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集合的基本关系
思考讨论：
问题1：某学校高一（1）班全体35位同学组成集合
，其中女同学组成集合
：若
，则
与集合
是什么关系？
思考讨论：
问题2：用
表示所有矩形组成的集合，
表示所有平行四边形组成的集合：若
，则
与集合
是什么关系？
思考讨论：
问题3：所有有理数都是实数，则有：
若
，则
试问以上问题所涉及到的两个集合之间有什么关系？
一个集合包含在另一个集合内
1、子集的概念
一般地，对于两个集合
与
，如果集合
中的任何一个元素都属于集合
，即若
，则
，那么称集合
是集合
的子集。
如问题1：“女生集合
包含于班级集合
”
符合表示：
读作：
包含于
（
包含
）
1.子集定义中“任何一个”、“都”
即
中所有元素都属于
2.符号“
”开口方向的集合要“大”些。
2、几个结论
（1）任何一个集合都是它本身的子集
即：
（2）空集是任何集合的子集
即：
集合
是
的子集
即
，
可以用下面的图形表示（Venn图）
对于两个集合
与
，如果
是
的子集，且
是
的子集，那么称集合
与
相等。
3、集合的相等
如：
记作：
两个集合相等：
所含元素相同
两个集合
、
，如果
，且
则
类比：两个实数
如果
，且
，则
对于两个集合
与
，如果
，且
，
那么称集合
是集合
的真子集。
4、真子集的概念
读作：集合
真包含于
或集合
真包含
记作：
（或
）
真包含符号“
”
下面是个不等号
1.集合
是集合
的真子集，
即：集合
中的元素都属于集合
但集合
中存在元素不属于
。
2.空集
是任何非空集合的真子集。
集合
与集合
在数轴上表示，如图
则
，
写出数集
、
、
、
、的关系：
例3：某造纸厂生产练习本用纸，在纸的密度和厚度都合格时，该产品才合格，若用
表示练习本用纸合格的产品组成的集合，
表示纸的密度合格的产品组成的集合，
表示纸的厚度合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成立？
试用Venn图表示这三个集合的关系。
试一试
厚度合格
密度合格
练习本合格
解：由题意知，
它们的关系可用Venn图表示如下：
例4：写出集合
的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。
试一试
解：由子集的定义知，集合
的子集的元素
最少0个，最多3个，由少到多子集依次为
上述8个子集，其中除了
其余7个都是真子集。
n元集合(含n个元素的集合)子集的个数为
个
思考讨论：
（1）你能说出集合
与集合
的关系吗？
（2）集合
，非空集合
满足：
，并且任意
都有
，这样的集合
有多少个？请写出来。
解析：（1）集合
是奇数集，逐一写出集合
的元素，可以发现两个集合所含元素完全相同，所以
。
（2）满足条件的非空集合
共有7个，依次为：
（1）你能说出集合
与集合
的关系吗？
（2）集合
，非空集合
满足：
，并且任意
都有
，这样的集合
有多少个？请写出来。
练习
教材P7，练习1、2、3、4.
作业
教材P12，习题1—1：第5题
补充作业：
已知集合A满足：
{0，1，2，3，4}
，写出所有满足条件的集合A。
谢
谢集合的基本关系
【学习目标】
1．掌握子集、真子集的含义及其符号表示，准确使用“包含”“包含于”等语言表述和“、、、、”等符号表示；
2．掌握集合相等的含义；
3．能使用图表示集合间的包含关系，熟练写出一个集合的子集和真子集。
【学习重难点】
1．集合与集合的关系，子集、真子集的概念；
2．熟练使用“、、、、”等符号表示集合间的关系，以及用图表示集合间的关系；掌握空集是任何集合的子集，熟练写出一个集合的所有子集，了解一个集合的子集个数的计算；
3．数学语言和符号表示的规范性和准确性。
【学习过程】
思考讨论：
问题1：某学校高一（1）班全体35位同学组成集合，其中女同学组成集合：
若，则与集合是什么关系？
问题2：用表示所有矩形组成的集合，表示所有平行四边形组成的集合:
若，则与集合是什么关系？
问题3：所有有理数都是实数，则有：
若，则_____
试问以上问题所涉及到的两个集合之间有什么关系？
1．子集的概念
一般地，对于两个集合与，如果集合中的都属于集合，即若，则，那么称集合是集合的子集。
符号表示：(或)
读作：集合包含于集合（或集合包含集合）
如上面问题1“女生集合包含于班级集合”，记作。
注意：①概念中的关键词“任何一个元素”，相当于“所有元素”；
②元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的从属关系，集合与集合的关系是“包含”或“不包含”的包含关系；
③符号“”的开口方向的集合要“大”一些。
2．子集的相关结论
（1）任何一个集合都是它本身的子集，即；
（2）空集是任何集合的子集，即；
（3）集合是集合的子集，即，可以用Venn图表示，如图：
3．集合的相等
对于两个集合与，如果集合是集合的子集，并且集合是集合的子集，那么称集合与集合相等。
记作：
注意：①两个集合、，如果，且，则，
类比:两个实数、，如果，且，则；
②两个集合相等，则两个集合所含的元素。
4．真子集的概念
对于两个集合与，如果，并且，那么称集合是集合的真子集。
记作：(或)
读作：集合真包含于集合（或集合真包含集合）
注意：①集合是集合的真子集，说明集合中的元素都属于，但集合中存在元素不属于集合；
②空集是任何非空集合的真子集；
③任何一个集合至少有两个子集：空集和它本身。
如：
常见的几个数集
例3：某造纸厂生产练习本用纸，在纸的密度和厚度都合格时，该产品才合格，若用表示练习本用纸合格的产品组成的集合，表示纸的密度合格的产品组成的集合，表示纸的厚度合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成立？
试用Venn图表示这三个集合的关系。
例4：写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。
如果集合含有个元素，那么它的子集个数为个。
【课后巩固】
（1）你能说出集合与集合的关系吗？
（2）集合，非空集合满足：，并且任意都有，这样的集合有多少个，请写出来？
教材P7，练习1、2、3、4。
教材P12，习题1-1，5。
补充作业：已知集合满足：，写出所有满足条件的集合。
【反思小结】
本节课内容不多，难度也不大，教学中务必提高学生数学语言的准确性和书写的规范性要求，比如元素与集合之间在叙述时只能是“属于”或“不属于”，而集合之间只能是“包含”或“不包含”等，同时注意培养思考的周密性和运算的准确性。集合的基本关系
【教材分析】
集合的基本关系是继上一节集合的基本概念之后的又一个基本知识，集合之间的关系是包含与被包含的包含关系，元素与集合是属于与不属于的从属关系，在言语表达和符号书写时，要求要准确、简洁，它是高中数学的基本符号语言，为下一节集合的运算奠定基础，同时对于学生养成简洁、准确的数学语言，良好的思维习惯和规范的书写习惯等都非常重要。
【教学目标】
1．知识目标：
掌握子集、真子集的含义及其符号表示，准确使用“包含”“包含于”等语言表述和“、、、、”等符号表示；掌握集合相等的含义；能使用图表示集合间的包含关系，熟练写出一个集合的子集和真子集。
2．核心素养目标：
灵活运用集合的符号语言表示有关数学对象，读懂、会用抽象的数学符号（数学语言）进行数学表达，提升学生的数学抽象能力和概括能力，同时培养学生良好的思维习惯和规范的书写习惯。
【教学重难点】
1．集合与集合的关系，子集、真子集的概念；
2．熟练使用“、、、、”等符号表示集合间的关系，以及用图表示集合间的关系；掌握空集是任何集合的子集，熟练写出一个集合的所有子集，了解一个集合的子集个数的计算；
3．数学语言和符号表示的规范性和准确性。
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、知识的引入
1．思考讨论：
问题1：某学校高一（1）班全体35位同学组成集合，其中女同学组成集合：
若，则与集合是什么关系？
问题2：用表示所有矩形组成的集合，表示所有平行四边形组成的集合:
若，则与集合是什么关系？
问题3：所有有理数都是实数，则有：
若，则
试问以上问题所涉及到的两个集合之间有什么关系？
二、新知识
1．子集的概念
一般地，对于两个集合与，如果集合中的任何一个元素都属于集合，即若，则，那么称集合是集合的子集。
符号表示：（或）
读作：集合包含于集合（或集合包含集合）
如上面问题1“女生集合包含于班级集合”，记作。
注意：①概念中的关键词“任何一个元素”，相当于“所有元素”；
②元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的从属关系，集合与集合的关系是“包含”或“不包含”的包含关系；
③符号“”的开口方向的集合要“大”一些。
2．子集的相关结论
（1）任何一个集合都是它本身的子集，即；
（2）空集是任何集合的子集，即；
（3）集合是集合的子集，即，可以用图表示，如图：
3．集合的相等
对于两个集合与，如果集合是集合的子集，并且集合是集合的子集，那么称集合与集合相等。
记作：
注意：①两个集合、，如果，且，则，
类比:两个实数、，如果，且，则；
②两个集合相等，则两个集合所含的元素完全相同。
4．真子集的概念
对于两个集合与，如果，并且，那么称集合是集合的真子集。记作：（或）
读作：集合真包含于集合（或集合真包含集合）
注意：①集合是集合的真子集，说明集合中的元素都属于，但集合中存在元素不属于集合；
②空集是任何非空集合的真子集；
③任何一个集合至少有两个子集：空集和它本身。如：
，
常见的几个数集
例3：某造纸厂生产练习本用纸，在纸的密度和厚度都合格时，该产品才合格，若用表示练习本用纸合格的产品组成的集合，表示纸的密度合格的产品组成的集合，表示纸的厚度合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成立？
，，，
试用Venn图表示这三个集合的关系。
解：由题意知，，成立，它们的关系可用Venn图表示如下：
例4：写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。
解：由子集的定义知，集合的子集的元素个数最少为0个，最多为3个，由少到多依次写出它的子集，得
，，，，，，，
上述8个子集，其中除了以外，其余7个都是它的真子集。
如果集合含有个元素，那么它的子集个数为个。
思考讨论：
（1）你能说出集合与集合的关系吗？
（2）集合，非空集合满足：，并且任意都有，这样的集合有多少个，请写出来？
提示：（1）
（2）满足条件的非空集合有7个，依次为、、、、、、。
三、课题练习
教材P7，练习1、2、3、4。
四、作业布置
教材P12，习题1-1，5。
补充作业：已知集合满足：，写出所有满足条件的集合。
解析：集合至少含有元素0和1，另外不能同时含有元素，所以满足条件的集合依次为、、、、、、、共7个。
【教学反思】
本节课内容不多，难度也不大，教学中务必提高学生数学语言的准确性和书写的规范性要求，比如元素与集合之间在叙述时只能是“属于”或“不属于”，而集合之间只能是“包含”或“不包含”等，同时注意培养思考的周密性和运算的准确性。
