第三章数系的扩充与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是( )
A.-2
B.4
C.3
D.-4
解析z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4.
答案B
2.若复数z1=-2+i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应点所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析z1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2对应点的坐标为(-3,-1),在第三象限.
答案C
3.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是( )
A.2+4i
B.-2+4i
C.-4+2i
D.4-2i
解析依题意有,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即对应的复数为4-2i,故选D.
答案D
4.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为( )
A.2
B.4
C.4
D.16
解析由|z-4i|=|z+2|得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.
答案C
5.在复平面内,若复数z满足|z+1|=|z-i|,则z所对应的点Z的集合构成的图象是( )
A.圆
B.直线
C.椭圆
D.双曲线
解析设z=x+yi(x,y∈R),
∵|z+1|=|x+yi+1|=,
|z-i|=|x+yi-i|=,
∴.
∴x+y=0.
∴z的对应点Z的集合构成的图象是第二、四象限角平分线.
答案B
6.在复平面内,O是原点,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则对应的复数为 .?
解析-(),对应的复数为3+2i-(-2+i+1+5i)=(3+2-1)+(2-1-5)i=4-4i.
答案4-4i
7.设f(z)=则f(f(2i))= .?
解析因为|2i|=2<3,所以f(2i)=2-3i-2i=2-5i,而|2-5i|=>3,所以f(f(2i))=f(2-5i)=2-5i+3-2i=5-7i.
答案5-7i
8.已知z是复数,|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z= .?
解析设z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+3i=a+(b+3)i是纯虚数,∴a=0,b+3≠0,又∵|z|=3,∴b=3,∴z=3i.
答案3i
9.已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),且z1-z2=4,求复数z=a+bi.
解z1-z2=+(a-b-1)i,
所以=4,a-b-1=0,
解得a=2,b=1,故z=2+i.
10.如图,已知复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A,B,C,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
解设正方形的第四个点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),
方法一:对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,
对应的复数为(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.
因为,所以(x-1)+(y-2)i=1-3i,
即x-1=1,y-2=-3,解得x=2,y=-1,
故点D对应的复数为2-i.
方法二:因为点A与点C关于原点对称,所以原点O为正方形的中心,于是(-2+i)+(x+yi)=0,
故x=2,y=-1,故点D对应的复数为2-i.
能力提升
1.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,则复数z1-z2=( )
A.-1+2i
B.-2-2i
C.1+2i
D.1-2i
解析由题意,知z1=-2-i,z2=i,所以z1-z2=-2-2i,故选B.
答案B
2.已知z∈C,且|z-2-2i|=1,i是虚数单位,则|z+2-2i|的最小值是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析|z-2-2i|=1表示的几何意义是平面内到A(2,2)的距离等于1的点的轨迹,即以点A(2,2)为圆心,以1为半径的圆C,|z+2-2i|的最小值,即圆C上的点到B(-2,2)的距离的最小值d=|AB|-1=3.
答案B
3.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a= .?
解析z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=-1.
答案-1
4.已知实数x,y满足条件z=x+yi(i为虚数单位),则|z-1+2i|的最大值与最小值之和为 .?
解析作出不等式组对应的可行域,如图中阴影部分所示.
|z-1+2i|表示可行域中的点到点(1,-2)的距离.
根据图象,得最小值为点(1,-2)到直线x+y=0的距离,最大值为点(1,-2)到点(3,8)的距离,
即|z-1+2i|min=,|z-1+2i|max==2,
故|z-1+2i|min+|z-1+2i|max=+2.
答案+2
5.在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.
(1)求对应的复数;
(2)判断△ABC的形状.
解(1)因为A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,
所以对应的复数分别为1,2+i,-1+2i(O为坐标原点),
所以=(1,0),=(2,1),=(-1,2).
于是=(1,1),=(-2,2),
=(-3,1).
即对应的复数为1+i,对应的复数为-2+2i,对应的复数为-3+i.
(2)因为||=,||=,||=,
所以||2+||2=10=||2,
又因为||≠||,
故△ABC是以角A为直角的直角三角形.
6.已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.
解方法一:在复平面内以原点O为起点作出z1,z2对应的向量,如图,
则z1+z2对应向量,z1-z2对应向量.由题意||=1,||=1,||=,可得∠OZ1Z=120°,
∴∠Z2OZ1=60°,
∴在△Z2OZ1中,||=1,即|z1-z2|=1.
方法二:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).则由题意,知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.
∴2(ac+bd)=1.
∵|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1+1-1=1,∴|z1-z2|=1.
1(共25张PPT)
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
1.复数加法、减法的运算法则与运算律
名师点拨1.两个复数的和与差仍为复数.
2.复数的加、减法法则是一种规定,可以推广到多个复数相加减.
3.当b=0,d=0时,复数的加减法与实数的加减法法则完全一致.
【做一做1】
计算:(1)(1-3i)+(6+7i)= ;
(2)(2+4i)-(5-4i)= .?
答案:(1)7+4i (2)-3+8i
答案:2+14i 5+I
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若干个复数相加减,就是将它们的实部、虚部分别相加减,所得即为和与差的实部与虚部.
( )
(2)复数的减法运算不满足交换律.
( )
(3)若点P,Q对应的复数分别为z1,z2,则向量
对应的复数即为z1-z2.
( )
(4)若复数z1,z2满足z1-z2>0,那么必有z1>z2.
( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数的加法与减法运算
【例1】
计算:
(1)(2-i)+(-3+5i)+(4+3i);(2)4-(5+12i)-i;(3)若z-(-3+5i)=-2+6i,求复数z.
思路分析:(1)(2)可根据复数的加、减法法则计算;(3)可设z=a+bi(a,b∈R),根据复数相等计算,也可把等式看作z的方程,通过移项求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)(2-i)+(-3+5i)+(4+3i)=(2-3+4)+(-1+5+3)i=3+7i;
(2)4-(5+12i)-i=(4-5)+(-12-1)i=-1-13i;
(3)方法一:设z=x+yi(x,y∈R),因为z-(-3+5i)=-2+6i,
所以(x+yi)-(-3+5i)=-2+6i,
即(x+3)+(y-5)i=-2+6i,
于是z=-5+11i.
方法二:由z-(-3+5i)=-2+6i可得z=-2+6i+(-3+5i),
所以z=(-2-3)+(6+5)i=-5+11i.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟复数加减运算的方法技巧
(1)可把复数运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次进行.
(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1(1)计算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)= .?
(2)若(1-3i)+z=6+2i,则复数z= .?
解析:(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.
(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.
答案:(1)-2-4i (2)5+5i
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数的加减运算的几何意义及应用
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量
对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2已知OACB是复平面内的平行四边形,O是原点,点A,B分别表示复数3+i,2+4i,M是OC,AB的交点,如图所示,求点C,M表示的复数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数加减运算的综合问题
【例3】
(1)已知z1=1+ai,z2=2a-3i,z3=a2+i(a∈R),若z1-z2+z3是纯虚数,则a= .?
(2)若复数z满足2|z|-z=6+3i,则z= .?
思路分析:对于(1),可先根据复数加减运算法则求出z1-z2+z3,再根据纯虚数的定义求解;对于(2),可先设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=
,再根据复数相等求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟一般地,求复数的问题都可采用复数问题实数化的方法,即求复数时,转化为求该复数的实部与虚部,因此可设复数的代数形式z=x+yi(x,y∈R),然后根据条件建立关于参数x,y的方程组,通过解方程组,求得x,y的值,也就求得了复数z.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|,z1+z2=2i,求z1,z2.
解:设z1=a+bi(a,b∈R),
∵z1+z2=2i,∴z2=2i-z1=-a+(2-b)i.
∵|z1|=|z2|=|z1+z2|=|2i|=2,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
混淆复数运算与实数运算致误
【典例】
已知复数z满足|z+1|=1,|z+i|=|z-i|,求复数z.
错解分析:本题常见错解:由|z+1|=1得z+1=±1,解得z=0或-2,又因为|z+i|=|z-i|,所以得到z=0.这一结果是错误的,原因是混淆了复数运算与实数运算.
解:设复数z=x+yi(x,y∈R),则由已知条件可得
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得解决复数问题时,注意实数绝对值与复数模的区别,涉及复数模的计算问题,应采取复数问题实数化的方法,通过建立方程组进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练若复数z满足z=3|z|,则复数z= .?
答案:0
答案:B
答案:B
4.计算:(2+7i)-|-3+4i|+|5-12i|i+3-4i= .?
解析:原式=2+7i-5+13i+3-4i=(2-5+3)+(7+13-4)i=16i.
答案:16i
3.设z1=2+bi,z2=a+i,a,b∈R,当z1+z2=0时,复数a+bi为( )
A.1+i
B.2+i
C.3
D.-2-i
答案:D
5.设z为复数,且|z|=|z+1|=1,求|z-1|的值.第三章数系的扩充与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.复数(3i-1)·i的虚部是( )
A.-1
B.-3
C.3
D.1
解析因为(3i-1)·i=3i2-i=-3-i,所以虚部为-1.
答案A
2.设复数z=a+bi(a,b∈R),若=2-i成立,则点P(a,b)在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析因为=2-i,所以z=(2-i)(1+i)=3+i,故a=3,b=1,因此点P(a,b)在第一象限.
答案A
3.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则
-
1
-(共23张PPT)
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
1.复数乘法的运算法则及其运算律
名师点拨1.复数的乘法与多项式乘法是类似的,只有一点不同,即必须先在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.
2.实数范围内整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对复数z,z1,z2和自然数n,m,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=
【做一做1】
(1)(2+3i)(1-4i)= ;?
(2)(4-2i)2= .?
解析:(1)(2+3i)(1-4i)=2-8i+3i+12=14-5i;
(2)(4-2i)2=16-16i+(-4)=12-16i.
答案:(1)14-5i (2)12-16i
2.共轭复数
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.通常记复数z的共轭复数为,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
【做一做2】
若复数z1=2x+5yi与z2=(3-x)-10i互为共轭复数,则实数x,y的值分别为 .?
答案:1,2
名师点拨复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将两复数的商写成分式,再分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).
4.虚数单位i幂值的周期性
若n∈N
,则i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.
【做一做4】
计算i2
018-i2
017= .?
解析:i2
018-i2
017=i4×504+2-i4×504+1=i2-i=-1-i.
答案:-1-i
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数的乘法与除法运算
【例1】
计算下列各题:
思路分析:按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.复数乘法运算的技巧
(1)复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.
(2)三个或三个以上的复数相乘可以按照从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致.
(3)在复数乘法运算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.例如:(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等.
(4)对于复数的高次乘方运算,可以利用公式(zm)n=zmn进行转化求解.
2.复数除法运算的技巧
(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘以分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
共轭复数及其应用
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
虚数单位i幂值的周期性及应用
【例3】
计算下列各式的值:
(1)i2
015;(2)(1+i)12+(1-i)12;(3)1+i+i2+…+i2
016.
思路分析:根据i幂值的周期性以及复数高次乘方的运算法则进行计算求解.
解:(1)i2
015=i4×503+3=i3=-i.
(2)(1+i)12+(1-i)12=[(1+i)2]6+[(1-i)2]6
=(2i)6+(-2i)6=(-4)3+(-4)3=-128.
(3)方法一:1+i+i2+…+i2
016
=(1+i+i2+i3)+(i4+i5+i6+i7)+…
+(i2
012+i2
013+i2
014+i2
015)+i2
016=0×504+i2
016=1.
方法2:由等比数列前n项和公式可得
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.熟记i的幂值的4个结果:当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的幂值分别为1,i,-1,-i.
2.对于n∈N
,有in+in+1+in+2+in+3=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3若A={x|x=i2n+i-2n,n∈N
},则集合A的子集的个数为( )
A.3
B.4
C.8
D.16
解析:当n=1时,x=i2+i-2=-1+(-1)=-2,
当n=2时,x=i4+i-4=1+1=2,
当n=3时,x=i6+i-6=-2,
当n=4时,x=i8+i-8=2,
……
因此A={2,-2},故A有4个子集.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
混淆复数运算性质与实数运算性质致误
纠错心得在复数集中进行乘方运算时,注意实数运算性质与复数运算性质的区别,不能将它们混淆,在复数集中,只有当m,n∈N
时,(zm)n=zmn才成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案:-1
答案:A
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案:C
4.若复数z=(-2-3i)(a+i)是纯虚数,则实数a等于 .?
答案:C
5.计算(1+2i)(3+4i)(5+6i)-4i.
解:(1+2i)(3+4i)(5+6i)-4i
=(3+4i+6i+8i2)(5+6i)-4i
=(-5+10i)(5+6i)-4i
=-25-30i+50i+60i2-4i
=-85+16i.
