指数幂的拓展
【学习目标】
掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。
【学习重难点】
（1）正分数指数幂的含义和运算；
（2）有理数指数幂的运算；
（3）根式与分数指数幂的相互转化。
【学习过程】
一、知识引入
在初中，学习了整数指数幂的运算及性质
，
，
。
思考讨论：
（1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位hm2)与年数（年）的关系式为：
。
其中为侵害面积的初始值
如果求10年后侵害的面积，则；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
（2）对于分数指数幂的运算，该如何运算呢？如？。
二、新知探究
1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂。
记作
，这就是正分数指数幂。
例如：，则；，则
。
注意：
①当是正整数时，分数指数幂满足：
②与类似，当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算。
例如：，；
③根据分数指数幂的定义，分数指数幂的条件是：底数
虽然，但不能写成
例1．把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义
。
指数运算的指数已经扩充到有理数了。
那么，指数是无理数的情况呢？以为例说明如下
因为，所以
上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值
借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即
一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数。
同理
这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了。
注意：
①给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0；
②0的任意正实数幂都等于0；
③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义。
例2．计算：
（1）；
（2）；
（3）。
思考讨论（综合练习）
（1）计算下列各式：
①；
②。
（2）用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）。
①
②
【学习小结】
1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂。
记作，这就是正分数指数幂。
2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义
。
【精炼反馈】
1．思考辨析
（1）2表示个2相乘。(
)
（2）a＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)。(
)
（3）＝()n。(
)
[答案]
（1）×
（2）×
（3）×
[答案]指数幂的拓展
【教材分析】
初中学习了整数指数幂的运算，本节将整数指数扩充到有理数指数和实数指数，着重是有理数指数（分数指数）的运算，完成了指数幂运算的扩充，一方面使指数运算知识更加完整，揭示了开方（根式）运算与乘方（指数式）运算的内在联系，另一方面为学习指数的运算性质和指数函数的性质奠定了基础。
【教学目标】
（1）知识目标：掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。
（2）核心素养目标：通过实数指数幂的扩充和相关运算，使学生了解指数运算的发展过程，提高学生数学运算的核心素养。
【教学重难点】
（1）正分数指数幂的含义和运算；
（2）有理数指数幂的运算；
（3）根式与分数指数幂的相互转化。
【教学准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、知识引入
在初中，学习了整数指数幂的运算及性质
，
，
。
思考讨论：
（1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位hm2)与年数（年）的关系式为
。
其中为侵害面积的初始值
如果求10年后侵害的面积，则；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
提示：指数是分数。
（2）对于分数指数幂，该如何运算呢？如？。
提示：，又，可见。
二、新知识
1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂。
记作，这就是正分数指数幂。
例如：，则；，则
注意：
①当是正整数时，分数指数幂满足：
②与类似，当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算。
例如：，；
③根据分数指数幂的定义，分数指数幂的条件是：底数
虽然，但不能写成
例1．把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义
。
至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了。
那么，指数是无理数的情况呢？以为例说明如下
因为，所以
上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值
借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即
一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数。
同理
这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了。
注意：
①给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0；
②0的任意正实数幂都等于0；
③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义。
例2．计算：
（1）；
（2）；
（3）。
解：（1）；
（2）；
（3）
思考讨论（综合练习）
（1）计算下列各式：
①；
②。
（2）用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）。
①
②
提示：（1）
①
②。
（2）①。
②
【教学反思】
（1）负数的分数指数幂，在某些情况下是没有意义的，如，但却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幂的底数统一要求为正数，这也是后面指数函数底数要求为正数的原因。
（2）为了便于指数幂的运算，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算律进行指数幂的运算。(共17张PPT)
指数幂的拓展
初中，学习了整数指数幂的运算及性质
,
,
思考讨论：
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位：hm2)与年数（年）的关系式为
.
其中为侵害面积的初始值
如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
指数是分数.
思考讨论：
(2)对于分数指数幂，该如何运算呢？如？.
提示：，
又，
可见.
1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂.
记作，这就是正分数指数幂.
例如：，则；，则
注意：
①当是正整数时，分数指数幂满足：
②与类似，
当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算.
例如：，；
注意：
③根据分数指数幂的定义，
分数指数幂的条件是：底数.
虽然，
但不能写成.
分数指数幂的底数必须是正数哦！
试一试
例1
把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：
（1）；
（2）；
（3）；（4）.
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4)
2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义
.
至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了.
那么，指数是无理数的情况呢？
以为例说明如下
因为，所以
上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值
借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即
一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数.
同理
这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了.
注意：
①给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0；
②0的任意正实数幂都等于0；
③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义。
试一试
例2.
计算：
（1）；
（2）；
（3）.
解：(1)；
(2)；
(3)
思考讨论（综合练习）：
(1)计算下列各式：
①；
②.
(2)用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）.
①
②
(1)计算下列各式：
①；
②.
提示：(1)
①
.
②
．
(2)用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）.
①
②
提示：
(2)
①
.
②
方法点拨：
（1）负数的分数指数幂，在某些情况下是没有意义的，如，但却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幂的底数统一要求为正数，这也是后面指数函数底数要求为正数的原因。
（2）为了便于指数幂的运算，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算律进行指数幂的运算。
谢
谢
