2020年上海市上海中学自主招生数学真题（PDF版含答案）

2020上海中学自主招生真题
填空题
1、分解因式:x++2x3+6x-9=
2、若实数x满足x+x3-4x2+x+1=0,则+
3、一个盒子里装有5个红球、9个篮球、10个黑球,现从中倒出一部分球,若要保证其中至少有7个球颜色相同,
则至少要倒出
个球
4、△ABC内心为,其关于边BC、CA、AB的对称点分别为点A、B、C,若点B在△ABC的外接圆上,则∠ABC
5、抛物线y=x2+bx+C交x轴正半轴于点A、B,交y轴于点C,其顶点为D,若△ABD与△COB均为等腰直角
三角形,则b+2c
6、若方程(x2-1)(x2-4)=k有4个非零实根,且它们在数轴上所对应的点呈等距排列,则k的值为
7、如图,△ABC中,BC=AC=4,CABC=1,N为AC中点,点A关于BN的对称点为点A,则AC的长度
为_
C
B
8、在黑板上写有123…如20这2020个数,每次从黑板上擦去两个数a,b,并写上数ab+a+b,则最终黑板上
会剩下的数为
9、一个袋中装有红球和篮球,每种颜色的球完全相同且数量足够多,现从中取出10个排成一排,要求每个红球必
须和至少一个红球相邻,篮球无限制,不同的排法共有种
选择题
10、点A、B、C在抛物线y=x2+ax+b上,满足△ABC为直角三角形,且斜边AB//x轴,则△ABC斜边上的高
h
A、h>1
B
h0
1
C、1≤h≤2
D、h=2
11、方程组
-41x+
lyl
2-4+1x=0的实数解共有
组
A、1组
B、3组
C、5组
D、13组
12、若y=x2+ax+b(0≤x≤1)的最大值为M,最小值为m,则M-m=
A、与a有关,且与b有关
B、与a有关,但与b无关
C、与a无关,但与b有关
D、与a无关,且与b无关
13、一个木匠拿到一根长为30的木棒,他希望将他切成尽可能多段,要求每段的长均为整数,且在切割时的任
时刻,各木条中最长段的长度严格小于最短段长度的2倍,那么他最多能切成
段
A
B、6
C、7
三、解答题
14、若等腰梯形的一条对角线可以把它分割成两个等腰三角形,求该梯形较短边和较长边之比
15、若实数a、b、C满足a+b+c=4,a2+b2+c2=6,求a的最小值
16、如图,在△ABC中,BD为∠ABC平分线,以C为圆心,CD为半径的圆交BD于F,交AC延长线于E,满足∠A
ZCBE
FE:
FD=4:
3.
AD=
10
B
(1)求证:BF=DF
(2)求△ABC面积
E