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用函数模型解决实际问题
自
主
探
新
知
预
习
常用的函数模型
合
作
攻
重
难
探
究
表格信息类建模问题
图像信息解读问题
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
新知初探
名称
解析式
条件
一次函数
模型
反比例函数
模型
一般式:y
二次函数顶点式:y
a≠0
模型
指数函数
且
模型
对数函数
模型
幂函数
模型
类型1
类型2用函数模型解决实际问题
【学习目标】
1．通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养。
2．通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养。
【学习重难点】
1．会利用已知函数模型解决实际问题。(重点)
2．能建立函数模型解决实际问题。(重、难点)
【学习过程】
一、初试身手
1．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为(
)
x
－2
－1
0
1
2
3
y
1
4
16
64
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．对数函数模型
D．指数函数模型
2．一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型为(
)
A．分段函数
B．二次函数
C．指数函数
D．对数函数
3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点。用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是(
)
4．用一根长为12
m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则铁框架的最大面积是________m2．
【答案】
1．D
2．A
[由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数。]
3．B
[乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B．]
4．9
[设铁框架的一边长为x
m，则其面积S＝＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9．
由，得0所以，当x＝3时，S取最大值9．]
二、合作探究
表格信息类建模问题
【例1】
某国2015年至2018年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份
2015
2016
2017
2018
x(年)
0
1
2
3
生产总值(万亿元)
8.206
7
8.944
2
9.593
3
10.239
8
(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值。
[解]
(1)根据表中数据画出函数图形，如图所示。从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋B．
把直线通过的两点(0，8.206
7)和(3，10.239
8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677
7，b＝8.206
7.
所以它的一个函数关系式为y＝0.677
7x＋8.206
7.
(2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.677
7x＋8.206
7，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为
f(1)＝0.677
7×1＋8.206
7＝8.884
4，
f(2)＝0.677
7×2＋8.206
7＝9.562
1.
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元。
(3)2019年，即x＝4，由上述关系式，得y＝f(4)＝0.677
7×4＋8.206
7＝10.917
5，
即预测2019年该国的国内生产总值约为10.917
5万亿元。
图像信息解读问题
【例2】
如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图像。
图1
图2
图3
(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示。你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？
[解]
(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利。
(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价。
(3)斜率表示票价。
(4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元。
【学习小结】
常用的函数模型：
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)在建立实际问题的函数模型时，除了要考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义。(
)
(2)由函数模型得到的解就是实际问题的解。(
)
2．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a
km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b
km(b＜a)，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为(
)
A
B
C
D
3．国内快递1
000
g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km)
0＜x≤500
500＜x≤1
000
1
000＜x≤1
500
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要快递800
g的包裹到距西安1
200
km的某地，那么他应付的邮资是(
)
A．5.00元
B．6.00元
C．7.00元
D．8.00元
4．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图所示，窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积S最大，窗户应具有怎样的尺寸？
【答案】
1．(1)√
(2)×
2．C
[由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升。由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段。然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升。故选C．]
3．C
[由题意可知，当x＝1200时，y＝7.00元，故选C．]
4．[解]
由题意得窗框总长l＝x＋x＋2y，
∴y＝，∴S＝x2＋xy
＝x2＋x·
＝－2＋。
由得x∈，
当x＝时，Smax＝，
此时y＝＝，
所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大。用函数模型解决实际问题
【教学目标】
1．通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养。
2．通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养。
【教学重难点】
1．会利用已知函数模型解决实际问题。(重点)
2．能建立函数模型解决实际问题。(重、难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
常用的函数模型：
二、新知探究
1．表格信息类建模问题
【例1】
某国2015年至2018年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份
2015
2016
2017
2018
x(年)
0
1
2
3
生产总值(万亿元)
8.206
7
8.944
2
9.593
3
10.239
8
(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值。
[解]
(1)根据表中数据画出函数图形，如图所示。从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋B．
把直线通过的两点(0，8.206
7)和(3，10.239
8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677
7，b＝8.206
7．
所以它的一个函数关系式为y＝0.677
7x＋8.206
7．
(2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.677
7x＋8.206
7，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为
f(1)＝0.677
7×1＋8.206
7＝8.884
4，
f(2)＝0.677
7×2＋8.206
7＝9.562
1．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元。
(3)2019年，即x＝4，由上述关系式，得y＝f(4)＝0.677
7×4＋8.206
7＝10.917
5，即预测2019年该国的国内生产总值约为10.917
5万亿元。
【教师小结】
(1)根据表格信息，画出图像；
(2)根据图像特征，选定函数模型；
(3)用待定系数法求出函数解析式；
(4)检验模型。
2．图像信息解读问题
【例2】
如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图像。
图1
图2
图3
(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示。你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？
[解]
(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利。
(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价。
(3)斜率表示票价。
(4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元。
【教师小结】
（1）这类问题应结合图像的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决。
（2）挖掘图像中的信息是关键。
三、课堂总结
1．函数模型的应用实例主要包括2个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求。
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)在建立实际问题的函数模型时，除了要考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义。(
)
(2)由函数模型得到的解就是实际问题的解。(
)
[答案]
(1)√
(2)×
2．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a
km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b
km(b＜a)，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为(
)
A
B
C
D
C
[由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升。由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段。然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升。故选C．]
3．国内快递1
000
g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km)
0＜x≤500
500＜x≤1
000
1
000＜x≤1
500
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要快递800
g的包裹到距西安1
200
km的某地，那么他应付的邮资是(
)
A．5.00元
B．6.00元
C．7.00元
D．8.00元
C
[由题意可知，当x＝1200时，y＝7.00元，故选C．]
4．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图所示，窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积S最大，窗户应具有怎样的尺寸？
[解]
由题意得窗框总长l＝x＋x＋2y，
∴y＝，∴S＝x2＋xy
＝x2＋x·
＝－2＋。
由得x∈，
当x＝时，Smax＝，
此时y＝＝，
所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大。
