一元二次不等式及其解法
【教材分析】
本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性．一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法．因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用．
【教学目标】
1．正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法．
2．通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力．
【核心素养】
1．数学抽象：一元二次不等式的概念．
2．逻辑推理：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法．
3．数学运算：解一元二次不等式．
4．直观想象：利用二次函数图像分析一元二次不等式的解集，直观的解释不等式解集的正确性．
5．数学建模：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．
【教学重难点】
1．教学重点：一元二次不等式的解法
2．教学难点：理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系
【课前准备】
PPT
【教学过程】
1．知识引入
汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”．刹车距S（单位：m）与车速弑单位：km/h）之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同．它是分析交通事故的一个重要依据．
甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞．交警在现场测得甲车的刹车距接近但未超过，乙车的刹车距刚刚超过．已知这两辆汽车的刹车距函数如下：
，，
车速超过属违章．
试问：哪一辆车违章超速行驶？
由题意，只需分另解出使不等式和成立的的取值范围，再确认两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶．
一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式．通常，它们都可以化为的形式，其中，，均为常数，且．使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
类比初中数学中用一次函数的图象求解一次不等式，我们可以利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集．
以不等式为例，画出一元二次函数的图象（如图1一21）并观察，可知它与轴交点的横坐标分别是和3．即当，时．进而，当时，一元二次函数的图象在轴的下方，满足．也就是说，一元二次不等式的解集是．
2．知识总结概括：
当时，解形如或的一元二次不等式，其基本思路是确定时的自变量的取值，借助图象，写出原不等式的解集．
图1-22
3．思考交流
完成以下表格
学生动手：请学生仿照以上方法，画出当时的求解思路
例2：求不等式的解集．
解：因为，所以方程．有两个相等的实数根，解得
画出一元二次函数的图象（如图1-23），可知该函数的图象是开口向上的抛物线，且与轴仅有一个交点
观察图象可得原不等式的解集为
例3求不等式的解集．
解法1因为．，所以方程有两个不相等的实数根，解得，
画出一元二次函数的图象（如图1-24），可知该函数的图象是开口向上的抛物线，且与轴有两个交点和．
观察图象可得原不等式的解集为
解法二：
将原不等式可以转化为：
即：，或
所以不等式的解集：
思考交流：
根据不等式的解集，你能得出不等式的解集吗？
例4求关于的不等式的解集，其中是常数．
解依题意知方程的根为，，且一元二次函数的图象是开口向上的抛物线．
当时，如图1-25，一元二次函数的图象与轴从左至右有两个交点与．所以原不等式的解集为．
当时，如图1-26，一元二次函数的图象与轴只有一个交点．所以原不等式的解集为．
当时，如图1-27，一元二次函数的图象与轴从左至右有两个交点与．所以原不等式的解集为．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为：
当时，原不等式的解集为
4．知识同步练习：
求不等式的解集．
解：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
5．题型扩充
（1）已知不等式的解为，求，值．
解：方法一：显然，由，
得，变形得，
故，．
方法二：利用韦达定理：与是的两根，故有；解得
（2）已知．
（1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围．
（2）如果对，成立，求实数的取值范围．
解：的图像开口向上．
（1）对一切实数，，则，即，
；
（2）当时，，对称轴可在区间内，也可在区间外，
或或
解得
【教学反思】
1．一元二次不等式这一概念；
2．解一元二次不等式、的步骤是：
（1）化成标准形式，
（2）判定与0的关系，并求出方程的实根：
（3）写出不等式的解集．(共24张PPT)
一元二次不等式及其解法
一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式.通常，它们都可以化为ax2+bx+c>0
的形式，其中a，b，c均为常数，且a≠0.使一元二次不等式成立的
所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
一元二次不等式概念概况
如何解一元二次不等式
类比初中数学中用一次函数的图象求解一次不等式，我们可以
利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集.
以不等式
x2-2x-3<0为例
1.画出一元二次函数y=x2-2x-3
的图象
它与x轴交点的横坐标分别是-1和3.即当x1=1，x2=3时x2-2x-3=0
2.当
-1满足y<0.也就是说，一元二次不等式x2—2x—3<0的解集是{x|-1当a>0时，解形如ax2
+bx+c>0（a≥0）或ax2
+bx+c<0（a≤0）的一元二次不等式，其基本思路是确定ax2+bx+c=0时的自变量x的取值，借助图象，写出原不等式的解集。
知识总结概括
思考交流：完成以下表格
一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的求解思路
学生动手：请学生仿照以上方法，画出当a<0时的求解思路。
练习：已知一元二次函数
（1）指出它的图象可以由
函数的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图像的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值
例2：求不等式9x2-6x+1>0的解集.
解：因为
所以方程9x2
-6x+1
=0。有两个相等的实数根，解得
画出一元二次函数y
=
9x2-6x+1的图象（如图1-23），可知该函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴仅有一个交点
观察图象可得原不等式的解集为
例3：求不等式3x2+5x-2>0的解集.
解法1：
因为△
=
52—4X3X（
—2）>0。，所以方程3x2+5x—2
=0。有两个不相等的实数根，解得x1
=
—2，x2=
画出一元二次函数y
=
3x2
+5x-2的图象（如图1
-
24），可知该函数的图象是开口向
上的抛物线，且与x轴有两个交点（
-2，0）和
观察图象可得原不等式的解集为
解法2：
将原不等式可以转化为：（x+2）（3x-1）>0
即：
所以不等式的解集：
思考：根据不等式3x2+5x-2>0的解集，你能得出不等式3x2+5x-2≤0的解集吗？
例4：
求关于x的不等式
的解集，其中a是常数.
解：依题意知方程
的根为
x1=
—1
，x2=a，且一元二次函数y
=x2+（1
-a）x-a的图象是开口向上的抛物线.
（1）当a<-1时，如图1-
25，一元二次函数y=x2+（1—a）x-a的图象与x轴从左至右
有两个交点（a，0）与（-1，0）.所以原不等式的解集为（a，—1）.
当a=-1时，如图1-26，一元二次函数y
=x2+（1-a）x-a的图象与x轴只有一
个交点（-1，0）.所以原不等式的解集为
（3）当a>-1时，如图1
-
27，一元二次函数y=x2+（1-a）x-a
的图象与x轴从左至右有两个交点（-1，0）与（a，0）.所以原不等式
的解集为（-1，a）.
综上所述，当a<
-1时，原不等式的解集为（a，—1）；
当a=
—1时，原不等式的解集为
；
当a>-
1时，原不等式的解集为（-1，a）
【知识同步练习】求不等式x2-2x+2m-m2＞0的解集.
答案：
当m＞1时，解集为｛x｜x＜2-m，或x＞m｝；
当m=1时，解集为｛x
R｜x≠1｝；
当m＜1时，解集为｛x｜x＜m，或x＞2-m
.?
题型扩充
解
析
韦达定理：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，则
（2）
已知f（x）=x2+2（a-2）x+4.
（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值
范围.
（2）如果对x∈〔-3，1〕，f（x）＞0成立，求实数a的取值范围.
学
科
网
创原家独
本节小结
一元二次不等式这一概念
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0
（a>0）
的步骤是：
（1）化成标准形式
ax2+bx+c>0（a>0）
ax2+bx+c<0（a>0）
（2）判定△与0的关系，并求出方程ax2+bx+c=0
的实根；
（3）写出不等式的解集.
谢
谢一元二次不等式及其解法
【学习目标】
1．理解一元二次不等式概念。
2．掌握一元二次不等式解法。
【学习重点】
一元二次不等式的解法。
【学习难点】
理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系。
【学习过程】
一、自主预习
1．一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作__________．通常，它们都可以化为的形式，其中，，均为常数，且．使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的______．
2．完成下列表格
二、例题探究
1．已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的值．
2．设
（1）当时，解关于的不等式：
（2）若关于的不等式的解集为，求的值
【课后巩固】
1．二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为、，且，，如图所示，则的取值范围是（ ）
A．或
B．
C．或
D．
2．不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若不等式的解集为实数集，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知关于的不等式，．
（1）若不等式的解集为，求a；
（2）当时，解此不等式．
【实践研究答案解析】
（1）解：（1）不等式，即，可化为，
当时，不等式为，其解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
（2）不等式可化为，
由该不等式的解集为知，
1和4是不等式对应方程的两个实数根，
所以，解得．
（2）解：（1）即，即，
解得或，即解集为；
（2）关于的不等式的解集为，
即为1，2为方程的两根，
可得，，
解得．
【课后巩固答案解析】
（1）B
（2）D
（3）D
（4）A
（5）B
（6）A
（7）B
（8）A
（9）解：（1）关于的不等式的解集为，
所以，解得；
（2）不等式等价于，；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式等价于，
若，则，解得；
若，则，解得；
若，则，解得；
当时，不等式等价于，
且，解得或；
综上，时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为空集；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为．
