古典概型的应用
【第一学时】
【学习目标】
1．理解从不同的角度考虑可以建立不同的概率模型．
2．能够建立概率模型来解决简单的实际问题．
【学习重难点】
正确理解掌握古典概型及其概率公式，古典概型中计算比较复杂的背景问题．
【学习过程】
一、基础知识·梳理
建立不同的古典概型：
一般地，在解决实际问题中的古典概型时，对同一个古典概型，把什么看作一个________(即一次试验的结果)是人为规定的，也就是从不同的______去考虑，只要满足以下两点：
①试验中所有可能出现的基本事件只有______个，每次试验只出现其中的一个结果；
②每个试验结果出现的可能性______．
就可以将问题转化为不同的________来解决，所得可能结果越____，那么问题的解决就变得越______．
【做一做1】从甲、乙、丙三名学生中选出两名班委，其中甲被选中的概率为(
)．
A．
B．
C．
D．1
【做一做2】在两个袋中，分别装有写着0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，求两数之和等于7的概率，对本题给出的以下两种不同的解法，你认为哪种解法正确？为什么？
解法一：因两数之和共有0,1,2,3，…，9,10十一种不同的结果，所以和为7的概率P＝.
解法二：因从每个袋中任取一张卡片，可组成6×6＝36(种)有序卡片对，其中和为7的卡片对为(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)四种，所以P＝＝.
二、合作探究
题型一：概率模型的构建
【例题1】任取一个正整数，求该数的平方的末位数字是1的概率．
反思：同一个古典概型问题由于考虑的角度不同，其解法繁简差别较大，因此，在选取样本空间时，务必抓住欲求事件的本质，而把其他无关的因素抛开，以简化求解过程．
题型二：构建不同的概率模型解决问题
【例题2】袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
（1）A：取出的两球都是白球；
（2）B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
分析：求出基本事件的总数，及A，B包含的基本事件的个数，然后套用公式．
反思：用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，然后求出其中的m、n，再利用公式P（A）＝求出事件A的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证做到不重复、不遗漏．
题型三：易错辨析
【例题3】有1号、2号、3号三个信箱和A，B，C，D四封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A信恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？
错解：每封信投入1号信箱的机会均等，而且所有结果数为4，故A信投入1号或2号信箱的概率为＋＝.
错因分析：应该考虑A信投入各个信箱的概率，而错解考虑成了4封信投入某一信箱的概率．
【精炼反馈】
1．在分别写有1,2，…，9的9张卡片中任意抽取一张，则抽得卡片上的数字能被3整除的概率是(
)．
A．
B．
C．
D．
2．有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克，将牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为(
)．
A．
B．
C．
D．
3．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是(
)．
A．
B．
C．
D．
4．20名高一学生，25名高二学生和30名高三学生在一起座谈，如果任意抽其中一名学生讲话，抽到高一学生的概率是______，抽到高二学生的概率是______，抽到高三学生的概率是______．
5．100个人依次抓阄，决定1件奖品的归属，求最后一个人中奖的概率．
【答案】：
基础知识·梳理
基本事件
角度
①有限
②相同
古典概型
少
简单
【做一做1】C
基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3个，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)共2个，∴P＝.
【做一做2】解：解法一错误，解法二正确，错误的原因在于对试验结果中的基本事件认识不清，本题的基本事件应为由两张卡片上的数字组成的有序数对，而不是所取两张卡片上数字的和，概念的混淆导致了解答的错误．
典型例题·领悟
【例题1】解：因为正整数的个数是无限的，故不属于古典概型．但是一个正整数的平方的末位数字只取决于该正整数的末位数字，正整数的末位数字是0,1,2，…，9中的任意一个数．现任取一正整数，它的末位数字是这十个数字中的任一个是等可能出现的．因此所有的基本事件为：0,1,2，…，9，欲求的事件为1,9，即所求概率P＝＝.
【例题2】解：设4个白球的编号为1．2．3．4,2个红球的编号为5．6．从袋中的6个球中任取两球的取法有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，且每种取法都是等可能发生的．
（1）从袋中的6个球中任取两球，所取的两球全是白球的取法总数，即为从4个白球中任取两球的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．所以P（A）＝＝.
（2）从袋中的6个球中任取两球，其中一个是白球，另一个是红球的取法有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
所以P（B）＝.
【例题3】正解：由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果．投入1号信箱或2号信箱有2种结果，故A信恰好投入1号或2号信箱的概率为.
【精炼反馈】
1．D
2．A
3．A
该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，∴其概率P＝.
4．
任意抽取一名学生是等可能事件，基本事件总数为75，记事件A，B，C分别表示“抽到高一学生”、“抽到高二学生”和“抽到高三学生”，则它们包含的基本事件的个数分别为20,25和30.
∴P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝.
5．解：只考虑最后一个人抓阄的情况，他可能抓到100个阄中的任何一个，而他摸到有奖的阄的结果只有一种，最后一个人中奖的概率为.
【第二学时】
【学习目标】
1．理解互斥事件和对立事件的定义，能根据定义辨别一些事件是否互斥，是否对立．
2．掌握两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式的应用．
【学习重难点】
互斥事件与对立事件。
【学习过程】
一、基础知识·梳理
1．互斥事件
（1）定义：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．
（2）规定：事件A＋B发生是指事件A和B至少有一个发生．
【归纳】
①A，B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生．
②如果事件A与B是互斥事件，那么A与B两事件同时发生的概率为0.
③与集合类比，可用图表示，如图所示．
（3）公式：在一次随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝________.
【归纳】
①事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．
②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于它们概率的和．
③在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．
【做一做1－1】判断下列说法是否正确，并说明原因：
（1）将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与B是互斥事件；
（2）在10件产品中有3件是次品，从中取3件．事件A：“所取3件中最多有两件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与B是互斥事件．
【做一做1－2】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．
2．对立事件
（1）定义：在一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个__________，那么事件A与B称作对立事件，事件A的对立事件记为.
（2）性质：P（A）＋P()＝1，即P（）＝1－________.
【归纳】
①对立事件的特征：一次试验中，不会同时发生，且必有一个事件发生．
②对立事件是特殊的互斥事件，即对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
③从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集．
【做一做2－1】袋中装有除颜色外其他均相同的白球和黑球各3个，从中任取2球，在下列事件中是对立事件的是(
)．
A．恰有1个白球和恰有2个黑球
B．至少有1个白球和全是白球
C．至少有1个白球和至少有1个黑球
D．至少有1个白球和全是黑球
【做一做2－2】事件A与B是对立事件，且P（A）＝0.6，则P（B）等于(
)．
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．1
二、合作探究
题型一：互斥事件与对立事件的判断
【例题1】判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1到10各10张)中，任取一张．
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
（2）要紧扣互斥事件的概念，判断两个事件是否能同时发生是关键．
题型二：概率的有关计算
【例题2】甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成和棋的概率是0.5，求甲获胜的概率．
（2）公式P(A∪B)＝P（A）＋P（B）的使用条件是事件A，B互斥，否则不成立．
题型三：互斥事件、对立事件的综合应用
【例题3】一盒中装有各色球12只，其中5只红球、4只黑球、2只白球、1只绿球．从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
【精炼反馈】
1从一批产品中取出三件，设A表示“三件产品全不是次品”，B表示“三件产品全是次品”，C表示“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是(
)．
A．A与C互斥
B．B与C互斥
C．任两个均互斥
D．任两个均不互斥
2一人射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(
)．
A．两次都不中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．至多有一次中靶
3抛掷一枚均匀的正方体骰子，记A为事件“落地时向上的点数是奇数”，B为事件“落地时向上的点数是偶数”，C为事件“落地时向上的点数是3的倍数”．其中是互斥事件的是______，是对立事件的是______．
4有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3．0.2．0.1．0.4．
（1）求他乘火车或飞机来的概率；
（2）求他不乘轮船来的概率．
【答案】：
基础知识·梳理
1．（3）P（A）＋P（B）
【做一做1－1】解：（1）正确．A和B是互斥事件．因为这两个事件在一次试验中不会同时发生．
（2）不正确．A和B不是互斥事件，因为事件A包括三种情况：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件正品；事件B包含两种情况：2件次品1件正品，3件次品．从而事件A，B可以同时发生，故不互斥．
【做一做1－2】
乙不输的概率为＋＝.
2．（1）发生
（2）P()
【做一做2－1】D
至少有一个白球的反面是没有白球，即全是黑球．
【做一做2－2】A
P（B）＝1－P（A）＝0.4．
典型例题·领悟
【例题1】解：（1）是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，两者不是对立事件．
（2）既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
（3）不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，两者不是互斥事件，也不是对立事件．
【例题2】解：设“甲胜”为事件A，“和棋”为事件B，A，B为互斥事件，则P(A＋B)＝P（A）＋P（B）＝0.
8，
∴P（A）＝0.8－P（B）＝0.8－0.5＝0.3．
∴甲获胜的概率为0.3．
【例题3】解法一：（1）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝＝.
（2）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为＝.
解法二：(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式得
（1）取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
解法三：(利用对立事件求概率)
（1）由方法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4．所以取得红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝＝.
（2）A1＋A2＋A3的对立事件为A4，
所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
【精炼反馈】
1．B
2．A
“至少有一次中靶”即“一次或两次中靶”，所以“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”不可能同时发生且必有一个发生．
3．A与B
A与B
4．解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A，B，C，D，则P（A）＝0.3，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，
P（D）＝0.4，
且事件A，B，C，D之间是互斥的．
（1）他乘火车或飞机来的概率为
P1＝P(A＋D)＝P（A）＋P（D）＝0.3＋0.4＝0.7．
（2）他乘轮船来的概率是P（B）＝0.2，
所以他不乘轮船来的概率为
P()＝1－P（B）＝1－0.2＝0.8．古典概型的应用
【第一课时】
【教学目标】
1．知识与技能：
（1）进一步正确理解古典概型的两大特点，能会从实际问题中识别古典概型模型.
（2）进一步掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=.
2．过程与方法：
能运用古典概型的知识解决一些实际问题，通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；能运用树状图复杂背景的古典概型基本事件个数的计算
3．情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
【教学重难点】
正确理解掌握古典概型及其概率公式，古典概型中计算比较复杂的背景问题．
【教学过程】
一、温故知新
1．古典概型的概念
（1）试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;
（2）每一个结果出现的可能性相同.
2．古典概型的概率公式
3．列表法和树状图
二、合作探究
1．在古典概型中，同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢？
2．同样掷一粒均匀的骰子
（1）若考虑向上的点数是多少,则可能出现1,2,3,4,5,6点，共有6个基本事件.
（2）若考虑向上的点数是奇数还是偶数,则可能出现奇数或偶数，共2个基本事件.
（3）若把骰子的6个面分为3组(如相对两面为一组),分别涂上三种不同的颜色，则可以出现3个基本事件.
从上面的例子,可以看出同样一个试验,从不同角度来看,建立概率不同模型,基本事件可以各不相同.
一般来说,在建立概率模型时把什么看作是基本事件,即试验结果是人为规定的,也就是说,对于同一个随机试验,可以根据需要,建立满足我们要求的概率模型
3．考虑本课开始提到问题:袋里装有2个白球和2个红球,这4个球除了颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率.
用A表示事件“第二个摸到红球”，把2个白球编上序号1，
2；2个红球也编上序号1，2
模型1：4人按顺序依次从中摸出一个球的所有结果，可用树状图直观表示出来总共有24种结果，而第二个摸到红球的结果共有12种.P（A）=12/24=0.5
模型2利用试验结果的对称性,因为是计算“第二个人摸到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人摸球的情况,这个模型的所有可能结果数为12，第二个摸到白球的结果有6种：P（A）=6/12=0.5
模型3只考虑球的颜色，4个人按顺序摸出一个球所有可能结果模型3的所有可能结果数为6，第二个摸到白球的结果有3种：P（A）=3/6=0.5
模型3只考虑第二个人摸出的球情况他可能摸到这4个球中的任何一个，第二个摸到白球的结果有2种P（A）=2/4=0.5
评析：
法（一）利用树状图列出了试验的所有可能结果(共24种),可以计算4个人依次摸球的任何一个事件的概率;
法（二）利用试验结果的对称性,只考虑前两个人摸球的情况,所有可能结果减少为12种
法（三）只考虑球的颜色,对2个白球不加区分,所有可能结果减少6种
法（四）只考虑第二个人摸出的球的情况,所有可能结果变为4种,该模型最简单！
【例】将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？
（3）两数和是3的倍数的概率是多少？
解：（1）将骰子抛掷1次，它出现的点数有这6中结果。
先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，于是一共有种不同的结果；
（2）第1次抛掷，向上的点数为这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数），于是共有种不同的结果．
（3）记“向上点数和为3的倍数”为事件，则事件的结果有种，因为抛两次得到的36中结果是等可能出现的，所以所求的概率为
答：先后抛掷2次，共有36种不同的结果；点数的和是3的倍数的结果有种；点数和是的倍数的概率为；
说明：也可以利用图表来数基本事件的个数：
1．古典概型的解题步骤；
2．复杂背景的古典概型基本事件个数的计算.
【第二课时】
【教学目标】
1．知识与技能：通过实例,理解互斥事件和对立事件的概念,了解互斥事件的概率加法公式,并能简单应用。
2．过程与方法：发现法教学，学生通过在抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，得到互斥事件的概率加法公式。通过正确的理解，准确利用公式求概率。
3．情感态度与价值观：通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；体会数学思维的严密性，发展条理清晰的思考表达能力、提高分析能力、解决问题的能力。
【教学重难点】
互斥事件、概率的加法公式及其应用。
【教学过程】
一、新课引入：
（1）日常生活中，我们总有些事件不同时进行。（互斥事件）
（2）从字面上理解“互斥事件”。
基本概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件。
、互斥，即事件、不可能同时发生。（学生自己举例理解）
二、实例分析
抛掷一枚骰子一次,下面的事件A与事件B是互斥事件吗？
（1）事件A=“点数为2”,事件B=“点数3”
（2）事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4”
（3）事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”
（4）事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”
解：互斥事件:
（1）
（2）
（3）
但（4）不是互斥事件,当点为5时,事件A和事件B同时发生
进一步利用集合意义理解互斥事件；
从集合角度来看，、两个事件互斥，则表示、这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。A与B有相交，则A与B不互斥。
三、抽象总结
事件和的意义:事件、的和记作，表示事件、至少有一个发生。
当、为互斥事件时，事件是由“发生而不发生”以及“发生而不发生”构成的。
概率加法公式：在一个随机实验中,如果随机事件A和B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P（A）+P（B）。
【说明】
（1）互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和，
这就是概率的加法公式，也称互斥事件的概率的加法公式．
（2）特别地，P（A）＋P()＝P(A∪)=1，所以：P()＝1－P（A）。
（3）拓展推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即
P（A1∪A2∪…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
四、巩固练习
1．从一箱产品中随机地抽取一件产品,设A=：“抽到的是一等品”,B=“抽到的是二等品”,C=“抽到的是三等品”.且（A）=0.7,P（B）=0.1,P（C）=0.05.
求下列事件的概率:
（1）事件D=“抽到的是一等品或三等品”
（2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”
【解】
(1)事件D即事件A∪C,
因为事件A=“抽到的是一等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式得：P(D)=P(A∪C)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75.
（2）事件E即事件B∪C，因为事件B=“抽到的是二等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，P（E）=P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15.
2.一个袋中装有4个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取2个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取1个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机取1个球，该球的编号为n，求n【解】(1)从袋子中随机取2个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．
因此所求事件的概率为＝.
(2)先从袋中随机取1个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取1个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
满足条件n≥m＋2的结果为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率P＝，故满足条件n古典概型的应用
第一课时
1.古典概型的概念
2.古典概型的概率公式
3.列表法和树状图
温故知新：
1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;
2)每一个结果出现的可能性相同。
1.单选题是标准化考试中常用的题型.如果考生不会做,他从4个备选答案中随机地选择一个作答,他答对的概率是____.
2.
从集合
{1,2,3,4,5}
的所有子集中任取一个,
这个集合恰是集合
{1,2,3}
的子集的概率是____.
1/32
1/4
问题导入：
3.抛掷两枚均匀的骰子,出现数字之积为偶数与出现数字之积为奇数的概率分别是_____、______.
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
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古典概型的概率公式
在古典概型中，同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢？为什么？
因为，一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个实验的结果）是人为规定的。只要基本事件的个数是有限的每次实验只有一个基本事件出现，且发生是等可能的，是一个古典概型。
不一定。
例如掷一粒均匀的骰子
(2)若考虑向上的点数是奇数还是偶数,则可能出现奇数或偶数，共
2
个基本事件。
(3)若把骰子的6个面分为3组(如相对两面为一组),分别涂上三种不同的颜色，则可以出现
3
个基本事件。
(1)若考虑向上的点数是多少,则可能出现1,2,3,
4,5,6点，共有
6
个基本事件。
一般来说,在建立概率模型时把什么看作是基本事件,即试验结果是人为规定的,也就是说,对于同一个随机试验,可以根据需要,建立满足我们要求的概率模型.
从上面的例子,可以看出，同样一个试验,从不同角度来看,可以建立不同概率的模型,基本事件可以各不相同.
抽象概括：
口袋里装有
2
个白球和
2
个红球,这4个球除了颜色外完全相同,
4
个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率。
用A表示事件“第二个摸到红球”，把2个白球编上序号1，2；2个红球也编上序号1，2.
模型1：
4
人按顺序依次从中摸出一个球的所有结果，可用树状图直观表示出来
实例分析：
1
2
1
2
1
1
1
1
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1
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2
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1
2
1
1
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2
1
1
1
2
2
2
2
总共有
24种结
果，而
第二个
摸到红
球的结
果共有
12种。
P(A)=12/24=0.5
模型2
利用试验结果的对称性,因为是计算“第二个人摸到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人摸球的情况,
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
这个模型的所有可能结果数为12，第二个
摸到白球的结果有6种：
P(A)=6/12=0.5
模型3
只考虑球的颜色，4个人按顺序摸出一个球
所有可能结果
模型3的所有可能结果数为6，第二个摸到白球的结果有3种：
P(A)=3/6=0.5
模型4
只考虑第二个人摸出的球情况
他可能摸到这4个球中的任何一个，第二个摸到白球的结果有2种
P(A)=2/4=0.5
评析:
法(一)
利用树状图列出了试验的所有可能结果(共24种),可以计算4个人依次摸球的任何一个事件的概率;
法(二)
利用试验结果的对称性,只考虑前两个人摸球的情况,所有可能结果减少为12种
法(三)只考虑球的颜色,对2个白球不加区分,所有可能结果减少6种
法(四)只考虑第二个人摸出的球的情况,所有可能结果变为4种,该模型最简单！
练习:建立适当的古典概型解决下列问题:
(1)口袋里装有100个球,其中有1个白球和99个黑球,这些球除颜色外完全相同.100个人依次从中摸出一球,求第81个人摸到白球的概率.
分析:我们可以只考虑第81个人摸球的情况.他可能摸到100个球中的任何一个,这100个球出现的可能性相同,且第81个人摸到白球的可能结果只有1种,因此第81个人摸到白球的概率为1/100.
(2)100个人依次抓阄决定1件奖品的归属,求最后一个人中奖的概率.
分析:只考虑最后一个抓阄的情况,他可能找到100个阄中的任何一个,而他抓到有奖的阄的结果只有一种,因此,最后一个人中奖的概率为1/100.
小结：
一般来说,在建立概率模型时把什么看作是基本事件,即试验结果是人为规定的,也就是说,对于同一个随机试验,可以根据需要,建立满我们要求的概率模型.
第二课时
1.
鱼与熊掌不可兼得；
3.
考试中的单项选择题。
4.
掷骰子，向上的点数分别是1、2、3、4、5、6.
共同点：不能同时发生！
2.
抽奖时，“中奖”和“不中奖”
。
找规律
A、B互斥
A
B
A与B交集为空集
A、B不互斥
A
B
A与B交集不为空集
从集合意义理解
在一个随机试验中，把一次试验下不能同时发生的两个事件称作互斥事件。
(1)
“A发生B不发生”;
(2)
“A不发生B发生”;
（3）“A,B都不发生”。
互斥事件
在一个随机实验中,如果随机事件A和B是互斥事件,那么有
P(A∪B)=P(A)+P(B).
【说明】
（1）互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和，
这就是概率的加法公式，也称互斥事件的概率的加法公式．
P(A1∪A2
∪
?
?
?
∪
An)=P(A1)+P(A2)+
?
?
?
+P(An)
2.一般地,如果随机事件A1、A2、
?
?
?
、An
两两互斥,那么有
1.事件A1、A2、…、An中至少有一个发生
表示事件A1+A2+
…+An发生.
彼此互斥事件
【例1】从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件A=“抽到的是一等品”，事件B=“抽到的是二等品”，事件C=“抽到的是三等品”，且已知P(A)=0.7，P(B)=0.1，P(C)=0.05.
(1)事件D=“抽到的是一等品或三等品”;
（2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”.
求下列事件的概率:
【解】
(1)事件D即事件A∪C,
因为事件A=“抽到的是一等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式得：
P(D)=P(A∪C)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75.
（2）事件E即事件B∪C，因为事件B=“抽到的是二等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，
P（E）=P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15.
某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整,为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查,他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项.调查结果如表所示:
男
女
总计
赞成
18
9
27
反对
12
25
37
不发表看法
20
16
36
总计
50
50
100
随机选取一个被调查者,他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少?
达标检测
【解】用A表示事件“对这次调整表示反对”,B表示
事件“对这次调整不发表看法”,则A和B是互斥
事件,并且A+B就表示事件“对这次调整表示反
对或不发表看法”,由互斥事件的概率加法公式,
因此,随机选取的一个被调查者对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.
谢
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