不等式的性质
【学习目标】
1．探索并掌握不等式的基本性质；
2．理解不等式与等式性质的联系与区别．
【学习重点】
探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用．
【学习难点】
能根据不等式的基本性质进行化简．
【学习过程】
一、预习导航
性质1如果，且，那么______．
性质2如果，那么______．
性质3如果，，那么_______；如果，，那么______
性质4如果，，那么_______．
性质5如果，，那么_______．；
二、例题探究
1．已知，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．设，比较与的大小．
【课后巩固】
1．设，则下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，则下列不等式一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．若，，为实数且，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若，，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若，，，且，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．下列结论不正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则
D．若，则
7．设实数，，则下列不等式一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．设，，则下列不等式中不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知，比较与的大小．
10．已知：，，求证：．
【答案解析】
1．答案：D
【解析】解：A．当，时，，，，所以A错误．
B．当，时，，所以B错误．
C．当时，所以C错误．
D．因为，，所以D正确．
故选：D．
2．答案：B
【解析】解：若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，
选项A，C不能说明糖水变得更甜，糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；选项D等价于，不成立，故选：B．
3．【解析】解：，，，，．
两数作商，
．
【课后巩固】
1．C
2．C
3．C
4．C
5．B
6．D
7．D
8．B
9．【解析】解：
，当且仅当时，两式相等
10．【解析】证明：，
，
又，
．不等式的性质
【教材分析】
本节主要学习了不等式的五个基本性质，重点是不等式的基本性质，难点是不等式性质的探索及运用，要将不等式的基本性质与等式的基本性质加以对比，弄清它们之间的相同点与不同点，这样有助于加深理解不等式的基本性质。对于不等式的基本性质，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的。并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目的．
【教学目标】
1．探索并掌握不等式的基本性质；
2．理解不等式与等式性质的联系与区别．
【核心素养】
1．数学抽象：如何利用不等式表示不等关系
2．逻辑推理：通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力．
3．数学运算：证明不等式关系，会比较代数式的大小关系
4．直观想象：利用数轴的比较任意两数的大小关系，引出实数的大小关系，间接引出实数不等式的5个性质
5．数学建模：通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，学会利用不等式关系表示实际问题
【教学重难点】
1．教学重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用．
2．教学难点：能根据不等式的基本性质进行化简
【教学准备】
PPT
【教学过程】
1．知识引入
在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数啊，的大小．关于实数，，大小的比较，有以下基本事实：如果是正数，那么如果；如果等于0，那么；如果是负数，那么反过来也成立．
结论总结：
2．不等式基本性质
性质1如果，且，那么．
分析要证，只需证．
证明因为，且，
，
从而，即．
性质2如果，那么．
分析要证，需证．
证明因为，所以，
所以，即．
性质3如果，，那么；如果，，那么
分析：要证，只需证明
证明因为，所以．
又因为，所以即，
请同学完成的情况证明
例1试比较与的大小．
解：因为
所以
例2试证明：若，，则
证明：
因为，所以．又，，故
因此：
性质4如果，，那么．
证明：因为，所以．
又因为：，
由不等式的性质1，得．
性质5：如果，，那么；
如果，，那么．
证明：因为，，所以．
又因：，，所以
由不等式的性质1，得．
请同学们：完成的情况证明
特殊情况：当时，，其中，
例3：（1）已知，，求证
已知，，求证：
证明：（1）因为，所以；
因为，所以有不等式的性质3，得，即
（2）因为，所以．
又因为，所以有不等式性质4，得，即
3．题型归类：比较两数的大小
（1）比较大小：．（填写“”或“”）
（2）与的大小关系为．
（3）．已知，为实数，则．（填写“”或“”或“”）
判断不等关系是否成立
（1）已知，则下列不等式一定正确的是（C）
A．
B．
C．
D．
（2）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（C）
A．若，则
B．若，c＞d，则
C．若，则
D．若，则
（3）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（B）
A．
B．
C．
D．
证明不等关系
1．已知，求证：．
2．比较与的大小．
证明：（1），
，
再由，可得．
故要证的不等式成立；
解：（2）
，
．
（2）已知，，比较与的大小．
解：
，当且仅当时，两式相等
（3）设，比较与的大小．
解析：解：，，，，．
两数作商，
．
【教学反思】
本节内容需要学生掌握不等式的基本性质，会判断两数的不等关系，学会利用不等式关表示实际问题。(共16张PPT)
不等式的性质
知识引入（1）
在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数啊a，b的大小.关于实数a，b，大小的比较，有以下基本事实：
如果a-b是正数，那么如果a>b；
如果a-b等于0，那么a
=
b；
如果a-b
是负数，那么a
结论
结论总结：
a>b
a-b>0
a=b
a-b=0
aa-b<0
性质1：如果a>b，且b>c，那么a>c.
分析：
要证a>c，只需证a-c>0.
证明因为a>b，且b>c，
a-b>0，b-c>0，
从而a-c=（a-b）+（b-c）>0，即a>c.
不等式基本性质
性质2：如果a>b，那么a+c>b+c.
分析：
要证a+c>b+c，需证（a+c）-（b+c）>0.
证明：因为a>b，所以a-b>0，
所以（a+c）-（b+c）=a-b>0，即a+c>b+c.
性质3：如果a>b，c>0，那么ac>bc；
如果a>b，c<0，那么ac分析：要证ac>bc，只需证明
ac-bc>0
证明：因为a>b，所以a-b>0.
又因为
c>0，所以（a-b）c>0即
ac-bc>0，ac>bc
请同学完成c<0的情况证明
例1：试比较（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小.
例2：试证明:若00，则
学
科
网
创原家独
性质4
：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.
证明：因为a>b，所以a+c>b+c.
又因为：c>d，b+c>b+d
由不等式的性质1，得a+c>b+d.
性质5：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；
如果a>b>0，c证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc.
又因：c>d，b>0，所以bc>bd
由不等式的性质1，得ac>bd.
请同学们：完成c特殊情况：
当a>b>0时，an>bn
，其中
，n≥2
例3：（1）已知a>b，ab>0，求证
（2）已知a>b，cb-d
1.比较两数的大小．（填“＞”“＜”或“＝”）
（1）比较大小：（x﹣3）2__（x﹣2）（x﹣4）
（2）（x+1）（x+5）___（x+3）2的大小关系为
（3）已知a，b为实数，则（a+3）（a﹣5）____（a+2）（a-4）．
题型归类
2.判断不等关系是否成立
（1）已知a＞b，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．ac2＞bc2
B．a2＞b2
C．a3＞b3
D．＜
（2）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac＞bc
B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若a＞b，则
（3）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+c≥b﹣c
B．（a﹣b）c2≥0
C．ac＞bc
D．
3.证明不等关系
（1）1.
已知a＞b＞0，c＜0求证：
．
2.比较（a+3）（a﹣5）与（a+2）（a﹣4）的大小
（2）已知a，b∈R，比较a2+b2与ab+a+b﹣1的大小．
（3）设a＞b＞0，比较
与
的大小．
课后小结
1.掌握不等式的性质
2.会比较两个代数式之间的大小关系
3.会利用不等式性质证明不等式
学
科
网
创原家独
谢
谢