对数函数的图象和性质
指导思想与理论依据
高中数学课程标准要求教师帮助学生掌握数学的基础知识和基本技能，以及它们所体现的数学思想方法。为未来的进一步学习打好基础。
教师应帮助学生理解和掌握基础知识基本技能，发展能力。对一些核心概念和基本思想要贯穿教学的始终，帮助学生逐步加深理解，在初步运用中逐步理解概念的本质。同时应注重联系，提高学生对数学整体的认识。
教学目标
知识与技能：通过研究对数函数的性质，掌握对数函数的性质，理解反函数的核心概念，能用对数函数的性质解决应用问题。
过程与方法：通过对数函数的研究进一步掌握研究函数的一般方法，理解“换轴”的方法，通过对对数函数与指数函数的关系的研究，感受类比的研究方法。
情感态度与价值观：在问题的研究过程中，感受问题的提出，分析，解决。培养数学运算，逻辑推理，直观想象的数学核心素养。
教学重难点
教学重点：
1．掌握对数函数的性质。
2．体会对数运算对数函数，与指数运算指数函数的关系。
教学难点：理解x，y轴交换的过程，与函数图象的图形变换关系。
教学过程
教学阶段
教师活动
学生活动
设置意图
时间安排
引入课题
我们知道对数概念与对数运算都是建立在指数概念指数运算的基础上的，上节课的学习又使我们认识到对数函数与指数函数的概念也有着密不可分的联系，那么今天我们在前述课程的基础上研究对数函数的图象和性质。
我们的研究需要一个具体的研究对象，选取谁来当研究对象比较好呢？
学生讨论选取适合的研究对象，得出选取适合我们的研究，因为它最简洁，也比较具有代表性。
综述前述课程，引领学生缕清对数函数与指数函数之间的联系。为后面紧密联系指数函数的图象和性质研究对数函数作铺垫。
3分钟
发现问题
提出问题
对函数的性质，
大家有什么样的问题？
提出问题一：
怎样研究对数函数
的性质？
选定有代表性的研究对象，确定研究方法。
2分钟
分析问题解决问题
通常，当我们要研究一个函数的性质时，怎样研究？
答：运用列表描点连线的方法画出函数图象进行研究，也可以考察函数解析式或者所列表格中的数据进行研究。
复习函数的研究方法，引导学生列表描点作图
5分钟
再次发现问题
方法一：指导学生列表
提问：表格中的自变量怎样取值，既科学又方便？
学生经过思考回答：选取
x1248y-2-10123
因为对数运算是定义在指数运算上的，所以取值时可以适当变形为。这样取值很方便的计算出相应的数值。
培养分析问题解决问题的能力，同时进一步加深对数运算与指数运算的联系的认识。
5分钟
分析问题解决问题
根据列表数据画出函数图象
建立平面直角坐标系，画出函数图象，分析对数函数的性质。
培养学生分析问题的能力
5分钟
分析问题解决问题的能力
方法二：既然对数运算与指数运算有诸多联系，而指对函数又是以指对运算为基础的，那么能否借用指数函数的图象研究对数函数的性质呢？引导学生思考如何把指数函转化为。
思考问题的可行性，想办法建立指数函数与对数函数的联系。
用如下步骤进行联系：
y
指数
x
y
x
x
换个写法
x
y
尊重习惯写成自变量为x，函数值为y的形式
y
x
尊重习惯写成x轴为横轴，y轴为纵轴。此时两个图象的关系是关于y=x
轴对称。
指对函数概念是建立在指对运算基础上的，通过指数运算列表描点的过程给了我们启发，通过指数函数图象辅助画出对数函数图象，研究函数性质。其中，理解关于y=x直线对称是本节课的难点，需要花时间让学生体会。
5分钟
总结提升
引导学生总结指数概念与对数概念，指数运算与对数运算，指数函数与对数函数之间的联系。
培养分析问题的能力发展类比的思想。
5分钟
应用练习
例题1：比较下列各题中两个数的大小：
1，2，，。
例题2：求使不等式成立的实数x的集合。
例题3：已知求x的值。
应用对数函数的性质解决问题，进一步体会对数函数的性质。
培养分析问题、解决问题的能力。
发散联想
引导学生总结指数概念与对数概念、指数运算与对数运算、指数函数与对数函数之间的联系。
应用课上讨论总结的对数函数的性质结论解决比大小的问题方法；应用课上研讨的方法研究函数的性质。
培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养科学的思考方式。
10分钟
板书设计
对数函数的图象和性质
问题：研究函数的图象和性质。
方法2：由指数函数的图象得到对数函数
其中，??∈(0，+∞)
图象
表示法：列表法，解析式法，图象法
方法1：列表
x1248y-2-10123
取值依据：
易算
y=0
，x=1
y
=1
，x=2
……
总结：对数函数的性质有??∈(0，+∞)
，??∈??
位于y轴右边
在定义域内单调递增
比较下列各题中两个数的大小：
1．，2、，。
例题2：求使不等式成立的实数x的集合。
例题3：已知，求x的值。(共22张PPT)
对数函数的图象和性质
自
主
探
新
知
预
习
(0，＋∞)
(1,0)
y＝0
y＜0
y＞0
增
合
作
攻
重
难
探
究
函数y＝log2x的图像与性质
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
新知初探
y=log
a
【例】根据函数x)=logx的图像和性质求解以下问题:
(1)若fx-1)>八(1),求x的取值范围;
(2)求y=1og2(2x-1)在x∈
42
上的最值对数函数y＝log2x的图象和性质
【学习目标】
通过对数函数y＝log2x的图象研究函数的性质，培养直观想象素养。
【学习重难点】
会画具体对数函数的图象。
【学习过程】
一、预习提问
思考：
(1)指数函数y＝2x与对数函数x＝log2y的图象有什么关系？
(2)指数函数y＝2x的图象与对数函数y＝log2x的图象有什么关系？
[提示](1)重合。
(2)关于直线y＝x对称。
二、合作探究
4．函数y＝log2x的图象和性质
完成下列问题。
图象特征
函数性质
过点(1，0)
当x＝1时，y＝0
在y轴的右侧
定义域是(0，＋∞)
向上、向下无限延伸
值域是R
在直线x＝1右侧，图象位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图象位于x轴下方
若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0
函数图象从左到右是上升的
在(0，＋∞)上是增函数
1．函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可以是(
)
A．
B．2
C．e
D．10
2．函数y＝log2(x－2)的定义域是________。
3．函数y＝log2(x2＋1)的值域是________。
4．对数函数f(x)的图象经过点，则f(3)＝________。
【答案】
1．A
[y＝logax的图象是下降的，故a可以是。故选A．]
2．(2，＋∞)
[由x－2>0，得x>2，所以其定义域是(2，＋∞)。]
3．[0，＋∞)
[由x2＋1≥1，得y≥0，所以，其值域是[0，＋∞)。]
4．－1
[设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
因为对数函数f(x)的图象经过点，
所以f＝loga＝2．所以a2＝。
所以a＝＝＝。
所以f(x)＝logx。所以f(3)＝log3＝log＝－1．]
对数函数的概念
【例1】
下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝loga(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；
(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；
(5)y＝log6x。
【答案】
(1)中真数不是自变量x，不是对数函数。
(2)中对数式后加2，所以不是对数函数。
(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数。
(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数。
(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数。
1．若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________。
【答案】1
[由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1．
又底数a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1．]
求函数的反函数
【例2】
求下列函数的反函数。
(1)y＝10x；
(2)y＝x；
(3)y＝logx；
(4)y＝log2x。
【答案】
(1)由y＝10x，得x＝lg
y，∴其反函数为y＝lg
x；
(2)由y＝x，得x＝logy，∴其反函数为y＝logx；
(3)由y＝logx，得x＝y，∴其反函数为y＝x；
(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x。
2．(1)已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝log3x的图象关于直线y＝x对称，则g(2)的值为(
)
A．9
B．
C．
D．log32
(2)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝(
)
A．log2x
B．logx
C．2－x
D．x2
【答案】(1)A
(2)B
[(1)y＝g(x)与y＝log3x互为反函数，
故g(x)＝3x，
故g(2)＝32＝9．
(2)由题意知(a，)在y＝ax上，可得aa＝＝a，即a＝。
因为y＝x的反函数为y＝logx，
所以f(x)＝logx。]
函数y＝log2x的图象与性质
[探究问题]
1．求函数y＝log2|x|的定义域，并画出它的图象。
2．画出函数y＝|log2x|的图象，并写出它的单调区间。
【例3】
根据函数f(x)＝log2x的图象和性质求解以下问题：
(1)若f(x－1)>f(1)，求x的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在
x∈上的最值。
1．提示：函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}。
函数解析式可化为
y＝其图象如图所示。
(其特征是关于y轴对称)。
2．提示：y＝|log2x|＝其图象如图所示，
增区间为[1，＋∞)，减区间为(0，1)。
例3
[思路探究]
可依据y＝log2x的图象，借助函数的单调性解不等式，求最值。
[解]
作出函数y＝log2x的图象如图。
(1)由图象知y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数。
因为f(x－1)>f(1)，
所以x－1>1，
解得x>2，所以x的取值范围是(2，＋∞)。
(2)∵≤x≤，∴≤2x－1≤4，
∴log2≤log2(2x－1)≤log24，
所以－1≤log2(2x－1)≤2，
故函数y＝log2(2x－1)在x∈上的最小值为－1，最大值为2．
【母体探究】
1．(变结论)将例题中的条件不变，试比较log2与log2的大小。
2．(变结论)将例题中的条件不变，解不等式log2(2－x)>0.
【答案】
1．
[解]
函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，
又∵>，∴log2>log2。
2．[解]
log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21，
∵函数y＝log2x为增函数，
∴2－x>1，∴x<1．
∴x的取值范围是(－∞，1)。
【规律方法】
函数f（x）＝log2x是最基本的对数函数，它在（0，＋∞）上是单调递增的，利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小。
【课堂小结】
1．解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式。
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们定义域与值域相反，图象关于直线y＝x对称。
3．应注意数形结合思想在解题中的应用。
1．思考辨析
(1)函数y＝2log2x是对数函数。(
)
(2)函数y＝3x的反函数是y＝x。(
)
(3)
对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数。(
)
2．函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。
3．函数y＝logx的反函数是________。
4．求函数y＝log2(3＋2x－x2)的定义域和值域。
【答案】1．
(1)×
(2)×
(3)√
2．
[由2－3x>0，得x<，所以，f(x)的定义域是。]
3．y＝x
[由y＝logx，得x＝y，所以，其反函数为y＝x。]
4．[解]
由3＋2x－x2>0，得x2－2x－3<0，∴－1u＝3＋2x－x2＝4－(x－1)2≤4，又y＝log2u是增函数。
∴y≤log24＝2，∴其值域为(－∞，2]。
