换底公式
【教学目标】
1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。
2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。
【教学重难点】
1．能推导出对数的换底公式。(重点)
2．会用对数换底公式进行化简与求值。(难点、易混点)
【教学过程】
一、问题引入
换底公式：
logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)。特别地，logab·logba＝1，logba＝
思考：换底公式的作用是什么？
[提示]
换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。
二、新知探究
1．利用换底公式化简求值
【例1】
计算：log1627log8132．
[思路探究]
在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。
[解]
log1627log8132＝·＝·＝·＝。
【教师小结】
（1）换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底。
（2）换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；
loganbm＝logaB．
2．用已知对数表示其他对数
【例2】
已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645．
[解]
法一：因为log189＝a，所以9＝18a，
又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)
＝log2×1818a＋b
＝(a＋b)·log2×1818．
又因为log2×1818＝
＝＝
＝＝，
所以原式＝。
法二：∵18b＝5，
∴log185＝b，
∴log3645＝＝
＝＝
＝
＝。
法三：∵log189＝a，18b＝5，
∴lg
9＝alg
18，lg
5＝blg
18，
∴log3645＝
＝＝
＝。
【教师小结】
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
（1）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
（2）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
（3）注意一些派生公式的使用。
3．对数的实际应用
[探究问题]
（1）光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y。试写出y关于x的函数关系式。
提示：依题意得y＝a＝a，其中x≥1，x∈N。
（2）探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的以下？(根据需要取用数据lg
3≈0.477
1，lg
2≈0.301
0)
提示：依题意得ax≤a×?x≤
?x(2lg
3－1)≤－lg
2?x≥≈6．572，
∴xmin＝7．
即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下。
【例3】
某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1．2%，试解答下面的问题。
(1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；
(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg
1．012≈0.005
2，lg
1．2≈0.079
2)
[思路探究]
先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值。
[解]
(1)由题意y＝100(1＋1．2%)x＝100·1．012x(x∈N＋)。
(2)由100·1．012x＝120，得1．012x＝1．2，
∴x＝log1．0121．2＝≈≈16，
故大约16年以后，该城市人口将达到120万。
【教师小结】
解对数应用题的步骤
三、课堂总结
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简。
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质。
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用。
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N)。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)logab＝＝。(
)
(2)log52＝。(
)
(3)loga
b·logb
c＝loga
C．(
)
[答案]
(1)√
(2)×
(3)√
2．若lg
3＝a，lg
5＝b，则log53等于(
)
A．
B．
C．ab
D．ba
B
[log5
3＝＝。]
3．log332·log227＝________。
15
[log332·log227＝·＝·＝15．]
4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半。(结果保留1个有效数字)
[解]
设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则y与x的关系式为y＝0.84x。依题意得0.84x＝0.5，化为对数式，得log0.840.5＝x，由换底公式知x＝，用科学计算器计算得x≈3．98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。(共28张PPT)
换底公式
自
主
探
新
知
预
习
1
合
作
攻
重
难
探
究
利用换底公式化简求值
用已知对数表示其他对数
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
log
b
类型1
类型2换底公式
【学习目标】
1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。
2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。
【学习重难点】
1．能推导出对数的换底公式。(重点)
2．会用对数换底公式进行化简与求值。(难点、易混点)
【学习过程】
一、预习提问
思考：换底公式的作用是什么？
[提示]
换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。
二、合作探究
利用换底公式化简求值
【例1】
计算：log1627log8132．
[思路探究]
在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。
[解]
log1627log8132＝·＝·＝·＝。
用已知对数表示其他对数
【例2】
已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645．
[解]
法一：因为log189＝a，所以9＝18a，
又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)
＝log2×1818a＋b
＝(a＋b)·log2×1818．
又因为log2×1818＝
＝＝
＝＝，
所以原式＝。
法二：∵18b＝5，
∴log185＝b，
∴log3645＝＝
＝＝
＝
＝。
法三：∵log189＝a，18b＝5，
∴lg
9＝alg
18，lg
5＝blg
18，
∴log3645＝
＝＝
＝。
对数的实际应用
[探究问题]
1．光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y。试写出y关于x的函数关系式。
提示：依题意得y＝a＝a，其中x≥1，x∈N。
2．探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的以下？(根据需要取用数据lg
3≈0.477
1，lg
2≈0.301
0)
提示：依题意得ax≤a×?x≤
?x(2lg
3－1)≤－lg
2?x≥≈6．572，
∴xmin＝7．
即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下。
【例3】
某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1．2%，试解答下面的问题。
(1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；
(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg
1．012≈0.005
2，lg
1．2≈0.079
2)
[思路探究]
先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值。
[解]
(1)由题意y＝100(1＋1．2%)x＝100·1．012x(x∈N＋)。
(2)由100·1．012x＝120，得1．012x＝1．2，
∴x＝log1．0121．2＝≈≈16，
故大约16年以后，该城市人口将达到120万。
【学习小结】
换底公式：logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)。
特别地，logab·logba＝1，logba＝
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)logab＝＝。(
)
(2)log52＝。(
)
(3)loga
b·logb
c＝loga
C．(
)
2．若lg
3＝a，lg
5＝b，则log53等于(
)
A．
B．
C．ab
D．ba
3．log332·log227＝________。
4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半。(结果保留1个有效数字)
【答案】
1．思考变形(1)√
(2)×
(3)√
2．B
[log5
3＝＝。]
3．15
[log332·log227＝·＝·＝15．]
4．[解]
设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则y与x的关系式为y＝0.84x。依题意得0.84x＝0.5，化为对数式，得log0.840.5＝x，由换底公式知x＝，用科学计算器计算得x≈3．98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。
