(共43张PPT)
利用函数性质判定方程解的存在性
自
主
探
新
知
预
习
横坐标
一个
连续
相反
f(a)·f(b)
合
作
攻
重
难
探
究
求函数的零点
判断零点所在的区间
函数零点个数的判定
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
函数y=fx)有零点
函数y=(x)的图像
方程有实数根
与有交点
类型1
类型2
类型3利用函数性质判定方程解的存在性
【教学目标】
1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。
2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。
【教学重难点】
1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。(易混点)
2．掌握函数零点存在的判定方法。(重点)
3．能结合图像求解零点问题。(难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
1．函数的零点：
①定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。
2．函数零点的判定定理：
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解。
思考：(1)函数的零点是点吗？
(2)若f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？
[提示]
(1)不是点，是数。
(2)不一定，如y＝x2－1，在区间(－2，2)上有两个零点。
二、新知探究
1．求函数的零点
【例1】
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；
(4)f(x)＝1－log3x。
[解]
(1)令＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝的零点是－3．
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点。
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，
所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23．
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3．
【教师小结】
函数零点的求法，求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令y＝f(x)＝0，根据解方程y＝f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝y＝f(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点。
2．判断零点所在的区间
【例2】
(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
15
10
－7
6
－4
－5
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(
)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
(2)函数f(x)＝ln
x－的零点所在的大致区间是(
)
A．(1，2)
B．(2，3)
C．和(3，4)
D．(e，＋∞)
(1)B
(2)B
[(1)由已知数表可知f(2)·f(3)＝10×(－7)＜0，
f(3)·f(4)＝(－7)×6＜0，f(4)×f(5)＝6×(－4)<0，
故函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别存在零点，故至少有3个零点。
(2)∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln
2－1＜0，
∴在(1，2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln
3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0，
∴f(x)在(2，3)内有零点。]
【母题探究】
1．(变条件)已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在区间是(
)
A．(3，4)
B．(2，3)
C．(1，2)
D．(0，1)
C
[因为f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，
所以f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点，
又f(x)仅有一个正零点，故选C．]
2．(变结论)探究1中，函数y＝f(x)有负零点吗？
[解]
当x≤－1时，f(x)＝x3－x－1＝x(x2－1)－1<－1，当－1因此，f(x)没有负零点。
【教师小结】
（1）确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反。
（2）若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的其他性质，如单调性。
3．函数零点个数的判定
【例3】
(1)函数f(x)＝的零点个数为(
)
A．3
B．2
C．1
D．0
(2)函数f(x)＝ln
x＋x2－3的零点的个数是________。
(1)B
(2)1
[(1)当x≤0时，令x2＋2x＋3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln
x＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点，故选B．
(2)因为f(1)＝－2，f(2)＝ln
2＋1>0；
所以f(1)·f(2)<0.
又f(x)＝ln
x＋x2－3的图像在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点。
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，
所以零点只有1个。]
【教师小结】
判断函数零点个数的三种方法
?（1）方程法：若方程y＝f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数。
?（2）图像法：由y＝f(x)＝y＝g(x)-h(x)＝0，得g(x)=h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数。
?（3）定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y＝y＝f(x)在区间?a，b?内至少有一个零点。若函数y＝f(x)在区间?a，b?上是单调函数，则函数y＝f(x)在区间?a，b?内只有一个零点。
三、课堂总结
1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数图像在区间[a，b]上是连续的；(2)定理不可逆；(3)在区间(a，b)内，函数至少存在一个零点。
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标。
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)零点即函数y＝f(x)的图像与x轴的交点。(
)
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)有两个零点。(
)
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(
)
[答案]
(1)×
(2)√
(3)×
2．y＝x＋1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是(
)
A．－1，(－1，0)
B．(－1，0)，0
C．(－1，0)，－1
D．－1，－1
C
[由y＝x＋1＝0，得x＝－1，
故交点坐标为(－1，0)，零点是－1．]
3．若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)或(1，4)或(1，5)内，则
①函数f(x)的零点在(1，2)或(2，3)内；
②函数f(x)在(3，5)内无零点；
③函数f(x)在(2，5)内有零点；
④函数f(x)在(2，4)内不一定有零点；
⑤函数f(x)的零点必在(1，5)内。
以上说法错误的是________(将序号填在横线上)。
①②③
[由于三个区间是包含关系，而(1，5)范围最大，零点位置可能在区间(1，5)的任何一个子区间内，①②③错误。]
4．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。
(1)y＝；(2)y＝x2－2x＋4；(3)y＝1－log5x。
[解]
(1)令y＝0，得＝0，无解。故函数不存在零点。
(2)令y＝0，得x2－2x＋4＝0，Δ＝4－4×4＝－12<0.故函数不存在零点。
(3)令y＝0，得1－log5x＝0，log5x＝1，解得x＝5．故函数的零点为5．利用函数性质判定方程解的存在性
【学习目标】
1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。
2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。
【学习重难点】
1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。(易混点)
2．掌握函数零点存在的判定方法。(重点)
3．能结合图像求解零点问题。(难点)
【学习过程】
一、预习提问
思考：(1)函数的零点是点吗？
(2)若f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？
[提示]
(1)不是点，是数。
(2)不一定，如y＝x2－1，在区间(－2，2)上有两个零点。
二、合作探究
求函数的零点
【例1】
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；
(4)f(x)＝1－log3x。
【答案】
(1)令＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝的零点是－3．
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点。
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，
所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23．
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3．
判断零点所在的区间
【例2】
(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
15
10
－7
6
－4
－5
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(
)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
(2)函数f(x)＝ln
x－的零点所在的大致区间是(
)
A．(1，2)
B．(2，3)
C．和(3，4)
D．(e，＋∞)
【答案】
(1)B
(2)B
[(1)由已知数表可知f(2)·f(3)＝10×(－7)＜0，
f(3)·f(4)＝(－7)×6＜0，f(4)×f(5)＝6×(－4)<0，
故函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别存在零点，故至少有3个零点。
(2)∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln
2－1＜0，
∴在(1，2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln
3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0，
∴f(x)在(2，3)内有零点。]
【母题探究】
1．(变条件)已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在区间是(
)
A．(3，4)
B．(2，3)
C．(1，2)
D．(0，1)
2．(变结论)探究1中，函数y＝f(x)有负零点吗？
【答案】1．C
[因为f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，
所以f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点，
又f(x)仅有一个正零点，故选C．]
2．[解]
当x≤－1时，f(x)＝x3－x－1＝x(x2－1)－1<－1，当－1因此，f(x)没有负零点。
函数零点个数的判定
【例3】
(1)函数f(x)＝的零点个数为(
)
A．3
B．2
C．1
D．0
(2)函数f(x)＝ln
x＋x2－3的零点的个数是________。
【答案】(1)B
(2)1
[(1)当x≤0时，令x2＋2x＋3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln
x＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点，故选B．
(2)因为f(1)＝－2，f(2)＝ln
2＋1>0；
所以f(1)·f(2)<0.
又f(x)＝ln
x＋x2－3的图像在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点。
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，
所以零点只有1个。]
【学习小结】
(1)函数的零点：
①定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。
(2)函数零点的判定定理：
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解。
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)零点即函数y＝f(x)的图像与x轴的交点。(
)
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)有两个零点。(
)
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(
)
2．y＝x＋1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是(
)
A．－1，(－1，0)
B．(－1，0)，0
C．(－1，0)，－1
D．－1，－1
3．若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)或(1，4)或(1，5)内，则
①函数f(x)的零点在(1，2)或(2，3)内；
②函数f(x)在(3，5)内无零点；
③函数f(x)在(2，5)内有零点；
④函数f(x)在(2，4)内不一定有零点；
⑤函数f(x)的零点必在(1，5)内。
以上说法错误的是________(将序号填在横线上)。
4．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。
(1)y＝；(2)y＝x2－2x＋4；(3)y＝1－log5x。
【答案】
1．(1)×
(2)√
(3)×
2．C
[由y＝x＋1＝0，得x＝－1，
故交点坐标为(－1，0)，零点是－1．]
3．①②③
[由于三个区间是包含关系，而(1，5)范围最大，零点位置可能在区间(1，5)的任何一个子区间内，①②③错误。]
4．[解]
(1)令y＝0，得＝0，无解。故函数不存在零点。
(2)令y＝0，得x2－2x＋4＝0，Δ＝4－4×4＝－12<0.故函数不存在零点。
(3)令y＝0，得1－log5x＝0，log5x＝1，解得x＝5．故函数的零点为5．
