利用二分法求方程的近似解
【学习目标】
1．通过具体函数图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，培养数学运算素养。
2．通过学习利用二分法求方程近似解的过程和方法，提升直观想像、逻辑推理素养。
【学习重难点】
1．根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解。(重点)
2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法。(难点)
【学习过程】
一、初试身手
1．下列函数图像与x轴均有交点，其中能用二分法求零点的是(
)
2．在用二分法求函数f(x)的一个零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，若精确度为0.1，则函数f(x)的零点近似值可为(
)
A．0.64
B．0.65
C．0.70
D．0.73
3．在下面给出的四个函数中，需要用二分法求其零点的是________。
①y＝x＋π；②y＝3x－1；③y＝ln
x；④y＝x－x。
4．用“二分法”求2x＋log2x－4＝0在区间(1，3)内的根。如果取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________。
【答案】
1．C
[C中函数的零点是变号零点，故选C．]
2．C
[∵f(0.72)>0，f(0.68)<0，∴f(x)在(0.68，0.72)内至少有一个零点，又|0.72－0.68|<0.1，故其零点的近似值可为0.70.]
3．④
[①②③可直接解出来，不需要用二分法去求，而④无法直接解出来，故应填④。]
4．(1，2)
[令f(x)＝2x＋log2x－4，则f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0，
由零点存在性定理知，f(x)在区间(1，2)内至少存在一个零点。
所以，下一个有根的区间是(1，2)。]
二、合作探究
二分法概念的理解
【例1】
下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(
)
A
B
C
D
[思路探究]
→
A
[按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点。故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。故选A．]
利用二分法求方程的近似解
【例2】
求方程lg
x＝x－1的近似解(精度为0.1)。
[解]
如图所示，由函数y＝lg
x与y＝x－1的图像可知，方程lg
x＝x－1有唯一实数解，且在区间[0，1]内。
设f(x)＝lg
x－x＋1，f(1)＝>0，用计算器计算，列表如下：
取值区间
中点值
中点函数近似值
区间长度
(0，1)
0.5
－0.008
1
1
(0.5，1)
0.75
0.280
5
0.5
(0.5，0.75)
0.625
0.147
5
0.25
(0.5，0.625)
0.562
5
0.073
0
0.125
由于区间(0.5，0.625)的长度为0.125<0.2，此时该区间中点0.562
5与真正零点的误差不超过0.1，所以函数f(x)的零点近似值为0.562
5，即方程lg
x＝x－1的近似解为x≈0.562
5．
【学习小结】
(1)二分法的概念
对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法。
(2)用二分法求方程的近似解的过程
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)任何函数的零点都可以用二分法求得。(
)
(2)用二分法求出的方程的根都是近似解。(
)
(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b－a≤ε(精度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解。(
)
2．用二分法求函数f(x)＝3x－7的零点时，初始区间可选为(
)
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437
5)
＝0.162
f(1.406
25)
＝－0.054
那么函数零点的一个近似解(精度为0.1)为(
)
A．1.25
B．1.375
C．1.406
25
D．1.5
4．用二分法求2x＋x＝4在区间[1，2]内的近似解(精度为0.2)。参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
【答案】
1．[答案]
(1)×
(2)×
(3)√
2．C
[f(－1)＝3－1－7＝－7＝－＜0，
f(0)＝30－7＝1－7＝1－7＝－6＜0，
f(1)＝31－7＝－4<0，
f(2)＝32－7＝9－7＝2＞0，
故函数f(x)的零点在区间(1，2)上，故初始区间可选为(1，2)。]
3．C
[根据题意知函数的零点在1.406
25至1.437
5之间，又|1.437
5－1.406
25|＝0.031
25<0.1，故方程的一个近似解为1.406
25，故选C．]
4．[解]
令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1，2)
x1＝1．5
f(x1)＝0.33>0
(1，1．5)
x2＝1．25
f(x2)＝－0.37<0
(1．25，1．5)
x3＝1．375
f(x3)＝－0.031<0
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375．利用二分法求方程的近似解
【教学目标】
1．通过具体函数图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，培养数学运算素养。
2．通过学习利用二分法求方程近似解的过程和方法，提升直观想像、逻辑推理素养。
【教学重难点】
1．根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解。(重点)
2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法。(难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
1．二分法的概念
对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法。
2．用二分法求方程的近似解的过程
在图中：
“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；
“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；
“N”的含义是：方程解满足要求的精度；
“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解。
思考：用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？
[提示]
(1)f(x)在区间[a，b]上的图像连续；
(2)在区间[a，b]端点的函数值f(a)·f(b)<0.
二、新知探究
1．二分法概念的理解
【例1】
下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(
)
A
B
C
D
[思路探究]
→
A
[按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点。故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。故选A．]
【教师小结】
（1）准确理解“二分法”的含义。二分就是平均分成两部分。二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。
（2）“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。
2．利用二分法求方程的近似解
【例2】
求方程lg
x＝x－1的近似解(精度为0.1)。
[解]
如图所示，由函数y＝lg
x与y＝x－1的图像可知，方程lg
x＝x－1有唯一实数解，且在区间[0，1]内。
设f(x)＝lg
x－x＋1，f(1)＝>0，用计算器计算，列表如下：
取值区间
中点值
中点函数近似值
区间长度
(0，1)
0.5
－0.008
1
1
(0.5，1)
0.75
0.280
5
0.5
(0.5，0.75)
0.625
0.147
5
0.25
(0.5，0.625)
0.562
5
0.073
0
0.125
由于区间(0.5，0.625)的长度为0.125<0.2，此时该区间中点0.562
5与真正零点的误差不超过0.1，所以函数f(x)的零点近似值为0.562
5，即方程lg
x＝x－1的近似解为x≈0.562
5．
【教师小结】用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求?达到给定的精度?，以决定是停止计算还是继续计算。
三、课堂总结
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。
2．并非所有函数都可以用二分法求出其零点，只有满足：
(1)函数图像在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)任何函数的零点都可以用二分法求得。(
)
(2)用二分法求出的方程的根都是近似解。(
)
(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b－a≤ε(精度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解。(
)
[答案]
(1)×
(2)×
(3)√
2．用二分法求函数f(x)＝3x－7的零点时，初始区间可选为(
)
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
C
[f(－1)＝3－1－7＝－7＝－＜0，
f(0)＝30－7＝1－7＝1－7＝－6＜0，
f(1)＝31－7＝－4<0，
f(2)＝32－7＝9－7＝2＞0，
故函数f(x)的零点在区间(1，2)上，故初始区间可选为(1，2)。]
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437
5)
＝0.162
f(1.406
25)
＝－0.054
那么函数零点的一个近似解(精度为0.1)为(
)
A．1.25
B．1.375
C．1.406
25
D．1.5
C
[根据题意知函数的零点在1.406
25至1.437
5之间，又|1.437
5－1.406
25|＝0.031
25<0.1，故方程的一个近似解为1.406
25，故选C．]
4．用二分法求2x＋x＝4在区间[1，2]内的近似解(精度为0.2)。参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
[解]
令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1，2)
x1＝1.5
f(x1)＝0.33>0
(1，1.5)
x2＝1.25
f(x2)＝－0.37<0
(1.25，1.5)
x3＝1.375
f(x3)＝－0.031<0
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375．(共36张PPT)
利用二分法求方程的近似解
自
主
探
新
知
预
习
中点
合
作
攻
重
难
探
究
二分法概念的理解
利用二分法求方程的近似解
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
类型1
类型2
