一元二次函数
【学习目标】
1．一元二函数图形的平移变换。
2．掌握一元二次函数的对称轴，及会求最大值和最小值的。
【学习重点】
1．二次函数的平移变化。
2．二次函数和的变化趋势。
【学习难点】
如何将一般二次函数配成顶点式。
【学习过程】
一、自主预习
1．一元二次函数的图象是一条抛物线，它可以由的图象经过向左(或向右)平移________个单位长度，再向上(或向下)平移________个单位长度而得到．
2．一元二次函数有如下性质：
(1)函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是_________，对称轴是直线__________；
（2）当时，抛物线开口__________；在区间上，函数值随自变量的_________；在区间上，函数值随自变量的__________；函数在处有_________，记作________．
当时，抛物线开口向下；在区间，上，函数值随自变量的________；在区间上，函数值随自变量的________；函数在处有________，记作：__________
二、例题探究
1．抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位，所得函数的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列二次函数的图象通过平移能与二次函数的图象重合的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．二次函数的最大值为（
）
A．3
B．2
C．1
D．11
4．二次函数的最小值为（
）
A．2
B．0
C．
D．1
5．抛物线的顶点坐标是（
）
A．（1，2）
B．（1，1）
C．
D．（2，1）
【课后巩固】
1．要由抛物线得到抛物线，则抛物线必须（
）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
2．把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（
）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
3．设，当时，对应值的集合为，
（1）求，的值；
（2）当为何值时，取最小值，并求此最小值．
4．画出函数的图象．
5．已知函数，且．
（1）求不等式的解集；
（2）求在上的最值．
【答案解析】
（1）D
（2）B
（3）D
（4）C
（5）B
【课后巩固】
（1）A
（2）C
（3）解：（1），即，则，为其两根．
由韦达定理知：，所以．
，所以．
（2）由（1）知：，
时，最小为．
4．解：原函数式可化为：，
分段画出函数在和上的图象即得原函数的图象．
5．解：（1），
，
由可得，，
整理可得，，
解可得，
不等式的解集为；
（2）的开口向下，对称轴，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，
故函数有最大值，最小值．(共16张PPT)
一元二次函数
在初中，我们学习了一元二次函数y=
ax2+bx+c，（a≠0）认识这个函数的过程是从
y=x2（开始的，是由简到繁的过程（如图1-19）.
知识引入
思考交流
请分析讨论函数y=a（x-h）2+k的图象可以由函数y=ax2图象经过怎样的变换得到.
结论
1.二次函数图像的
变换规律
2.一元二次函数y-a（x-h）2+k（a≠0）有如下性质：
（1）函数y=a（x-h）2+k的图象是一条抛物线，顶点坐标是（h，k）对称轴是直线x=h；
（2）当a>0时，抛物线开口向上；在区间（
，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上
，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x=h处有最小值，记
作
ymin=k.当a<0时，抛物线开口向下；在区间（
，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间
上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在处有最大值，记作：ymax=k
例1：已知一元二次函数
（1）指出它的图象可以由函数
的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值.
例2：画出二次函数
与
的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。
解：如图所示：
抛物线
的开口向下，对称轴是进过点（-1，0）且与x轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1，0）；抛物线
的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1，0）。
例3：画出函数
的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛物线
经过怎样的变换可以得到
抛物线？
解：抛物线
的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。把抛物线
向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线
如图：
学
科
网
创原家独
注意细节：
二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
（1）先找出顶点坐标，画出对称轴；
（2）找出抛物线上关于对称轴的四个点（如与坐标轴的交点等）；
（3）把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来
1.用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最值：
（1）
（2）
y=-3x2+12x-8
习题练习
2.已知一元二次函数
（1）指出它的图象可以由
函数的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图像的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值.
本节小结
谢
谢一元二次函数
【教学分析】
一元二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图象，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识．
【教学目标】
1．通过一个例子研究二次函数的图象和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力．
2．掌握二次函数的概念、表达式、图象与性质，会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值．
【核心素养】
1．数学抽象：一元二次函数变量的变化趋势．
2．逻辑推理：利用初中所学的二次函数，配成顶点式，让学生对一元二次函数的平移变化，能更好的掌握．
3．数学运算：一元二次函数的平移变化；如何求一元二次函数的最值．
4．直观想象：根据函数图象的变化，让学生更好理解函数之间的关系．
5．数学建模：数学中，通过对同类函数图象之间的变化的研究，让学生能更好的将一元二次函数运用实践中，更好的解决实际中，类似于抛物线的物体，我们都可以通过某些计算，来解决实际问题．
【教学重点】
1．二次函数的平移变化．
2．二次函数和的变化趋势．
【教学难点】
如何将一般二次函数配成顶点式．
【课前准备】
PPT
【教学过程】
1．知识引入
在初中，我们学习了一元二次函数认识这个函数的过程是从（开始的，是由简到繁的过程（如图1-18）．
思考交流
请分析讨论函数的图象可以由函数图象经过怎样的变换得到．
2．知识概括：
（1）二次函数图象的变换规律：
抛物线的图象，可以由得图象移动而得到。
当时，向左平移个单位长度，
当时，向右平个单位长度
的图象
当时，向上平移个单位长度
当时，向下平移个单位长度
的图象，写成一般形式：的图象
（2）一元二次函数有如下性质：
①函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是对称轴是直线；
②当时，抛物线开口向上；在区间上，函数值随自变量的增大而减小；在区间上，函数值随自变量的增大而增大；函数在处有最小值，记作．
当时，抛物线开口向下；在区间上，函数值随自变量的增大而增大；在区间上，函数值随自变量的增大而减小；函数在处有最大值，记作：．
例1已知一元二次函数
（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值．
解（1）配方，得
所以函数的图象可以由函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到．
由（1）可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线；在区间上，函数值随自变量的增大而减小，在区间上，函数值随自变量的增大而增大；函数值在处取得最小值3，即．
【知识扩充】
例2
画出二次函数，的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。
解：如图所示
抛物线的开口向下，对称轴是进过点且与轴垂直的直线，记为，顶点是；抛物线的开口向下，对称轴是，顶点是（1，0）。
例3
画出函数的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛物线经过怎样的变换可以得到抛物线？
解：抛物线的开口方向向下、对称轴是，顶点是。
把抛物线向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线。
注意细节：二次函数的图象的画法
因为二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
（1）先找出顶点坐标，画出对称轴；
（2）找出抛物线上关于对称轴的四个点（如与坐标轴的交点等）；
（3）把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
习题练习：
用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最值：
（1）
（2）
已知一元二次函数
（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值．
【教学反思】
本节内容讲述了两个方面的知识点，一是特殊的二次函数的图象随值变化的规律性，二是二次函数的性质与图象．设计恰当，重点突出，即重点讲解二次函数的性质与图象．遵循由特殊到一般、由具体到抽象的原则，使结论便于被学生理解．
