(共21张PPT)
样本的数字特征
小王去某公司应聘。公司经理说，我们这里报酬不错，月平均工资是3000元，技术员A说，我的工资是1500元，在公司算中等收入，小王感觉待遇不错，第二天就去上班了。一周后，小王发现了问题，去找经理，“经理，你说的不对，我已问过其他技术员，没有一个技术员的工资超过3000元。”经理说：“没错，平均工资确实是每月3000元，不信可看看公司的工资报表。”小王糊涂了，这是怎么回事呢？
员工
总工程师
工程师
技术员A
技术员B
技术员C
技术员D
技术员E
技术员F
见习技术员G
工资
9000
7000
2800
2700
1500
1200
1200
1200
400
下表是该公司月工资报表:
经理是否忽悠了小王？为什么呢？
从数据中提取的基本的数字特征，如平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等.
思考1.什么叫平均数？有什么意义？
提示：一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.
平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平.
思考2.什么叫中位数？有什么意义？
提示：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数（或中间两个数的平均数）称为这组数据的中位数.一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势.
思考3.什么叫众数？有什么意义？
提示：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止一个，反映了数据的集中趋势.
思考4.什么叫极差？有什么意义？
提示：一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况.
思考5.什么叫方差？有什么意义？
提示：方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用s2表示，通常用公式
来计算.反应了数据的离散程度，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.
思考6.什么叫标准差？有什么意义？
提示：标准差等于方差的正的平方根，与方差的作用相同，描述一组数据围绕平均数的波动程度的大小.
例1
某公司员工的月工资情况如表所示：
月工资/元
8
000
5
000
4
000
2
000
1
000
800
700
600
500
员工/人
1
2
4
6
12
8
20
5
2
(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数.
(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？
解：（1）该公司员工的月工资平均数为
即该公司员工月工资的平均数为1
373元.
中位数为800元，众数为700元.
(2)公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数1
373元作为月工资的代表；而税务官希望取月工资中位数800元，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数700元作为代表，因为每月拿700元的员工数最多.
例2
在上一节中，从甲、乙两个城
市随机抽取的16台自动售货机的销
售额可以用茎叶图表示，如图所示：
（1）甲、乙两组数据的中位数、众
数、极差分别是多少？
（2）你能从图中分别比较甲、乙两组数据的平均数和方差的大小吗？
解：(1)
观察茎叶图，我们不难看出：甲城市销售额的中位数为20,众数为10,18,30,极差为53;乙城市销售额的中位数为29,众数为23,34，极差为38.
（2）从茎叶图中我们可以看出：甲城市销售额分布主要在茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销售额分布则相对集中在茎叶图的中部.由此，我们可以估计：甲城市销售额的平均数比乙城市的小，而方差比乙城市的大.
平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数经常被使用.
甲
40.0
39.8
40.1
40.2
39.9
40.0
40.2
39.8
40.2
39.8
乙
40.0
40.0
39.9
40.0
39.9
40.1
40.1
40.1
40.0
39.9
分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差.
解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值:
我们分别计算它们直径的标准差：
/mm
/mm
例3 甲、乙两台机床同时生产直径是40
mm的零件.为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如表所示.
由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161
mm，比乙机床的标准差
0.077
mm大，说明乙机床生产的零件更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些.
【提升总结】
总结求一组数据的方差的一般步骤：
（1）求数据的平均数；
（2）依据公式求方差.
1.
某公司10位员工的月工资（单位:元）为
，其均值和方差分别为
和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（
）
A.
，s2+1002
B.
+100,
s2+1002
C.
,
s2
D.
+100,
s2
D
2.
某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（
）
A.这种抽样方法是一种分层随机抽样
B.这种抽样方法是一种简单随机抽样
C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
C
3.
某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是______.
-3
4.下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：
分数
0
1
2
3
4
5
人数
4
7
10
x
8
y
请参照这个表解答下列问题：
（1）用含x，y的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f.（2）若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求x，y的值.
数字特征中的三数三差
（众数、中位数、平均数；极差、方差、标准差.）
三数三差的意义及作用
谢
谢样本的数字特征
【教学目标】
1．能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。
2．通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。
【教学重点】
平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。
【教学难点】
根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。
【教学过程】
一、导入新课
提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成。工作人员由五个领工和十个工人组成。工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈。小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元。你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了。”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小名说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表。”工资表如下：
人
员
小明
小明弟
亲戚
领工
工人
周工资
2400
1000
250
200
100
人
数
1
1
6
5
10
合
计
2400
1000
1500
1000
1000
这到底是怎么了？（学生思考交流）
教师点出课题：样本的数字特征
二、新知探究
1．提出问题
（1）什么叫平均数？有什么意义？
（2）什么叫中位数？有什么意义？
（3）什么叫众数？有什么意义？
（4）什么叫极差？有什么意义？
（5）什么叫方差？有什么意义？
（6）什么叫标准差？有什么意义？
讨论结果：
（1）一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数。数据的平均数为。平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平。
（2）一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数。一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势。
（3）一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势。
（4）一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况。
（5）方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用表示，通常用公式来计算。反映了数据的离散程度。方差越大，数据的离散程度越大。方差越小数据的离散程度越小。
（6）标准差等于方差的正的平方根，即，与方差的作用相同，描述一组数据围绕平均数的波动程度的大小。
2．应用示例
例1
某公司员工的月工资情况如表所示：
月工资/元
8000
5000
4000
2000
1000
800
700
600
500
员工/人
1
2
4
6
12
8
20
5
2
（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数。
（2）公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？
解：（1）经计算可以得出：该公司员工月工资的平均数为1373元，中位数为800元，众数为700元。
（2）公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数；而税务官希望取中位数，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数，因为每月拿700元的员工最多。
点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数往往经常被使用。
变式训练
1.下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：
分数
0
1
2
3
4
5
人数
4
7
10
x
8
y
请参照这个表解答下列问题：
（1）用含x，y的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分；
（2）若该班这次竞赛的平均分为分，求的值。
解：（1）；
（2）依题意，有解得
例2
甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件。为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示
甲
40.0
39.8
40.1
40.2
39.9
40.0
40.2
39.8
40.2
39.8
乙
40.0
40.0
39.9
40.0
39.9
40.1
40.1
40.1
40.0
39.9
分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差。
解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值。
我们分别计算它们直径的标准差：
由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161mm，比乙机床的标准差0.077mm大，说明乙机床生产的零件更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些。
点评：对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的熟练程度。
三、课堂检测
1．下列说法正确的是（D
）
A．甲、乙两班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样。
B．期末考试数学成绩的方差甲班比乙班小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好。
C．期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好。
D．期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好。
2．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
甲的成绩：
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩：
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩：
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差，则有（C）
A．
B．
C．
D．
3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是
-3
四、课堂小结
本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用，让学生体会所学内容与现实世界的密切联系。样本的数字特征
【学习目标】
1．能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养解决问题的能力。
2．通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高运算能力。
【学习重难点】
重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。
难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。
【学习过程】
一、初试身手
1．判断正误。(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化。(
)
(2)一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况。中位数不受极端值的影响。(
)
(3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关。(
)
(4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定。(
)
(5)数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定。(
)
2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95．则这一组数据的众数和中位数分别为(
)
A．84，68
B．84，78
C．84，81
D．78，81
3．某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则该学生这几次数学测试的平均成绩为________。
4．如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________。
二、合作探究
中位数、众数、平均数的计算及应用
[典例]
据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5
500
5
000
3
500
3
000
2
500
2
000
1
500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从5
000元提升到20
000元，董事长的工资从5
500元提升到30
000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法。
[解]
(1)平均数是
＝1
500＋(4
000＋3
500＋2
000×2＋1
500＋1
000×5＋500×3＋0×20)≈1
500＋591＝2
091(元)，
中位数是1
500元，众数是1
500元。
(2)平均数是
′＝1
500＋(28
500＋18
500＋2
000×2＋1
500＋1
000×5＋500×3＋0×20)≈1
500＋1
788＝3
288(元)。
中位数是1
500元，众数是1
500元。
(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。
方差、标准差的计算与应用
[典例]
从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：
甲：7，8，6，9，6，5，9，9，7，4．
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．
(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数；
(2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差；
(3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛。
[解]
(1)对于甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7；
对于乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7．
(2)甲＝＝7，
s＝×[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝2．8，
s甲＝＝≈1．673．
乙＝＝7，
s＝×[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1．2，
s乙＝＝≈1．095．
(3)∵甲＝乙，s甲＞s乙，
∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛。
【学习小结】
1．平均数、中位数、众数
(1)平均数
如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝，
叫作这n个数的平均数。
(2)中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数。
(3)众数
一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个。
2．极差、方差、标准差
(1)极差
一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差。
(2)方差
标准差的平方s2叫作方差。
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]。
其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数。
(3)标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。s＝
。
【精炼反馈】
1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是(
)
A．46，45，56
B．46，45，53
C．47，45，56
D．45，47，53
2．某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在每一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如下，根据条形统计图估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为(
)
A．0.6
h
B．0.9
h
C．1．0
h
D．1．5
h
3．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则(
)
A．＝5，s2＜2
B．＝5，s2＞2
C．＞5，s2＜2
D．＞5，s2＞2
4．小明5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________。
【答案】
1.解析：选A
样本的中位数是(45＋47)÷2＝46，众数是45，极差为68－12＝56．
2.解析：选B
由条形统计图可得，这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为
＝0.9(h)，因此估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9
h。
3.解析：选A
∵(x1＋x2＋…＋x8)＝5，∴(x1＋x2＋…＋x8＋5)＝5，∴＝5．
由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，∴s2＜2，故选A．
4.解析：由题意可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，
设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，|t|＝2，故|x－y|＝2|t|＝4．
答案：4
