指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【教学目标】
1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。
2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。
【教学重难点】
1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。(重点)
2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。(难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
(1)三种函数的增长趋势
当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。
当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快。
思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？
[提示]
指数函数
(2)三种函数的增长对比
对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有ax>xn>logax。
思考2：在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax
[提示]
不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax二、新知探究
1．指数、对数、幂函数增长趋势的比较
【例1】
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示。设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2
016)，g(2
016)的大小。
[解]
(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x。
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1
000，f(10)＝1
024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)。
∴1016．
从图像上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数。
∴f(2
016)>g(2
016)>g(8)>f(8)。
【教师小结】
（一）指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
递增
递增
递增
增长的速度
先慢后快
先快后慢
随着n值的不同而不同
图象的变化
随x的增大越来越陡
随x的增大逐渐变缓
随着n值的不同而不同
（二）指数、幂、对数比较大小
(1)常用方法
单调性法、图象法，中间搭桥法、作差(商)法。
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小。
2．建立函数模型解决实际问题
【例2】
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
[思路探究]
首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题。
[解]
设第x天所得回报是y元。
由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；
方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)。
作出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天所得回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三。
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表。
∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三。
【教师小结】
解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系。
三、课堂总结
三种函数模型的表达式及其增长特点的总结
(1)指数函数模型：表达式为f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0)，当b>1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0(2)对数函数模型：表达式为f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0)，当a>1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0(3)幂函数模型：表达式为f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1，α>0)，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)y＝x10比y＝1．1x的增长速度更快些。(
)
(2)对于任意的x>0，都有2x>log2x。(
)
(3)对于任意的x，都有2x>x2．(
)
[答案]
(1)×
(2)√
(3)×
2．三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
633
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5
6．1
6．61
6．95
7．20
7．40
其中关于x呈对数型函数变化的变量是______________，
呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________。
y3
y2
y1
[由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y3随x的增加增加越来越慢，属于对数函数变化。]
3．某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f(x)＝x2＋px＋q。
能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________。
③，x2－8x＋17
[①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为③，由f(1)＝10，f(3)＝2，得
，
解得p＝－8，q＝17，
所以，f(x)＝x2－8x＋17．]
4．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系。统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)。又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型。
(1)当b＝时，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值。
[解]
(1)b＝时
，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2＝142＋，
∴a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型。
(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝。指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【学习目标】
1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。
2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。
【学习重难点】
1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。(重点)
2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。(难点)
【学习过程】
一、初试身手
1．下列函数中，增长速度最快的是(
)
A．y＝2x
B．y＝3x
C．y＝5x
D．y＝10x
2．若x∈(1，2)，则下列结论正确的是(
)
A．2x>x>lg
x
B．2x>lg
x>x
C．x>2x>lg
x
D．x>lg
x>2x
3．如图所示曲线反映的是________函数模型的增长趋势。
4．当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________。
【答案】
1．D
[四个选项中的函数都是指数函数，且底数均大于1，D项中底数10最大，则函数y＝10x的增长速度最快。]
2．A
3．对数
4．[答案]
a>c>b
二、合作探究
指数、对数、幂函数增长趋势的比较
【例1】
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示。设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2
016)，g(2
016)的大小。
[解]
(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x。
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1
000，f(10)＝1
024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)。
∴1016．
从图像上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数。
∴f(2
016)>g(2
016)>g(8)>f(8)。
建立函数模型解决实际问题
【例2】
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
[思路探究]
首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题。
[解]
设第x天所得回报是y元。
由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；
方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)。
作出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天所得回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三。
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表。
∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三。
【学习小结】
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较：
(1)三种函数的增长趋势
当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。
当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快。
(2)三种函数的增长对比
对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有ax>xn>logax。
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)y＝x10比y＝1．1x的增长速度更快些。(
)
(2)对于任意的x>0，都有2x>log2x。(
)
(3)对于任意的x，都有2x>x2．(
)
2．三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
633
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5
6.1
6.61
6.95
7.20
7.40
其中关于x呈对数型函数变化的变量是______________，
呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________。
3．某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f(x)＝x2＋px＋q。
能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________。
4．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系。统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)。又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型。
(1)当b＝时，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值。
【答案】
1．(1)×
(2)√
(3)×
2．y3
y2
y1
[由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y3随x的增加增加越来越慢，属于对数函数变化。]
3．③，x2－8x＋17
[①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为③，由f(1)＝10，f(3)＝2，得
，
解得p＝－8，q＝17，
所以，f(x)＝x2－8x＋17．]
4．[解]
(1)b＝时
，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2＝142＋，
∴a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型。
(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝。(共24张PPT)
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
一、创设情境，提出问题
幂函数、指数函数、对数函数
——“赛跑”
【分析探究】
首先，明确规则：
一看：同一时刻谁跑在前面；
二看：到最后谁跑在前面.
三类函数商量对策，先做组内选拔，再组间PK.
赛跑怎么看输赢？
一是直观看，观众和裁判一目了然；对函数来讲，就是从“形”——图象的角度；
二是从“数”，难分伯仲时，计时或录像慢放，微观定胜负.
因此函数之间的PK，我们同样从数、形两个角度看.
【组内选拔赛】
几何画板探究
方法1：从“数”的角度看
【组间淘汰赛】
第一局：幂函数与对数函数的增长情况的比较：
1.幂函数与对数函数的增长情况的比较：
几何画板探究
几何画板探究
2.指数函数与幂函数的增长情况的比较
方法1：形少数时难入微，从“数”的角度
——两函数对应值表看
几何画板探究
【感悟】只有眼光既远又广的人，才能在人生的道路上扬眉吐气.
几何画板探究
事实上，指数函数的实力“强悍”：即便让幂函数、对数函数“先跑一段”，再去追，也最终能“反超”.
留给同学们下课后验证.
几何画板探究
三、反思交流，形成结论
四、联系实际——感悟数学应用
1.幂指对增长快慢的生活应用
指数增长快：兔子的繁殖、病毒的传播、
“利滚利、一还三”等
四、联系实际——感悟数学应用
1.幂指对增长快慢的生活应用
指数爆炸与对数缓慢增长：
①一个城市的电话号码的位数，大致是城市人口以10为底的对数，上百万人口的城市，要发展到上千万，才需要把电话号码增加一位就够用了；既说明了对数增长的缓慢，反过来也说明了指数爆炸的威力；
②在互联网上，每天的数据以指数爆炸剧增，而我们搜索资料或查找数据，能迅速地从海量数据中找到有关的网页和文件，也是因为，数据经过合理组织，搜索工作量是数据量的对数函数.
四、联系实际——感悟数学应用
1.幂指对增长快慢的生活应用
但要注意，这里讨论的是自变量足够大的情形，实际问题要具体分析.
光线在晨雾中按指数函数快速衰减，所以“晨雾茫茫碍交通”.
铀核裂变时放出的中子数和能量都按指数函数快速增长，引起核爆炸.
由化石的放射性碳含量与化石年龄之间的对数函数关系可以推算出化石的年龄.
将海量数据经过合理编排，可以使搜索资料所需工作量是数据量的对数函数，当数据大量增长时工作量增长很少，因此能做到“文海索句快如风”.
晨雾茫茫碍交通，
蘑菇核云蔽长空.
化石岁月巧推算，
文海索句快如风.
——李尚志
2.指数爆炸中的生活哲理
三天打鱼，两天晒网
积跬步以致千里，
积怠惰以致深渊
只比你努力一点的人，
其实已经甩你很远
2.指数爆炸中的生活哲理
多一份努力，
得千份收成
只多了一点怠惰，
亏空了千份成就
五、自主反思
通过本节课的学习，你
1.
学到哪些知识和方法？
2.
体会到哪些数学思想？
3.
有哪些数学学习的体验？
五、自主反思
?
五、自主反思
在知识的探究过程中，用到了类比、联想、分析、综合等数学方法，体会到从特殊到一般、从具体到抽象及数形结合、等价转化等数学思想，感受到数学在生活中应用的广泛性，这些都体现出数学的价值（科学价值、应用价值、文化价值和审美价值）.
六、发散探究
基础级：
1.仿照本节课的研究方法，比较对数函数、一元一次函数、指数函数的增长.
六、发散探究
基础级：
六、发散探究
提高级：
谢
谢