【备考2021】高考一轮 立体几何（外接球的应用）学案

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外接球的应用学案
一．学习目标
外接球问题一直是高考的热点问题，在近几年的高考中频频出现，并且难度相对比较大，本节课的目标是通过对几何体外接球的球心的明确，分析得到外接球的相关问题的解决思路。
二．外接球球心的基本结论
在空间几何图形中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。
通过外接球的球心的基本概念，可以得到确定几种特殊的简单多面体外接球的球心的相关结论。
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的交点（体对角线的交点到长方体或正方体的八个顶点的距离相等）；
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点；
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点（只有直棱柱才有外接球，斜棱柱无外接球）；
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到
（是棱锥的高，是底面外接圆的半径）；
代入相应数据，可知正三棱锥外接球（是棱锥侧棱长，是底面边长）
结论5：若三棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心（考虑初中几何的概念点：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等）。
结论6：外接球的球心与多面体某个面的外心的连线垂直于这个面。这个结论是应用勾股定理的思路求解外接球的球心位置以及半径的长度的情况。
例1：在矩形中，，，沿着对角线将矩形折成直二面角，求四面体的外接球的半径。
例2：已知四面体，，且，，，，求四面体的外接球的半径。
例3：正四棱锥的底面边长与各棱长均为，点在同一个球面上，则此球的体积为
。
三．构造思路
通过“长方体（立方体）的体对角线与其外接球的直径相等”的基本结论，对于常见的可以构造成长方体（立方体）的形式，可以转化为长方体（立方体）。所以需要熟悉了解可以构造出长方体（立方体）的几种情形。
题型1：同一个顶点出发的三条棱两两垂直的四面体，求外接球问题，可以构造长方体
例4：已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，，，则此三棱锥的外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
题型2：相对的棱长相等的三棱锥，求外接球问题，可以构造长方体
例5：一个四面体的所有棱长均为，四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为？
题型3：棱锥中含有线面垂直关系，求外接球问题，可以构造直棱柱（长方体）。
例6：在三棱锥中，，，，，则此三棱锥的外接球的半径为
。
题型4：三棱锥的三个侧面两两垂直，求外接球问题，可以构造直棱柱（长方体）。
注：依照立体几何的基本结论，三个侧面两两垂直，便可以得到任意两个平面的交线（两两垂直）；
题型5：正四面体、四个面都是是直角三角形的三棱锥都可构造正方体（长方体）。
把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和
长方体的外接球重合，长方体的外接球的半径，就是几何体的外接球半径。
四．存在线面垂直或面面垂直的立体外接球半径的求解
当一个立体图形存在线面垂直或者面面垂直的条件时候，它的外接球的半径如何计算呢？本课题通过演示具体的半径推导过程得到具体的计算公式。
已知三棱锥，，外接球的球心为O。过作；；显然、分别是、的外心，且是矩形
整理可得，（其中，、分别表示两个垂直面三角形的外接圆半径，即推导式中的、；表示两垂直面的交线）
所以出现直棱柱或出现线面垂直或面面垂直的条件，均可以利用相应的公式思路进行求解；在利用公式的关键在于求解两个垂直面三角形的外接圆的半径（可以联系正弦定理工具予以解决），同时注意两个垂直平面交线的一半的平方，代入公式进行求解即可。
另外，需要注意的是，直棱柱的外接球与对应棱锥外接球是等价的；也就是说，直棱柱的外接球与三棱锥的外接球是等价的。
如下面的例题。
例7：在三棱锥中，，，，，则此三棱锥的外接球的半径为
。
五．外接球半径的最值解决思路
例8：【2015高考新课标2理9】已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为(
)
A．
B.
C.
D.
例9：点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的
最大值为，则这个球的表面积为（
）
A．
B.
C.
D.
六．变式演练与提高
1.在正三棱锥中，分别是的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是(　　)
A．
B．
C．
D．
2.在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱
的外接球的表面积
.
3.已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足
，，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（
）
A．
B.
C.
D.
七．课后作业
1.已知四面体中，，，，，则四面体外接球的表面积为
。
2：三棱锥中，互相垂直，，是线段上一动点，若直线
与所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）
A．
B.
C.
D.
八．参考答案
（1）外接球球心的基本结论
例1：解析：
考虑到外接球的概念，球心到四个顶点的距离相等；同时根据矩形的几何性质，对角线的交点距离四个顶点的距离相等；因此对角线的交点便是外接球的球心；
同时对于折叠后的二面角的基本情况是无关的，也就是说，无论折叠的二面角的角度是什么样子的、什么角度，得到的立体图形的外接球的半径都是一样的。
例2：解析：
通过题目中透出的长度，分析得到；可知与是直角三角形，并且斜边均是；该三棱锥的外接球的球心便是公共斜边的中点，半径是斜边的一半；。
例3：解析：
设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图所示。
由球的基本性质，可得；
又因为，因此，球心必在所在的直线上；
考虑形成的两个直角三角形与中，以及，易得；，
故而，解得，所以外接球的半径为1，其体积
另解：通过判断球心在所在的直线上；的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，其外接圆的半径就是外接球的半径.?
同时易判断是以为斜边的直角三角形；
所以其外接圆的半径（斜边的一半），也就是外接球的半径；其体积
总结：对于正棱锥外接球的半径的求解思路，可以通过寻找外接球的轴截面圆，从而将立体几何的问题转化为平面几何，这种降维思路在处理立体几何的过程中是非常常见重要的；像是本题来说的，寻找外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径。
（2）构造思路
例4：【答案】B
解析：同一个顶点出发的三条侧棱两两垂直，可以将这个三棱锥放在长方体中，长方体的外接球与三棱锥的外接球是一个；故而该球的半径是长方体体对角线的一半；
设，则，故而，
所以，，；因此，球的体积为
例5：解：根据相对的棱长相等，可以构造长方体，则正方体的棱长为1，因此，该四面体的外接球的棱
长为1的正方体外接球，所以外接球的半径，所以外接球的表面积为。
例6：解：因为，；所以
构造直三棱柱；
设为的外心，为三棱锥外接球的球心，所以；
由直棱柱外接球的性质，
在中，（余弦定理），其外接圆的半径（正弦定理）
所以在中，
故而三棱锥的外接球的半径为
（3）存在线面垂直或面面垂直的立体外接球半径的求解
例7：解析：
本题的关键在于明确两个垂直面，，故而，两个三角形外接圆的半
径，，交线
所以
（4）外接球半径的最值解决思路
例8：解析：
如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大；
设球的半径为，此时
解得；球的表面积为。
【考点定位】本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力；
【名师点睛】由于三棱锥底面面积为定值，故高最大时体积最大，本题就是利用此结论求球的半径，然后再求出球的表面积，由于球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能力，使得这类问题一直是高考中的热点及难点，提醒考生要加强此方面的训练．
例9：解析：
根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积。
根据题意，画出示意图如下图所示
由题意知为直角三角形，面积为，其所在圆面的小圆圆心在斜
边AC的中点处，设该小圆的圆心为
因为的面积是定值，所以当四面体体积取得最大值时，高取得最大值；即
当时体积最大；所以；所以
设球心为，球的半径为，则，即
解方程得，所以球的表面积为
四．变式演练与提高
1.【答案】
C
解析：取的中点为，连接、，显然，；
所以，所以，又，∴；所以
由于是正三棱锥，两两垂直；
则
2.解析：
由题意得，直三棱柱的外接球的球心就是直三棱锥的外接球的球心。
在中，由余弦定理可求得；
由正弦定理，的外接圆半径
的外接圆半径
故而外接球的半径
外接球的表面积
解析2：直三棱柱的外接球的球心是上下两底面的外接圆圆心连线的中点，利用此结论可以通过构建直角三角形予以解决。
【点评】(1)由于本题的几何体不宜放在长方体模型中，如何确定球心的位置是关键；
（2）利用解三角形法求几何体外接球的半径，先要找到球心的位置，要找球心的位置，没有固定的规律，要结合几何体的特征，发挥自己的空间想象力分析，本题由于是直三棱柱，所以球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，如果是其它的几何体就不是这个位置了.
找到球心的位置后，再确定截面圆的圆心位置，再表示出球心到截面圆圆心的距离，这个是难点，要结合几何图形分析.最后是解，求出球的半径；
（3）如果几何体底面是三角形，求截面圆的半径，一般利用正弦定理求截面
圆的半径.
3.解析：
因为为等腰直角三角形，所以为截面圆的直径，故该三棱锥的外接球的球心在截面ABC中的射影为AC的中点D，当三点共线，且位于截面同一侧的棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为，所以由圆锥的体积公式，可求出，设外接球的半径为，则由勾股定理得，解得，所以外接球的表面积为，选D.
六．课后作业
1.解析：
由题意可以推知得到，；又，故而互相垂直，故而可以构造长方体，则长方体的外接球就是该四面体的外接球；由于长方体的对角线长度；外接球的半径等于3；外接球的表面积
【点评】(1)本题看起来没有三条直线相交于一点且两两垂直的模型，但是通过推理分析得到了两两垂直，所以可以采用模型法来求几何体外接球的半径；
（2）利用模型法解答时，一定要保证几何体的所有顶点都和长方体的顶点重合，这才能保证几何体的外接球和长方体的外接球是同一个外接球，才能用长方体的外接球半径公式
，有一个点不是长方体的顶点都不行。
2.【答案】B
解析：M是线段上一个动点，连接；因为互相垂直，∴就是直线与平面所成的角；当最短时，即时，直线与平面所成的角的正切值最大。
此时，
在直角中，
三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，
∴三棱锥的外接球的半径为，
∴三棱锥的外接球的表面积为．
点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解；
(2)若球面上四点中，互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体进行求解；
(3)对于折叠体外接球的解决，通常是求做球心在两个折叠半平面的射影，然后分别构造直角三角形利用勾股定理进行求解。
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精品试卷·第
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