对数函数的概念
【学习目标】
通过对数函数的概念及反函数概念的学习，培养数学抽象素养。
【学习重难点】
1．理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系。（重点）
2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数。(难点)
【学习过程】
一、初试身手
1．函数y＝log2(x－2)的定义域是________。
2．函数y＝log2(x2＋1)的值域是________。
3．对数函数f(x)的图像经过点，则f(3)＝________。
二、合作探究
对数函数的概念
【例1】
下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝loga(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；
(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；
(5)y＝log6x。
[解]
(1)中真数不是自变量x，不是对数函数。
(2)中对数式后加2，所以不是对数函数。
(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数。
(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数。
(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数。
求函数的反函数
【例2】
求下列函数的反函数。
(1)y＝10x；
(2)y＝x；
(3)y＝logx；
(4)y＝log2x。
[解]
(1)由y＝10x，得x＝lg
y，∴其反函数为y＝lg
x；
(2)由y＝x，得x＝logy，∴其反函数为y＝logx；
(3)由y＝logx，得x＝y，∴其反函数为y＝x；
(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x。
【学习小结】
1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作对数函数的底数。
2．两类特殊的对数函数
常用对数函数：y＝lg
x，其底数为10.
自然对数函数：y＝ln
x，其底数为无理数e。
3．反函数
阅读教材P90从“分析理解”～P91“练习”间的部分，完成下列问题。
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数。
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)函数y＝2log2x是对数函数。(
)
(2)函数y＝3x的反函数是y＝x。(
)
(3)
对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数。(
)
2．函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。
3．函数y＝logx的反函数是________。
【答案】1.
(1)×
(2)×
(3)√
2.
[由2－3x>0，得x<，所以，f(x)的定义域是。]
3.y＝x
[由y＝logx，得x＝y，所以，其反函数为y＝x。](共21张PPT)
对数函数的概念
自
主
探
新
知
预
习
底数
自变量
(0，＋∞)
y＝ax(a＞0，a≠1)
10
e
y＝logax(a＞0，a≠1)
合
作
攻
重
难
探
究
对数函数的概念
求函数的反函数
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
类型1
类型2对数函数的概念
【教学目标】
通过对数函数的概念及反函数概念的学习，培养数学抽象素养。
【教学重难点】
1．理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系。（重点）
2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数。(难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作对数函数的底数。
2．两类特殊的对数函数
常用对数函数：y＝lg
x，其底数为10.
自然对数函数：y＝ln
x，其底数为无理数e。
3．反函数
阅读教材P90从“分析理解”～P91“练习”间的部分，完成下列问题。
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数。
二、新知探究
1．对数函数的概念
【例1】
下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝loga(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；
(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；
(5)y＝log6x。
[解]
(1)中真数不是自变量x，不是对数函数。
(2)中对数式后加2，所以不是对数函数。
(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数。
(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数。
(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数。
【教师小结】
判断一个函数是对数函数的方法
2．求函数的反函数
【例2】
求下列函数的反函数。
(1)y＝10x；
(2)y＝x；
(3)y＝logx；
(4)y＝log2x。
[解]
(1)由y＝10x，得x＝lg
y，∴其反函数为y＝lg
x；
(2)由y＝x，得x＝logy，∴其反函数为y＝logx；
(3)由y＝logx，得x＝y，∴其反函数为y＝x；
(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x。
【教师小结】反函数的求法：
（1）由y＝ax?或y＝logax?，解得x＝logay?或x＝ay?；
（2）将x＝logay?或x＝ay?中的x与y互换位置，得y＝logax?或y＝ax?；
（3）由y＝ax?或y＝logax?的值域，写出y＝logax?或y＝ax?的定义域。
三、课堂总结
1．解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式。
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们定义域与值域相反，图像关于直线y＝x对称。
3．应注意数形结合思想在解题中的应用。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)函数y＝2log2x是对数函数。(
)
(2)函数y＝3x的反函数是y＝x。(
)
(3)
对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数。(
)
[答案]
(1)×
(2)×
(3)√
2．函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。
[由2－3x>0，得x<，所以，f(x)的定义域是。]
3．函数y＝logx的反函数是________。
y＝x
[由y＝logx，得x＝y，所以，其反函数为y＝x。]
