第1课时 统计案例
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在对两个变量x,y进行线性回归分析时,有下列步骤:①对所求出的回归直线方程作出解释;②收集数据(xi,yi),i=1,2,…,n;③求线性回归方程;④求相关系数;⑤根据所搜集的数据绘制散点图.如果根据可行性要求能够作出变量x,y具有线性相关的结论,则在下列操作顺序中正确的是( )
A.①②⑤③④
B.③②④⑤①
C.②④③①⑤
D.②⑤④③①
解析对两个变量进行回归分析时,首先收集数据(xi,yi),i=1,2,…,n;根据所搜集的数据绘制散点图.观察散点图的形状,判断线性相关关系的强弱,求相关系数,写出线性回归方程,最后依据所求出的回归直线方程作出解释.故正确顺序是②⑤④③①.
答案D
2.有人发现,多看电视容易使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果:
冷漠
不冷漠
总计
多看电视
68
42
110
少看电视
20
38
58
总计
88
80
168
则大约有多大的把握认为多看电视与人变冷漠有关系( )
A.99.9%
B.97.5%
C.95%
D.99%
解析可计算K2=11.377>10.828,因此有99.9%的把握认为多看电视与人变冷漠有关系.
答案A
3.为了解某地的海拔y(单位:km)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了4次海拔与相应的气温,并制作了对照表:
气温x
18
13
10
-1
海拔y
2.4
3.4
3.8
6.4
由表中数据,得到线性回归方程=-0.2x+.由此估计海拔为7.2
km处的气温为( )
A.-10
℃
B.-8
℃
C.-6
℃
D.-4
℃
解析因为
-
1
-(共33张PPT)
第1课时 统计案例
知识网络
要点梳理
思考辨析
答案:①线性回归分析
②非线性回归分析
③残差分析
④相关指数R2
⑤独立性检验
⑥K2统计量
知识网络
要点梳理
思考辨析
1.求线性回归方程的基本步骤
知识网络
要点梳理
思考辨析
2.回归分析效果的评判
(1)求出线性回归模型后,可以借助残差、残差平方和以及相关指数R2等对模型进行评判.
(2)相关指数R2的计算公式:
,R2的值越大,模型的拟合效果越好.
3.回归分析中应注意的问题
(1)回归分析是建立在两个具有相关性变量之间的一种模拟分析,因此必须先判断两变量是否具有相关性.
(2)线性回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上,实质上回归直线必过
点,可能所有的样本数据点都不在直线上.
(3)利用回归方程分析问题时,易误认为所得的数据是准确值,而实质上是预测值(期望值).
知识网络
要点梳理
思考辨析
4.独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表.
(2)根据公式计算K2的观测值k.
(3)比较k与临界值的大小关系并作统计推断.
5.独立性检验中需注意的问题
(1)通过独立性检验得到的结论未必正确,它只是对一种可靠性的预测.
(2)在2×2列联表中,当数据a,b,c,d都不小于5时,才可以用K2检测.
(3)独立性检验易错误理解假设检验原理,导致得到相反的结论.
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)回归直线一定经过样本点中的某一个或某几个.
( )
(2)相关指数的值越大,说明模型拟合的效果越差.
( )
(3)K2的观测值k越大,说明两个变量有关系的可能性就越大.
( )
(4)通过独立性检验得到的结论未必正确,它只是对一种可靠性的预测.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
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专题一 线性回归分析
【例1】
已知某地单位面积的菜地年平均使用氮肥量x(单位:kg)与单位面积蔬菜年平均产量y(单位:t)之间的关系有如下数据:
(1)求线性回归直线方程;
(2)计算残差平方和;
(3)计算相关指数R2,并对回归模型进行评判.
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反思感悟在线性回归模型中,R2的取值范围为[0,1],R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,1-R2表示随机误差对于预报变量变化的贡献率,R2越接近于1,表示回归的拟合效果越好.
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变式训练1若变量x与y满足线性回归方程y=bx+a+k,其中b=0.8,a=2,
,则当x=10时,y的值不会超过( )
A.10
B.9
C.10.5
D.9.5
解析:由题意,y=0.8×10+2+k=10+k.
∵
,∴10+k≤10.5.
答案:C
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专题二 独立性检验
【例2】某大学为了解大学生使用手机的情况,分别在大一和大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频率分布直方图和频数分布表,将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”.
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(1)将频率视为概率,哪个年级的学生是“手机迷”的概率大?请说明理由.
(2)已知抽取的100名大一学生中有女生55名,其中10名为“手机迷”,试完成下面的2×2列联表,并据此判断是否有95%的把握认为“手机迷”与性别有关.
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反思感悟解决独立性检验问题时,首先由题目所给的2×2列联表确定a,b,c,d,n的值,然后代入随机变量K2的计算公式求出观测值k,最后将k与临界值k0进行对比,从而确定在犯错误的概率不超过多大的前提下(或有多大的把握)认为“两个分类变量有关系”.
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变式训练2对某校学生进行心理障碍测试得到如下列联表:
假设每个学生只存在其中一种心理障碍,试说明这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大.
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考点一 回归分析
1.(2015·湖北高考)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是( )
A.x与y负相关,x与z负相关
B.x与y正相关,x与z正相关
C.x与y正相关,x与z负相关
D.x与y负相关,x与z正相关
解析:由y=-0.1x+1知y与x负相关,又因为y与z正相关,故z与x负相关.
答案:A
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2.(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
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3.(2016·全国Ⅲ高考)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
?
注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
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4.(2015·重庆高考)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
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考点二 独立性检验
5.(2019·全国Ⅰ高考)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
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由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
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6.(2017·全国Ⅱ高考)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:
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(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50
kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
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解:(1)旧养殖法的箱产量低于50
kg的频率为
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62.
因此,事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下:
由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
专题归纳
高考体验
(3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50
kg到55
kg之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45
kg到50
kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.模块复习课
第2课时 推理与证明
课后篇巩固提升
基础巩固
1.由1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,…,得到1+3+…+(2n-1)=n2用的是( )
A.归纳推理
B.演绎推理
C.类比推理
D.特殊推理
解析该推理是由特殊到一般的推理,所以是归纳推理.
答案A
2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=(x+1)3在x=-1处的导数值f'(-1)=0,所以x=-1是函数f(x)=(x+1)3的极值点.以上推理中( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.结论是正确的
解析对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,x=x0不一定是函数f(x)的极值点,故选A.
答案A
3.观察图形,可推断出“x”处应该填的数字是( )
A.171
B.183
C.205
D.268
解析由前两个图形发现:中间数等于四周四个数的平方和,即12+32+42+62=62,22+42+52+82=109,所以“x”处应该填的数字是32+52+72+102=183.
答案B
4.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有( )
①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱锥.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
解析类比相似形中的对应边成比例知,①③属于相似体.
答案C
5.通过圆与球的类比,由结论“半径为r的圆的内接四边形中,正方形的面积最大,最大值为2r2”猜想关于球的相应结论为“半径为R的球的内接六面体中, ”.( )?
A.长方体的体积最大,最大值为2R3
B.正方体的体积最大,最大值为3R3
C.长方体的体积最大,最大值为
D.正方体的体积最大,最大值为
解析类比可知半径为R的球的内接六面体中,正方体的体积最大,设其棱长为a,当体积最大时,正方体体对角线的长度等于球的直径,即a=2R,得a=,体积V=a3=.故选D.
答案D
6.设数列{an}的前n项和为Sn,令Tn=,Tn称为数列{an}的“理想数”.已知数列a1,a2,…,a500的“理想数”为2
004,则数列3,a1,a2,…,a500的“理想数”为
( )
A.2
001
B.2
003
C.2
005
D.2
007
解析由已知得2004=,则3,a1,a2,…,a500的“理想数”为=2000+3=2003.
答案B
7.根据三角恒等变换,可得如下等式:
cos
θ=cos
θ;
cos
2θ=2cos2θ-1;
cos
3θ=4cos3θ-3cos
θ;
cos
4θ=8cos4θ-8cos2θ+1;
cos
5θ=16cos5θ-20cos3θ+5cos
θ.
依此规律,猜想cos
6θ=32cos6θ+acos4θ+bcos2θ-1,则有a+b= .?
解析由所给的三角恒等变换等式可知,所有各式中,各系数与常数项的和是1,因此32+a+b-1=1,于是a+b=-30.
答案-30
8.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定:(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;定义运算“?”为(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad);定义运算“?”为(a,b)?(c,d)=(a+c,b+d).设p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0),则(1,2)?(p,q)等于 .?
解析由定义的运算知(1,2)?(p,q)=(p-2q,2p+q)=(5,0),所以解得故(1,2)?(p,q)=(1,2)?(1,-2)=(2,0).
答案(2,0)
9.已知sin
α+cos
α=1,求证:sin6α+cos6α=1.
证明要证sin6α+cos6α=1,
只需证(sin2α+cos2α)(sin4α-sin2αcos2α+cos4α)=1,
即证sin4α-sin2αcos2α+cos4α=1,
只需证(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2α=1,
即证1-3sin2αcos2α=1,即证sin2αcos2α=0,
只需证sinαcosα=0,
由已知sinα+cosα=1,
所以sin2α+cos2α+2sinαcosα=1,
所以sinαcosα=0成立,故sin6α+cos6α=1.
10.通过计算可得下列等式:
22-12=2×1+1;
32-22=2×2+1;
42-32=2×3+1;
……
(n+1)2-n2=2n+1.
将以上各式两边分别相加,得(n+1)2-1=2×(1+2+3+…+n)+n,即1+2+3+…+n=.
类比上述方法,请你求出12+22+32+…+n2的值.
解23-13=3×12+3×1+1,33-23=3×22+3×2+1,43-33=3×32+3×3+1,…,(n+1)3-n3=3n2+3n+1.
将以上各式两边分别相加,得(n+1)3-13=3(12+22+32+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n,
所以12+22+32+…+n2
=
=.
能力提升
1.已知函数f(x)=sin
x+ex+x2
016,令f1(x)=f'(x),f2(x)=f1'(x),f3(x)=f2'(x),…,fn+1(x)=fn'(x),则f2
017(x)=( )
A.sin
x+ex
B.cos
x+ex
C.-sin
x+ex
D.-cos
x+ex
解析由已知得f1(x)=cosx+ex+2016x2015,f2(x)=-sinx+ex+2016×2015x2014,f3(x)=-cosx+ex+2016×2015×2014x2013,f4(x)=sinx+ex+2016×2015×2014×2013x2012,f5(x)=cosx+ex+2016×2015×2014×2013×2012x2011,由此可以发现,fn(x)的前两项的和成周期性变化,周期为4,故f2017(x)的前两项的和应为cosx+ex;又f2016(x)的第三项应为2016×2015×2014×…×2×1,所以f2017(x)的第三项等于0,于是f2017(x)=cosx+ex.
答案B
2.袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球,某位教师从袋中任取两个不同的球.教师把所取两球编号的和只告诉甲,其乘积只告诉乙,让甲、乙分别推断这两个球的编号.
甲说:“我无法确定.”
乙说:“我也无法确定.”
甲听完乙的回答以后,甲又说:“我可以确定了.”
根据以上信息,你可以推断出抽取的两球中( )
A.一定有3号球
B.一定没有3号球
C.可能有5号球
D.可能有6号球
解析甲说:“我无法确定.”说明两球编号的和可能为7,包含(2,5),(3,4),可能为8,包含(2,6),(3,5),可能为9,包含(3,6),(4,5).乙说:“我无法确定.”说明两球编号的乘积为12,包含(3,4)或(2,6).根据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有6号球.
答案D
3.观察下列不等式:
≥2×;
;
;
≥2×75;
……
由以上不等式,可以猜测:当a>b>0,s,r∈N
时,有≥ .?
解析由已知不等式,可知≥2×≥2×75=,故猜想当a>b>0,s,r∈N
时,.
答案
4.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c= .?
解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:
(1)当只有①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;
(2)当只有②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;
(3)当只有③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,
所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.
故答案为201.
答案201
5.设函数f(x)=,a,b为正实数.
(1)用分析法证明f+f;
(2)设a+b>4,求证:af(b),bf(a)中至少有一个大于.
证明(1)要证f+f,
即证,
只需证.
因为a,b为正实数,
只需证3(a2+b2+4ab)≤2(2a2+2b2+5ab),
即证a2+b2≥2ab,
因为a2+b2≥2ab显然成立,所以原不等式成立.
(2)假设af(b)=,bf(a)=,
因为a,b为正实数,所以2+b≥2a,2+a≥2b,
两式相加得4+a+b≥2a+2b,
即a+b≤4,与条件a+b>4矛盾,
故af(b),bf(a)中至少有一个大于.
6.对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),其中max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk-1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数.
(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;
(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小.
解(1)T1(P)=2+5=7,
T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.
(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},
T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.
当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.
因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').
当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.
因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,
所以T2(P)≤T2(P').
所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.
1(共35张PPT)
第2课时 推理与证明
知识网络
要点梳理
思考辨析
知识网络
要点梳理
思考辨析
1.合情推理
2.演绎推理
知识网络
要点梳理
思考辨析
3.综合法与分析法
(1)综合法是从原因推测结果的思维方法,即从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证的结论,这是常用的数学方法.
(2)分析法是从待证的结论出发,一步一步地寻找结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
知识网络
要点梳理
思考辨析
4.反证法
(1)反证法是一种间接证明的方法.
(2)反证法中,必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出所有可能的情况.
(3)反证法证明过程中,必须把结论的否定作为条件进行推理,否则,仅否定结论,但不从结论的反面出发进行推理,即使证得了结论,也不符合反证法的要求.
(4)反证法中,导出的矛盾可以是多种多样的,有的是与已知条件矛盾,有的是与假设矛盾,有的是与已知的事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的.
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)归纳推理是由特殊到一般,类比推理是由一般到特殊.
( )
(2)归纳推理的结论不一定正确,类比推理的结论一定正确.
( )
(3)演绎推理的主要模式是三段论.
( )
(4)反证法就是证明原命题的逆否命题成立.
( )
(5)分析法是一种间接证明的方法.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
专题归纳
高考体验
专题一 合情推理及其应用
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
反思感悟1.归纳推理是从个别的、具体的、特殊的结果发现变化规律,得出一般结论,或从已知相同特征中推出一个明确表述的一般性命题.
2.类比推理重在考察观察和比较的能力,题目一般情况下较为新颖,也有一定的探索性.
专题归纳
高考体验
变式训练1观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,……则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为
( )
A.76
B.80
C.86
D.92
解析:解的个数构成首项为4,公差为4的等差数列,
所以an=4+4(n-1)=4n,a20=80,选B.
答案:B
专题归纳
高考体验
专题二 演绎推理及其应用
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
反思感悟数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的.三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成,大前提是一个一般性原理,小前提给出了适合这个原理的一个特殊场合,结论是大前提和小前提的逻辑结果.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题三 综合法与分析法及其应用
【例3】已知a,b,c,d∈R,试分别用分析法和综合法证明
?
思路分析:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;常用分析法找证题思路,用综合法写证明过程.
专题归纳
高考体验
证明:分析法:①当ac+bd≤0时,显然成立.
②当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,
只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,
即证2abcd≤b2c2+a2d2,
即证0≤(bc-ad)2.
∵a,b,c,d∈R,∴上式恒成立,
故原不等式成立.综合①②知,命题得证.
综合法:∵(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2bcad+a2d2)
=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2,
专题归纳
高考体验
反思感悟综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但两种证明方法思路截然相反,分析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程,分析法与综合法可相互转换,相互渗透,要充分利用这一辩证关系,在解题中综合法和分析法联合运用,转换解题思路,增加解题途径.一般以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表示证明过程.
专题归纳
高考体验
专题归纳
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专题四 反证法及其应用
【例4】
已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明不存在实数a,使得以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O.
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反思感悟1.反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面进行推理,就不是反证法.
2.推导出的矛盾多种多样,有的与已知相矛盾,有的与假设相矛盾,有的与已知事实相矛盾等等,推出的矛盾必须是明显的.
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变式训练4有十只猴子一共分了56根香蕉,每只猴子至少分到1根香蕉,最多分到10根香蕉,试证明至少有两只猴子分到同样多的香蕉.
证明:假设十只猴子分到的香蕉数各不相同,
因为每只猴子至少分到1根香蕉,最多分到10根香蕉,所以十只猴子分别分到了1,2,3,…,10根香蕉,
此时十只猴子一共分了1+2+3+…+10=55根香蕉,这与十只猴子一共分了56根香蕉相矛盾,
故假设错误,即至少有两只猴子分到同样多的香蕉.
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考点一 归纳推理及其应用
1.(2016·山东高考)观察下列等式:
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考点二 演绎推理及其应用
3.(2017·全国Ⅱ高考)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
解析:因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.
答案:D
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4.(2016·全国Ⅱ高考)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .?
解析:由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.
综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.
答案:1和3
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5.(2019·全国Ⅱ高考)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲:我的成绩比乙高.
乙:丙的成绩比我和甲的都高.
丙:我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙
B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲
D.甲、丙、乙
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解析:若甲预测正确,则乙、丙预测错误,即甲的成绩比乙高,丙的成绩比乙低,故三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意.若丙预测正确,则甲预测错误,即丙的成绩比乙高,乙的成绩比甲高,即丙的成绩比甲、乙都高,即乙的预测也正确,不合题意,故选A.
答案:A
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考点三 综合法与分析法及其应用
6.(2017·山东高考)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.
?
(1)证明:A1O∥平面B1CD1;
(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
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证明:(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.
又O1C?平面B1CD1,A1O?平面B1CD1,
所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,
所以EM⊥BD,
又A1E⊥平面ABCD,BD?平面ABCD.
所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,
所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.
又A1E,EM?平面A1EM,A1E∩EM=E,
所以B1D1⊥平面A1EM,
又B1D1?平面B1CD1,
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
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7.(2017·江苏高考)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.?
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
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证明:(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,
所以EF∥AB.
又因为EF?平面ABC,AB?平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,BC?平面BCD,BC⊥BD,
所以BC⊥平面ABD.
因为AD?平面ABD,所以BC⊥AD.
又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC?平面ABC,所以AD⊥AC.
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考点四 反证法及其应用
8.(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是
( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
解析:“至少有一个”的否定为“没有”.
答案:A
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9.(2013·北京高考)直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:
相交于A,C两点,O是坐标原点.
(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;
(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.
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高考体验模块复习课
第3课时 复数的概念与运算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若复数z=,则( )
A.|z|=2
B.z的实部为1
C.z的虚部为-1
D.z的共轭复数为1+i
解析z==-1-i,
因此|z|=,z的实部为-1,虚部为-1,共轭复数为-1+i,故选C.
答案C
2.在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析在复平面内复数=-i的共轭复数-i对应的点-,-位于第三象限.
答案C
3.已知复数z满足(1-i)z=i2
016(其中i为虚数单位),则
-
1
-(共24张PPT)
第3课时 复数的概念与运算
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2.复数的运算
(1)加法与减法:若z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
(2)乘法:若z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(3)除法:若z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),
?
3.复数的几何意义
(1)若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的点的坐标是Z(a,b).
(2)|z1-z2|表示复平面内复数z1,z2对应点Z1,Z2之间的距离.
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判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)一个复数是纯虚数的充要条件是其实部等于零.( )
(2)一个复数是实数的充要条件是这个复数与其共轭复数相等.( )
(3)纯虚数的共轭复数还是纯虚数.( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
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专题一 复数及其相关概念
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反思感悟对于复数z=a+bi(a,b∈R),其实部与虚部分别为a,b,注意虚部是b,而不是bi.当复数不是标准的代数形式时,应首先将其化为标准的代数形式,才能得到其实部与虚部.
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思路分析:先将复数z化简,整理成代数形式,再根据模的公式求出a的值,即可求得z,从而得到共轭复数.
答案:A
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答案:A
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专题二 复数的运算
思路分析:按照复数加法、减法、乘法与除法的运算法则进行求解.
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反思感悟复数的运算是高考考查的重点内容,尤其是复数的乘、除法运算,复数运算也是解决复数有关概念问题的基础.要熟练掌握复数的四则运算法则,特别是除法运算中的分母实数化.
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专题三 复数的几何意义
答案:B
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变式训练4在复平面内,若复数z满足|z+1|=|1+iz|,则z在复平面内对应点的轨迹为
.?
答案:直线
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考点一 复数的概念
1.(2017·全国Ⅰ高考)下列各式的运算结果为纯虚数的是
( )
A.i(1+i)2
B.i2(1-i)
C.(1+i)2
D.i(1+i)
解析:∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,
∴(1+i)2=2i为纯虚数,故选C.
答案:C
答案:C
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答案:-2
4.(2016·江苏高考)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是 .?
解析:因为z=(1+2i)(3-i)=5+5i,
所以z的实部是5.
答案:5
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考点二 复数的运算
5.(2017·全国Ⅱ高考)(1+i)(2+i)=( )
A.1-i
B.1+3i
C.3+i
D.3+3i
解析:(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选B.
答案:B
A.1+2i
B.-1+2i
C.1-2i
D.-1-2i
答案:D
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9.(2019·江苏高考)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 .?
解析:∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,∴a-2=0,∴a=2.
答案:2
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考点三 复数的几何意义
10.(2017·全国Ⅲ高考)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),
则该点位于第三象限.故选C.
答案:C
11.(2017·北京高考)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(-1,+∞)
解析:设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,
解得a<-1.故选B.
答案:B
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12.(2016·全国Ⅱ高考)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是
( )
A.(-3,1)
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-3)
解析:要使复数z在复平面内对应的点在第四象限,应满足
解得-3答案:A
13.(2017·江苏高考)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是 .?
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14.(2017·浙江高考)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .?
解析:由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,
则a2+b2=5,ab=2.
答案:5 2模块综合测评(A)
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.设i是虚数单位,a∈R,若i(ai+2)是一个纯虚数,则实数a的值为( )
A.-
B.-1
C.0
D.1
解析由于i(ai+2)=-a+2i,因此要使i(ai+2)是一个纯虚数,应有a=0.
答案C
2.下列命题:①在线性回归模型中,相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好;②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1;③在回归直线方程=-0.5x+2中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位;④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析对于①,在回归分析模型中,相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好,正确,因为相关指数R2越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越好,①正确.对于②,两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1,②正确;对于③,在回归直线方程=-0.5x+2中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位,③正确;对于④,在对分类变量X与Y进行独立性检验时,随机变量K2的观测值k越大,则“X与Y相关”可信程度越大,故④错误.故正确命题的个数是3个.
答案C
3.①正方形的四个内角相等;②矩形的四个内角相等;③正方形是矩形,根据“三段论”推理出一个结论,则作为大前提、小前提、结论的分别为( )
A.②①③
B.③①②
C.①②③
D.②③①
解析根据三段论的一般形式,可以得到大前提是②,小前提是③,结论是①.
答案D
4.在△ABC中,=a,=b,且a·b>0,则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
解析由于a·b>0,即|a||b|cos(π-∠ABC)>0,
即cos∠ABC<0.
又∵0<∠ABC<π,
∴∠ABC是钝角.
∴△ABC是钝角三角形.
答案C
5.复数z满足z=,则z对应的点位于复平面的( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析复数z满足z=,则z对应的点为,位于复平面的第一象限.
答案A
6.已知x>0,不等式x+≥2,x+≥3,x+≥4,…,可推广为x+≥n+1,则a的值为( )
A.2n
B.n2
C.22(n-1)
D.nn
解析由归纳推理,知a=nn.
答案D
7.在如图所示的程序框图中,输入a=,b=,则输出c=( )
A.
B.
C.1
D.0
解析由程序框图知,当输入a=,b=时,tan
a=-,tan
b=-,则tan
a>tan
b.
故输出c=|tan
a|=.
答案A
8.在一次投球比赛中,男生、女生投球结果统计如下表:
结果
性别
投中
未投中
男
65
35
女
42
38
则K2的值约为( )
A.3.97
B.6.89
C.2.88
D.1.25
解析由题表,知K2=≈2.88.
答案C
9.设复数z1=i,z2=3+4i,其中i为虚数单位,则=( )
A.
B.
C.
D.
解析因为=()673=i673=i,所以.
答案D
10.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时,得到如表数据.由表中数据求得y关于x的回归方程为=0.65x+,则在这些样本点中任取一点,该点落在回归直线下方的概率为( )
x
4
6
8
10
12
y
1
2
3
5
6
A.
B.
C.
D.
解析由题得,
-
1
-模块综合测评(B)
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.由①y=2x+5是一次函数;②y=2x+5的图象是一条直线;③一次函数的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理,则作为大前提、小前提和结论的分别是( )
A.②①③
B.②③①
C.①②③
D.③①②
解析该“三段论”应为:一次函数的图象是一条直线(大前提),y=2x+5是一次函数(小前提),y=2x+5的图象是一条直线(结论).
答案D
2.若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|=( )
A.1
B.2
C.
D.
解析因为z==1+i,
所以|z|=|1+i|=.
答案C
3.已知变量x,y线性相关,且由观测数据算得样本平均数为
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1
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