(共15张PPT)
基本不等式
知识引入
对于任意实数x和y，（x-y）2≥0总是成立的，
即x2-2xy+y2≥0，所以
，当且仅当x=y时，等号成立。
若a≥0，b≥0，取
，则
当且仅当a=b时，等号成立。
这个不等式称为基本不等式，其中
称为a，b的算术平均数，
称为a，b的几何平均数，因此，基本不等式也称为均值不等式。
两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。
结论
学
科
网
创原家独
如图1-14，AB是半圆O的直径，点C在AB上，且AC=a，CB=b.过点C作AB的垂线交于
点D。
连接AD，OD，BD.显然OD=OA=
；利用
三角形相似，可证得，从而
。
基本不等式的几何解释
从图中可以看出OD≥CD，当且仅当点C与圆心0重合时，等号成立，即“半径大于或等于半
弦”.
例4：已知a>0，b>0，c>0，
求证：
当x，y均为正数时，下面的命题均成立：
（1）若x+y=s（s为定值）则当且仅当x=y时，xy取得最大值
（2）若xy=p（p为定值）则当且仅当x=y时，x+y取得最小值
和定积最大，积定和最小
例5：已知x，y均为整数，试证明：若x+y=s（s为定
值），则当且仅当x=y，时，xy取得最大值
证明：由基本不等式
和x+y=s，得
所以：
又因为当x=y=
时，不等式中的等号成立，所以
此时xy取得最大值
.
例6：如图1-16，动物园要围成四间相同面积的长方形禽
舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（接头处不计）
（1）现有可围36m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各
设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
（2）若使每间禽舍面积为24m2则每间禽舍的长、宽各设计
为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？
（1）利用基本不等式求最值
1．下列函数中，最小值是2的是（ ）
A．y＝
B．y＝
C．y＝7x+7﹣x
D．y＝x2（x＞0）
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若a，b∈R，则
B．若x＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x∈R，则
题型归类
（2）和定积最大，和定积最小的考查
1.若mn＝1，其中m＞0，则m+3n的最小值等于（ ）
A．
B．2
C．
D．
2．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（ ）
A．有最大值为1
B．有最小值为1
C．有最大值为
D．有最小值为
（3）“1”的代换运用
1．若对任意的正数a，b满足a+3b﹣1＝0，则
的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．12
D．24
2．若ab＞0，
＝1，则a+b的最小值是_____
课后小结
1.运用基本不等式求最值的三个注意：“一正二定三相等”
2.理解基本不等式的几何意义
谢
谢基本不等式
【学习目标】
1．通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；
2．借助基本不等式解决简单的最值问题，
【学习难点】
1．基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；
2．利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
【学习重点】
应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
【学习过程】
一、自主预习
1．两个非负实数的算术平均值________它们的几何平均值
2．若，取，，，则：当且仅当时，等号成立这个不等式称为__________
3．当，均为正数时，下面的命题均成立：
（1）若（s为定值）则当且仅当时，取得最大值________
（2）若(p为定值）则当且仅当时，取得最小值_____
二、例题探究
1．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB上取一点C，使得，，过点C作交圆周于D，连接OD．作交OD于E．由可以证明的不等式为（
）
A．
B．
C．
D．
2．若，，则的最小值为（
）
A．2
B．
C．
D．
3．若矩形的周长1为定值，则该矩形的面积的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【课后巩固】
1．下列命题中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．下列函数中，最小值是2的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数的最小值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
4．已知实数，且，则的最小值为（
）
A．9
B．
C．5
D．4
5．已知，则的最小值为（
）
A．4
B．16
C．8
D．10
6．若正数a，b满足，则当ab取最小值时，b的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知，，则的最小值为（
）
A．9
B．12
C．15
D．
8．已知正实数满足，则最小值为（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
9．（1）设，求函数的最大值；
（2）解关于的不等式．
10．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为．
（1）求广告牌的面积关于的函数；
（2）求广告牌的面积的最小值．
【答案解析】
1．【解析】解：由射影定理可知，即，由得，
故选：A．
2．【解析】解：，，
，
，
，，
，
当且仅当即时取“”，
故选：D．
3．【解析】解：设矩形ABCD的长为，宽为，则其周长为定值，即；
所以该矩形的面积为，
当且仅当时取得最大值是．
故选：C．
4．【解答】解：，，，
，
不等式恒成立，，
整理得，解得，即，
的取值范围为．
故选：B．
【课后巩固答案解析】
1．D
2．C
3．C
4．B
5．C
6．A
7．D
8．B
9．【解析】解：（1）设，函数，故当时，函数取得最大值为．
（2）关于的不等式，即．
当时，不等式即，不等式无解；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
综上可得，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．
10．【解析】解：（1）依题意广告牌的高为，则，
所以，且，
所以广告牌的面积．
（2）由（1）知，
，
当且仅当，即号成立．
所以，
广告牌的面积的最小值为61.25．基本不等式
【教学分析】
本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之-，为后续的学习奠定基础。要进-步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
【教学目标】
1．通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；
2．借助基本不等式解决简单的最值问题．
【核心素养】
1．数学抽象：根据实际例子，抽象概括“和定积最大，积定和最小”
2．逻辑推理：本节内容进-步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；
3．数学运算：利用基本不等式求最值
4．直观想象：结合课本的探究图形，引导学生进-步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；
5．数学建模：基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的-个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积-定，周长最小；周长-定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。
【教学难点】
1．基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；
2．利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
【教学重点】
应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
【课前准备】
PPT
【教学过程】
1．知识引入
对于任意实数和，总是成立的，即，所以
，当且仅当时，等号成立
若，，取，，则：，当且仅当时，等号成立；这个不等式称为基本不等式，其中称为，的算术平均数，称为，的几何平均数，因此，基本不等式也称为均值不等式。
结论：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值
2．基本不等式的几何解释
如图1-14，是半圆的直径，点在上，且，．过点作的垂线交于点。连接，，．显然；利用三角形相似，可证得相似于，从而，
从图中可以看出，当且仅当点C与圆心0重合时，等号成立，即“半径大于或等于半弦”．
利用基本不等式或类似上述几何图形，还可以推出-些其他的简单不等式．
例4：已知，，，求证:
证明因为，，，所以由基本不等式得，，；三式相加，得
即：
把-段长为的细铁丝弯成形状不同的矩形，试填写表1-3，并思考当矩形的长、宽分别为何值时，面积最大．
表1-3
方案
长/
宽/
面积/
方案1
方案2
方案3
设矩形的长为，宽为，则．此时，由基本不等式
得，即．又因为当时，（即不等式中的等号成立），由此可知，边长为的正方形的面积最大．
思考交流：
类比上面的方法，说明：面积为的所有不同形状的矩形中，边长为的正方形的周长最小．
重点结论：当，均为正数时，下面的命题均成立：
（1）若（为定值）则当且仅当时，取得最大值
（2）若(为定值）则当且仅当时，取得最小值
例5：已知x，y均为整数，试证明：若(为定值），则当且仅当，时，取得最大值
证明：由基本不等式和，得，所以，又因为当时，不等式中的等号成立，所以此时取得最大值
例6：如图1-16，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，-面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（接头处不计）
（1）现有可围长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
（2）若使每间禽舍面积为则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？
解：（1）设每间禽舍的长为，宽为，则
设，，，应用基本不等式，有，即：
当且仅当时，不等式中等号成立，此时，，，；因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为和时，可使每间禽舍面积最大，最大面积为．
重点题型
（1）利用基本不等式求求最值
1．下列函数中，最小值是2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
答案：D
（2）和定积最大，和定积最小的考查
1．若，其中，则的最小值等于（ ）
A．
B．2
C．
D．
答案：C
2．已知，，且，则（ ）
A．有最大值为1
B．有最小值为1
C．有最大值为
D．有最小值为
答案：C
（3）“1”的代换运用
1．若对任意的正数，满足，则的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．12
D．24
答案：C
2．若，，则的最小值是．
【教学反思】
一个不等式：若，，则有，当且仅当时，．
两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。
三个注意：基本不等式求函数的最大(小）值是注意：“一正二定三相等”
