(x-y)i,其中a,x,y∈R,且z1=z2,求3x+y的取值范围.
解由复数相等的充要条件,
得消去a,得x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.
则圆心为(1,-1),半径r=.
令t=3x+y,则y=-3x+t.
当直线3x+y-t=0与该圆有公共点时,d=,
解得2-2≤t≤2+2,即3x+y的取值范围是[2-2,2+2].
1(共26张PPT)
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
1.复数的概念及其表示
(1)虚数单位
满足i2=-1的i叫做虚数单位.
(2)复数的定义
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,全体复数所构成的集合C叫做复数集.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
名师点拨1.对于复数z=a+bi(a,b∈R),应注意其虚部是b,而不是bi.
2.对于复数z=a+bi,只有当a,b∈R时,才能得出z的实部为a,虚部为b,若没有a,b∈R的条件,则不能说a,b就是z的实部与虚部.
2.复数相等的充要条件
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),规定a+bi与c+di相等的充要条件是
a=c,且b=d.
名师点拨两个复数的比较问题
(1)若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能够比较大小,说明这两个复数都是实数;
(2)当两个复数不全是实数时,就不能比较它们的大小,只能说它们相等还是不相等;
(3)根据两个复数相等的充要条件,如果a=c,b=d两式中至少有一个不成立,那么就有a+bi≠c+di.
【做一做2】
若x,y∈R,且2
016+yi=x-2
017i,则实数x= ,y= .?
解析:由复数相等的充要条件可得
所以x=2
016,y=-2
017.
答案:2
016 -2
017
名师点拨1.形如z=bi的数不一定是纯虚数,只有当b∈R且b≠0时,bi才是纯虚数,否则不一定是纯虚数.
2.若z是纯虚数,可设z=bi(b∈R,b≠0);若z是虚数,可设z=a+bi(a,b∈R且b≠0);若z是复数,可设z=a+bi(a,b∈R).
解析:根据纯虚数的定义知,
是纯虚数.
答案:C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若a,b是实数,则z=a+bi是虚数.
( )
(2)在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x=0,则复数z为纯虚数.
( )
(3)复数可以分为两大类:实数与虚数.
( )
(4)若复数z等于0,则其实部与虚部都等于0.
( )
(5)两个复数一定不能比较大小.
( )
(6)若一个数是实数,则其虚部不存在.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对复数相关概念的理解
【例1】
下列说法中正确的是( )
A.复数由实数、虚数、纯虚数构成
B.若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有x≠0
C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数
D.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i
思路分析:根据复数及其相关概念进行分析判断,注意列举反例.
解析:选项A错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数;选项B错,若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有y≠0,但可以x=0;选项C正确,若复数z=x+yi(x,y∈R)是纯虚数,必有x=0,y≠0,因此只要x≠0,复数z一定不是纯虚数;选项D错,当a,b∈R时,a+i与b+i都是虚数,不能比较大小.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟判断复数概念方面的命题真假的注意点
(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系;
(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同;
(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1给出下列说法:①复数2+3i的虚部是3i;②形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数;③若a∈R,a≠0,则(a+3)i是纯虚数;④若两个复数能够比较大小,则它们都是实数.其中错误说法的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:复数2+3i的虚部是3,①错;形如a+bi(b∈R)的数不一定是虚数,②错;只有当a∈R,a+3≠0时,(a+3)i是纯虚数,③错;若两个复数能够比较大小,则它们都是实数,故④正确.所以有3个错误.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数的分类及其应用
【例2】已知复数z=(a3-4a2+3a)+
(a∈R,a≠0).
(1)当a为何值时,z是实数?
(2)当a为何值时,z是虚数?
(3)是否存在实数a,使得z是纯虚数?
(4)是否存在实数a,使得z等于0?
思路分析:根据复数分类的标准及条件,建立关于实数a的方程或不等式(组),求解a满足的条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟根据复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)根据复数的分类求参数时,首先应将复数化为标准的代数形式z=a+bi(a,b∈R),若不是这种形式,应先化为这种形式,得到实部与虚部,再求解;
(2)要注意先确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解;
(3)要特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2已知m∈R,复数z=lg
m+(m2-1)i,当m为何值时,
(1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数相等的充要条件及其应用
【例3】
求解下列各题:
(1)若(4x-2y)i=x+1,求实数x,y的值;
(2)若不等式m2-(m2-2m)i<9+
成立,求实数m的值.
思路分析:对于(1),可直接根据两个复数相等的充要条件建立关于x,y的方程组求解;对于(2),应先根据两个复数能够比较大小,确定它们都是实数,然后再根据大小关系建立不等式组求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.解决复数相等问题的基本步骤
(1)等号两侧都写成复数的代数形式;
(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组);
(3)解方程(组).
2.复数比较大小问题的求解方法
一般地,两个复数是不一定能够比较大小的,若给出的两个复数有了大小关系,则说明这两个复数首先已经是实数,然后还有相应的大小关系.例如:如果a,b,c,d∈R且a+bi>c+di,则必有
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3若a,b,c∈R,且复数z1=3a+|b|i与复数z2=(2-a)-|c|i相等,则a+b+c= .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对复数的相关概念理解不清致误
【典例】
给出下列命题:①若x+yi=0,则x=y=0;②若a+bi=3+8i,则a=3,b=8;③若x为实数,且(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数,则x=±2;④若3x+mi<0,则有x<0.其中正确命题的序号是 .?
错解分析:本题常见错解是由于对复数中的相关概念,例如虚数、纯虚数、实部、虚部等理解不清,混淆它们之间的联系,导致错误选择.
解析:命题①和②都是错误的,原因是没有x,y∈R,a,b∈R的限制条件,相应结论都是错误的;命题③也是错误的,事实上,当(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数时,应有
所以x=2;④是正确的,因为由3x+mi<0可得
即x<0.
答案:④
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得复数中的许多结论,都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的,如果没有这一条件,相应结论不一定能够成立.例如:a+bi=0?a=b=0成立的条件是a,b∈R;a+bi=c+di?a=c,b=d成立的条件是a,b,c,d∈R.另外,复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的条件是a=0且b≠0,切记不能丢掉“b≠0”这一条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练若k∈R,且(2k2-5k-3)+(2k2-k-1)i不是纯虚数,则实数k的取值范围是 .?
解析:当该复数是纯虚数时,应有
解得k=3,因此若该复数不是纯虚数,必有k≠3.
答案:k≠3
答案:A
解析:复数(2+
)i的实部是0,故选D.
答案:D
3.“复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a=-2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为1-a+a2=
,所以若复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数,则4-a2=0,即a=±2;当a=-2时,4-a2+(1-a+a2)i=7i,为纯虚数,故是必要不充分条件,故选B.
答案:B
4.已知复数z1=(a+2b)+(a-b)i,z2=-4b+(2a+1)i(a,b∈R),当z1=z2时,
a+b= .?
5.如果(m2-1)+(m2-2m)i>0,求实数m的值.
答案:-1第三章数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义
课后篇巩固提升
基础巩固
1.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1
D.x2+(y+1)2=1
解析设z=x+yi(x,y∈R).
因为z-i=x+(y-1)i,
所以|z-i|==1,
则x2+(y-1)2=1.故选C.
答案C
2.若复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i表示的点在虚轴上,则实数m的值为( )
A.-1
B.4
C.-1或4
D.-1或6
解析由题意,知m2-3m-4=0,∴m=4或m=-1.
答案C
3.已知复数z1=2+i,z2=-i,则=( )
A.
B.
C.
D.5
解析由已知得|z1|=,|z2|=1,所以.
答案C
4.设复数z1=a+2i(a∈R),z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是( )
A.a<-1或a>1
B.-1
C.a>1
D.a>0
解析因为|z1|=,|z2|=,所以,即a2+4<5,所以a2<1,即-1答案B
5.若复数z1=3-5i,z2=1-i,z3=-2+ai(a∈R),在复平面内所对应的点在同一条直线上,则实数a= .?
解析设复数z1,z2,z3分别对应点P1(3,-5),P2(1,-1),P3(-2,a),由已知可得,从而可得a=5.
答案5
6.在复平面内,已知O为坐标原点,点Z1,Z2分别对应复数z1=4+3i,z2=2a-3i(a∈R),若,则a= .?
解析因为z1=4+3i,z2=2a-3i(a∈R),所以=(4,3),=(2a,-3).因为,所以8a=9,即a=.
答案
7.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则|z|= .?
解析由条件,知所以m=3,因此z=12i,故|z|=12.
答案12
8.已知复数z=(a2+1)+ai(a∈R).求:
(1)z在复平面内对应的点所在的位置;
(2)复数z在复平面内对应的点的轨迹方程.
解(1)因为a2+1≥1>0,复数z=(a2+1)+ai在复平面内对应的点为(a2+1,a),所以复数z在复平面内对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上.
(2)设z=x+yi(x,y∈R),则
消去a可得x=y2+1,所以复数z在复平面内对应的点的轨迹方程为y2=x-1.
9.当a取何值时,复数z=(a2-2a-8)+i(a∈R)对应的点Z:
(1)在复平面内实轴的下方;
(2)在直线x+y+8=0上.
解(1)点Z在复平面内实轴的下方,则<0,解得a<2,且a≠-1.
故当a<2,且a≠-1时,点Z在复平面内实轴的下方.
(2)点Z在直线x+y+8=0上,则a2-2a-8++8=0,a3-3a-2=0,
化简得(a+1)(a2-a-2)=0(a≠-1),解得a=2.
故当a=2时,点Z在直线x+y+8=0上.
能力提升
1.复数z与它的模相等的充要条件是( )
A.z为纯虚数
B.z为实数
C.z为正实数
D.z为非负实数
解析设z=x+yi(x,y∈R),依题意有=x+yi,因此必有所以y=0,x≥0,即z为非负实数.
答案D
2.已知复数z1=2-ai(a∈R)在复平面内对应的点在直线x-3y+4=0上,则复数z2=a+2i在复平面内对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析复数z1=2-ai对应的点为(2,-a),在直线x-3y+4=0上,故2+3a+4=0,解得a=-2,则复数z2=-2+2i对应的点为(-2,2),在第二象限.
答案B
3.复数z=cos
40°-icos
50°的模等于 .?
解析|z|=
==1.
答案1
4.设z1=1+i,z2=-1+i,O为原点,复数z1和z2在复平面内对应的点分别为A,B,则△AOB的面积为 .?
解析由已知可得A(1,1),B(-1,1),O为原点,
∴△AOB中,AB与x轴平行,|AB|=2,
∴S△AOB=×2×1=1.
答案1
5.已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若共线,求a的值.
解因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,
所以=(-3,4),=(2a,1).
因为共线,
所以存在实数k使=k,
即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),
所以所以
即a的值为-.
6.设z=log2(1+m)+ilo(3-m)(m∈R).
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限,求m的取值范围;
(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上,求m的值.
解(1)由题意,得解得-1即m的取值范围是-1(2)由已知,得点(log2(1+m),lo(3-m))在直线x-y-1=0上,即log2(1+m)-lo(3-m)-1=0,
所以log2[(1+m)(3-m)]=1,
因此(1+m)(3-m)=2,
则m2-2m-1=0,解得m=1±,且当m=1±时都能满足1+m>0,3-m>0,故m=1±.
4(共23张PPT)
3.1.2 复数的几何意义
1.复平面
特别提醒1.复数z=a+bi用复平面内的点Z(a,b)表示,注意其坐标是(a,b),而非(a,bi).
2.复数与平面向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点,若起点不是原点,则复数与向量不能建立一一对应关系.
【做一做1】
(1)复数z=-2-10i在复平面内对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:复数z=-2-10i在复平面内对应的点的坐标是(-2,-10),在第三象限.
答案:C
(2)若
对应的复数( )
A.等于0
B.等于-3
C.在虚轴上
D.既不在实轴上,也不在虚轴上
解析:向量
对应的复数为-3i,在虚轴上.
答案:C
3.复数的模
名师点拨1.实数0与零向量对应,故复数0的模为0.
2.两个复数相等,其模必相等,但模相等的两个复数不一定相等.
【做一做2】
(1)复数z=5-i的模等于 ;?
(2)若复数z=x+2i的模等于4,则实数x= .?
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)在复平面中,虚数对应的点都在虚轴上.
( )
(2)复数与复平面内的向量一一对应.
( )
(3)复数的模一定是正实数.
( )
(4)若|z|=2,则复数z在复平面内对应点的轨迹是一个半径等于2的圆.
( )
(5)复数z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的模为|z|=a2+b2.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数与复平面内点的对应
【例1】
已知复数z=(a+3)+(2a-4)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)Z在实轴上;
(2)Z与原点关于(2,-1)对称;
(3)Z在第四象限;
(4)Z在曲线
上.
思路分析:根据复数与点的对应关系,得到复数的实部与虚部之间应满足的条件,建立关于a的方程或不等式,即可求得实数a的值(或取值范围).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.复数与复平面内点的对应关系的实质:复数的实部就是其对应点的横坐标,复数的虚部就是其对应点的纵坐标.
2.已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时,可根据复数与点的对应关系,找到复数实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1(1)复平面中下列哪个点对应的复数是纯虚数( )
A.(1,2)
B.(-3,0)
C.(0,0)
D.(0,-2)
(2)复数2-3i对应的点在直线( )
A.y=x上
B.y=-x上
C.3x+2y=0上
D.2x+3y=0上
解析:(1)点(0,-2)对应的复数为-2i,是纯虚数,故选D.
(2)2-3i对应的点为(2,-3),满足方程3x+2y=0,故选C.
答案:(1)D (2)C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数与复平面内向量的对应
【例2】在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点.
(1)求向量
对应的复数;
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.
思路分析:根据复数与点、复数与向量的对应关系求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的向量
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得.
3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对应的复数可能改变.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数的模及其应用
【例3】
若复数
+(a2-a-6)i(a∈R)是实数,则z1=(a-1)+(1-2a)i的模为 .?
思路分析:根据复数是实数的条件以及模的计算公式求解.
解析:因为z为实数,所以a2-a-6=0,且a≠-2,
所以a=3.于是z1=2-5i,因此|z1|=
.
答案:
反思感悟1.计算复数的模时,应先确定其实部与虚部,再套用公式计算.
2.若两个复数相等,则其模必相等,反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等.
3.两个复数不一定能够比较大小,但两个复数的模一定可以比较大小.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3如果复数z满足a=1+ai(a∈R)且|z|<2,则实数a的取值范围是 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
混淆复数的模与实数的绝对值致误
【典例】
若复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应的点Z的轨迹是( )
A.2个点
B.1个圆
C.2个圆
D.4个点
错解分析:本题常见错解是由混淆复数的模与实数的绝对值之间的不同导致的.
解析:由|z|2-2|z|-3=0可得(|z|+1)(|z|-3)=0,而|z|+1>0,所以|z|=3,由复数模的几何意义可知,复数Z对应的点到原点的距离等于3,即Z的轨迹是1个圆.
答案:B
纠错心得复数的模不同于实数的绝对值,当复数为实数时,其模就是绝对值,但当复数为虚数时,其模就不同于实数的绝对值,复数模的几何意义是指复数对应的点到原点的距离.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
1.下列说法中,错误的是( )
A.复数的模是非负实数
B.“复数等于零”的充要条件是“复数的模等于零”
C.“两个复数的模相等”是“这两个复数相等”的必要条件
D.“复数z1>z2”的充要条件是“|z1|>|z2|”
正确.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),若z1=z2,则有a1=a2,b1=b2,所以|z1|=|z2|;反之,由|z1|=|z2|,推不出z1=z2,如当z1=1+3i,z2=1-3i时,|z1|=|z2|,但z1≠z2,故C说法正确.两个复数不一定能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小,故D说法错误.
答案:D
2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,则下列各式正确的是( )
A.z1>z2
B.z1C.|z1|>|z2|
D.|z1|<|z2|
解析:复数不能比较大小,排除选项A,B,
答案:D
答案:D
答案:1+2i或-1-2i