第三章测评
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.计算:i(1+i)2=( )
A.-2
B.2
C.2i
D.-2i
解析i(1+i)2=i·2i=-2.
答案A
2.在复平面内,复数(i是虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
解析,其共轭复数为,对应的点位于第一象限,故选D.
答案D
3.若z=4+3i(i是虚数单位),则
-
1
-第三章数系的扩充与复数的引入
习题课——复数运算的综合问题
课后篇巩固提升
1.若复数z满足|z-1+i|=3,则复数z对应的点的轨迹围成图形的面积等于( )
A.3
B.9
C.6π
D.9π
解析由题意得,复数z对应的点的轨迹是以(1,-1)为圆心,以3为半径的圆,其面积等于π×32=9π.
答案D
2.已知a,b∈R,且2+ai,b+3i是一个实系数一元二次方程的两个根,则a,b的值分别是( )
A.a=-3,b=2
B.a=3,b=-2
C.a=-3,b=-2
D.a=3,b=2
解析由题意得,这两个复数一定是互为共轭复数,故a=-3,b=2.
答案A
3.设x,y∈R,i为虚数单位,(x+i)x=4+2yi,则=( )
A.
B.
C.2
D.
解析∵(x+i)x=4+2yi,x,y∈R,∴x2+xi=4+2yi,可得x2=4,x=2y,解得x=2,y=1,或x=-2,y=-1,则|x+4yi|=|2+4i|==2,或|x+4yi|=|-2-4i|==2.又|1+i|=,∴,故选A.
答案A
4.关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,则实数a的值等于 .?
解析设方程的实数根为x=m,则原方程可变为3m2-m-1=(10-m-2m2)i,所以
解得a=11或a=-.
答案11或-
5.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是 .?
解析设z=x+yi(x,y∈R),则有+2x+2yi=13+6i,于是
解得
因为13-2x=≥0,所以x≤,故x=舍去,故z=4+3i.
答案z=4+3i
6.已知z∈C,且|z+1|=|z-i|,则|z+i|的最小值等于 .?
解析由于|z+1|=|z-i|表示以(-1,0),(0,1)为端点的线段的垂直平分线,而|z+i|=|z-(-i)|表示直线上的点到(0,-1)的距离,数形结合知其最小值为.
答案
7.已知复数z=,z1=2+mi.
(1)若|z+z1|=5,求实数m的值;
(2)若复数az+2i在复平面上对应的点在第二象限,求实数a的取值范围.
解(1)z==1+i.
因为|z+z1|=|1+i+2+mi|=|3+(m+1)i|==5,
所以9+(m+1)2=25.
解得m=-5或m=3.
(2)az+2i=a(1+i)+2i=a+(a+2)i,在复平面上对应的点在第二象限,所以解得-2
8.已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值.
(2)若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0,当z为何值时,|z|有最小值?并求出|z|的最小值.
解(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
故解得a=b=3.
(2)设z=m+ni(m,n∈R),由|-3-3i|=2|z|,得(m-3)2+(n+3)2=4(m2+n2),
即(m+1)2+(n-1)2=8,
所以Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,以2为半径的圆.
如图,当Z点在直线OO1上时,|z|有最大值或最小值.
因为|OO1|=,半径r=2,
所以当z=1-i时,|z|有最小值,且|z|min=.
1(共31张PPT)
习题课——复数运算的综合问题
1.与复数有关的方程问题
(1)实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)根的情况(Δ=b2-4ac).
(2)复系数方程的解法
若复系数方程有实数根,通常将这个实数根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解.
2.复平面内两点间的距离公式及复数形式的基本轨迹
(1)两点间的距离公式
设复数z1,z2对应的两点Z1,Z2的距离为d,则d=|z1-z2|.
(2)常见曲线方程的复数形式
3.常用结论
在复平面内,若复数z1,z2对应的点为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB为平行四边形;并且
(1)当|z1+z2|=|z1-z2|时,四边形OACB为矩形;
(2)当|z1|=|z2|时,四边形OACB为菱形;
(3)当|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|时,四边形OACB为正方形;
(4)对于任意复数z1,z2,有|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).
【做一做1】
若关于x的方程x2+(2-3i)x-m+6i=0有实数根,则实数m的值等于( )
A.-2
B.2
C.8
D.0
答案:C
【做一做2】
若复数z满足|z-1-2i|=|2+3i|,则复数z在复平面内对应点的轨迹是( )
A.点
B.直线
C.圆
D.椭圆
解析:由已知得|z-1-2i|=
,因此复数z在复平面内对应点到点(1,2)的距离等于
,故其轨迹为圆.
答案:C
【做一做3】
若z∈C且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:因为|z+2-2i|=1,所以z在以(-2,2)为圆心,半径为1的圆上,而|z-2-2i|是该圆上的点到点(2,2)的距离,故最小值为3,如图.
?
答案:B
【做一做4】
关于复数z的方程|z|-2z=-1+8i的解是 .
解析:设z=x+yi(x,y∈R),
答案:3-4i
探究一
探究二
探究三
思维辨析
与复数有关的方程问题
【例1】
(1)已知关于x的方程3x2-(2+2i)x-(1-ai)=0(a∈R)有正实数根x0,则实数a= .?
(2)若虚数z1,z2是一个实系数一元二次方程的两个根,且
,则z1+z2= .?
思路分析:对于(1),可将实数根设出,代入,利用复数相等的充要条件求解;对于(2),应根据一元二次方程两个虚数根互为共轭复数进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案:(1)2 (2)-1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.当一个复系数方程有实数根时,通常将这个实数根设出,然后代入方程,整理,根据复数相等的充要条件进行求解.
2.当实系数一元二次方程有两个虚数根时,这两个虚数根一定互为共轭复数,根与系数的关系仍然成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1已知z∈C,解关于z的方程z·-3i=1+3i.
解:法一:设z=x+yi(x,y∈R),
则有方(x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i,
整理得(x2+y2-3y)+(-3x)i=1+3i,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复平面内两点间距离公式的应用
【例2】
已知z∈C,指出满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹:
(1)|z+1+i|=1;
(2)|z-1|=|z+2i|;
(3)|z+1|+|z+1-i|=2.
思路分析:充分利用复平面内两点间的距离公式以及相关曲线的定义进行分析求解.
解:(1)由于|z+1+i|=|z-(-1-i)|=1,它表明点Z到点(-1,-1)的距离等于1,因此轨迹是以点(-1,-1)为圆心,以1为半径的圆.
(2)由于|z-1|=|z+2i|,它表示点Z到点(1,0)的距离等于点Z到点(0,-2)的距离,因此轨迹是以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线.
(3)由于|z+1|+|z+1-i|=2,它表示点Z到两定点(-1,0),(-1,1)的距离之和等于常数2,满足椭圆的定义,因此轨迹是以点(-1,0)和(-1,1)为焦点,长轴长为2的椭圆.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.|z1-z2|表示复平面内复数z1,z2对应的点Z1,Z2之间的距离,在具体应用中,要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式.
2.判断复数形式表示的点的轨迹时,要充分利用复平面内两点间的距离公式以及相关曲线的定义进行分析判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2若A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的两点,O为原点,且|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB的形状为 .?
答案:直角三角形
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】已知复数z1=i(1-i)3.
(1)求|z1|;
(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.
思路分析:转化为平面几何问题求解,或根据复数的几何意义,利用数形结合的方法进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟涉及复数模的最值问题,一般要结合轨迹,或转化为平面几何问题求解,或运用数形结合的方法进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( )
解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,复数z在复平面内对应的点为Z,如图.因为|z+i|+|z-i|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.原问题可转化为动点Z在线段Z1Z2上移动时,求|ZZ3|的最小值.易知|ZZ3|min=1.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数概念与运算的综合问题
【例4】
设复数z1,z2满足z1z2+2iz1-2iz2+1=0.
思路分析:(1)可利用复数问题实数化方法进行求解;(2)充分利用共轭复数的性质求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.解决复数问题的基本策略是“复数问题实数化”,即将复数设出其代数形式,然后根据条件转化为实数问题进行求解.
2.解决复数的概念与运算的综合问题时,首先要明确复数的相关概念,其次要熟练掌握复数运算的法则.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
混淆复系数方程与实系数方程的解法致误
【典例】
已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,求实数k的值.
错解分析:本题常见错解是盲目套用实系数一元二次方程有实数根的条件,即根据方程的判别式大于0,来进行判断求解.
解:设x=x0是方程的实根,代入方程并整理,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得对于复系数一元二次方程,即方程的系数中含有虚数时,不能用判别式判断其根的情况,而应该将方程的实数根设出,代入方程,利用复数相等的充要条件进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练若关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实数根,则纯虚数m等于( )
解析:设m=ki(k∈R,k≠0),方程的实数根为x0,
答案:A
答案:C
2.若z(1+i)=2i,则z=( )
A.-1-i
B.-1+i
C.1-i
D.1+i
答案:D
3.已知|z-3|+|z+3|=10且|z-5i|-|z+5i|=8,则复数z等于( )
A.4i
B.-4i
C.±4i
D.以上都不正确
解析:由题意,知复数z的对应点在以(-3,0),(3,0)为焦点、长轴长为10的椭圆上,又在以(0,-5),(0,5)为焦点、实轴长为8的双曲线的下支上,如图所示.故z=-4i.故选B.
?
答案:B
4.若复数z满足|z-i|=3,则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的周长为 .?
解析:由条件知|z-i|=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心,以3为半径的圆,故其周长为6π.
答案:6π
5.已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).
(1)求b,c的值;
(2)试判断x=1-i是否为方程的根.
解:(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,
所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,
即(b+c)+(2+b)i=0,
故b的值为-2,c的值为2.
(2)由(1)知方程可化为x2-2x+2=0,
把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,
所以x=1-i也是方程的根.