15.2 三角形全等的判定教案
教学目标：
1、知识目标：
（1）掌握已知三边画三角形的方法；
（2）掌握边边边公理，能用边边边公理证明两个三角形全等；
（3）会添加较明显的辅助线.
2、能力目标：
（1）通过尺规作图使学生得到技能的训练；
（2）通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理能力.
3、情感目标：
（1）在公理的形成过程中渗透：实验、观察、归纳；
（2）通过变式训练，培养学生“举一反三”的学习习惯.
教学重点：SSS公理、灵活地应用学过的各种判定方法判定三角形全等。
教学难点：如何根据题目条件和求证的结论，灵活地选择四种判定方法中最适当的方法判定两个三角形全等。
教学用具：直尺，微机
教学方法：自学辅导
教学过程：
1、新课引入
投影显示
问题：有一块三角形玻璃窗户破碎了，要去配一块新的，你最少要对窗框测量哪几个数据？如果你手头没有测量角度的仪器，只有尺子，你能保证新配的玻璃恰好不大不小吗？
这个问题让学生议论后回答，他们的答案或许只是一种感觉。于是教师要引导学生，抓住问题的本质：三角形的三个元素――三条边。
2、公理的获得
问：通过上面问题的分析，满足什么条件的两个三角形全等？
让学生粗略地概括出边边边的公理。然后和学生一起画图做实验，根据三角形全等定义对公理进行验证。（这里用尺规画图法）
公理：有三边对应相等的两个三角形全等。
应用格式： （略）
强调说明：
（1）、格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论。
（2）、在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的（如公共边）
（3）、此公理与前面学过的公理区别与联系
（4）、三角形的稳定性：演示三角形的稳定性与四边形的不稳定性。在演示中，其实可以去掉组成三角形的一根小木条，以显示三角形条件不可减少，这也为下面总结“三角形全等需要有3全独立的条件”做好了准备，进行了沟通。
（5）说明AAA与SSA不能判定三角形全等。
3、公理的应用
（1） 讲解例1。学生分析完成，教师注重完成后的点评。
例1 如图△ABC是一个钢架，AB=ACAD是连接点A与BC中点D的支架
求证：AD⊥BC
分析：（设问程序）
(1)要证AD⊥BC只要证什么？
(2)要证∠1= 只要证什么？
(3)要证∠1=∠2只要证什么？
(4)△ABD和△ACD全等的条件具备吗？依据是什么？
证明：（略）
（2）讲解例2（投影例2 ）
例2已知：如图AB=DC，AD=BC
求证：∠A=∠C
（1）学生思考、分析、讨论，教师巡视，适当参与讨论。
（2）找学生代表口述证明思路。
思路1：连接BD（如图）
证△ABD≌△CDB（SSS）先得∠A=∠C
思路2：连接AC证△ABC≌CDA（SSS）先得∠1=∠2，∠3=∠4再由∠1+∠4=∠2+∠3得∠BAD=∠BCD
（3）教师共同讨论后，说明思路1较优，让学生用思路1在练习本上写出证明，一名学生板书，教师强调解题格式：在“证明”二字的后面，先将所作的辅助线写出，再证明。
例3如图，已知AB=AC，DB=DC
（1）若E、F、G、H分别是各边的中点，求证：EH=FG
（2）若AD、BC连接交于点P，问AD、BC有何关系？证明你的结论。
学生思考、分析，适当点拨，找学生代表口述证明思路
让学生在练习本上写出证明，然后选择投影显示。
证明：(略)
说明：证直线垂直可证两直线夹角等于 ，而由两邻补角相等证两直线的夹角等于 ，又是很重要的一种方法。
例4 如图，已知：△ABC中，BC＝2AB，AD、AE分别是△ABC、△ABD的中线，
求证：AC＝2AE.
证明：（略）
学生口述证明思路，教师强调说明：“中线”条件下的常规作辅助线法。
5、课堂小结：
（1）判定三角形全等的方法：3个公理1个推论（SAS、ASA、AAS、SSS）
在这些方法中，每一个都需要3个条件，3个条件中都至少包含条边。
（2）三种方法的综合运用
让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。
6、布置作业：沪八上15.2三角形全等的判定
第1题. 如图，中，，，则由“”可以判定（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．以上答案都不对
第2题.如图，中，，，，则________，__________．
第3题. 如图，，，，找出图中的一对全等三角形，并说明你的理由．
第4题. 如图，是等边三角形，若在它边上的一点与这边所对角的顶点的连线恰好将分成两个全等三角形，则这样的点共有（ ）
Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．6个 Ｄ．9个
第5题. 如图，已知，．求证：．
第6题. 如图，点分别在上，且，．
求证：．
第7题. 已知交，垂足为， ，．
求证：（1）；
（2）．
第8题. 如图，已知为等边三角形，，垂足为，，垂足为，，垂足为，且
求证：为等边三角形．
第9题. 如图，已知点在上，，，．
求证：．
第10题. 如图，在和中，已知，，根据（SAS）判定，还需的条件是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．以上三个均可以
第11题. 若按给定的三个条件画一个三角形，图形惟一，则所给条件不可能是（ ）
Ａ．两边一夹角 Ｂ．两角一夹边 Ｃ．三边 Ｄ．三角
第12题. 如图，已知，垂足为，，垂足为，，，则＝___________．
第13题. 如图，已知，，．
求证：．
第14题. 下列各命题中，真命题是（ ）
Ａ．如果两个三角形面积不相等，那么这两个三角形不可能全等
Ｂ．如果两个三角形不全等，那么这两个三角形面积一定不相等
Ｃ．如果，，那么与的面积的和等于与面积的和
Ｄ．如果，，那么
第15题. 如图，已知，，．
求证：．
第16题. 如图，点是的平分线上的一点，作，垂足为，垂足为，交于点．
（1）你能找到几对全等三角形？请说明理由；
（2）你能确定图中共有几个直角吗？请说明理由．
第17题. 如图，已知，，是中点，过作直线交的延长线于，交的延长线于．
求证：．
第18题. 如图，已知，，．
求证：．
第19题. 对于下列各组条件，不能判定的一组是（ ）
Ａ．，，
Ｂ．，，
Ｃ．，，
Ｄ．，，
第20题. 如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（工人把这种工具叫卡钳）只要量出的长度，就可以知道工件的内径是否符合标准，你能说出工人这样测量的道理吗？
第21题. 如图，已知在和中，与分别是上的中线，，，．
求证：．
第22题. 如图，已知在中，，．
求证：，．
第23题. 如图，平面内有一个，为平面内的一点，延长到，使，延长到，使，延长到，使，得到，与是否全等？这两个三角形的对应边是否平行？为什么？
第24题. 如图，在中，，分别为上的点，且，，．
求证：．
第25题. 如图，，要使△△，应添加的条件是 ，（添加一个条件即可）
第26题. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为点．
（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；
（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．
第27题. 在△△中，已知，，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ ）
A． B． C． D．
第28题. 小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知，，你认为小明的风筝两脚大小相同吗（即，相等吗）？请说明理由．
第29题. 小民用五根木条钉成了如图所示的两个三角形，且，，若为锐角三角形，则中的最大角的取范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
第30题. 已知：的三边分别为，的三边分别为，且有，则与（ ）
Ａ．一定全等 Ｂ．不一定全等 Ｃ．一定不全等 Ｄ．无法确定
第31题. 如图，已知，．
求证：．
第32题. 你见过形如图所示的风筝吗？开始制作时，，，后来为了加固，又过点加了一根竹棒，分别交于点，且，你认为相等吗？请说明理由．
第33题. 如图，相交于点，，．
求证：．
第34题. 如图，已知，，．
求证：．
第35题. 在和中，①；②；③；④；⑤则下列条件中不能保证的是（ ）
Ａ．①②③ Ｂ．①②⑤ Ｃ．②④⑤ Ｄ．①③⑤
第36题. 在和中，已知，，在下列说法中，错误的是（ ）
Ａ．如果增加条件，那么（）
Ｂ．如果增加条件，那么（）
Ｃ．如果增加条件，那么（）
Ｄ．如果增加条件，那么（）
第37题. 如图，与交于点， 相等吗？为什么？
第38题. 如图，相交于点，你能找出两对全等的三角形吗？你能说明其中的道理吗？
第39题. 已知：如图，是△的边上一点，，，．
．
第40题. 如图，给出五个等量关系：①、②、③、④、⑤．
请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并加以证明．
已知：
求证：
证明：
第41题. 如图，两点分别位于池塘两端，小明和同伴用下面的方法测量间的距离：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接，那么量出的长，就是的距离，小明和同伴的测量方法对不对？为什么？
第42题. 如图，要测量河两岸相对的两点，的距离，可以在的垂线上取两点，使，再定出的垂线，使在一条直线上，这时测得的的长就是的长，为什么？
第43题. 如图两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从出发沿河岸画一条射线，在上截取，过作，使在同一条直线上，则的长就是之间的距离．请你说明道理．你还能想出其他方法吗？
第44题. 如图，已知，．
求证：．
第45题. 如图，已知分别是两个钝角和的高，如果，．
求证：．
第46题. 使两个直角三角形全等的条件是（ ）
Ａ．一个锐角对应相等 Ｂ．两个锐角对应相等
Ｃ．一条边对应相等 Ｄ．两条直角边对应相等
第47题. 如图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条与分别是的中点，是的中点吗？
第48题. 如图，已知四点共线，，，，．
求证：．
第49题. 判定两个直角三角形全等的方法有
Ａ．两条直角边对应相等
Ｂ．斜边和一锐角对应相等
Ｃ．斜边和一条直角边对应相等
D．两个面积相等
其中不正确的为（ ）
第50题. 将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下右图的形式，使点，，，在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．
参考答案
1. 答案：Ｂ
2. 答案：，
3. 答案：答案不惟一．如．理由：根据“”即，，．
4. 答案：Ｂ
5. 答案：在和中
6. 答案：， ，
又
，即．
7. 答案：（1），又
（2）在和中（已证），（已知），（已知）．
8. 答案：是等边三角形．，
又，，
又，根据证
得为等边三角形．
9. 答案：由得，根据等角的补角相等得，又由得，又，根据证得．
10. 答案：B
11. 答案：Ｄ
12. 答案：
13. 答案：先证，再根据证，得．
14. 答案：Ａ
15. 答案：先证：，再根据证，得．
16. 答案：（1）有三对全等三角形．由“”可知，又由“”可知：，
（2）共有八个直角，由（1）中的可知：，而，因此．这样以为顶点有四个直角，另有已知的四个直角，共计八个直角．
17. 答案：在和中，
（全等三角形对应角相等）
是中点，
．
18. 答案：又，，根据“”证．，又，，根据证．
19. 答案：C
20. 答案：此工具是根据三角形全等制作而成的．由是，的中点，可得，，又由于与是对顶角，可知，于是根据“”有，从而，只要量出的长度，就可以知道工作的内径是否符合标准．
21. 答案：延长到使，延长至使，连接，先证，得，同理可证，．利用证．，．，根据证．
22. 答案：在和中，
．
，．
又，即，，．
23. 答案：，，，，理由略．
24. 答案：在和中，
25. 答案：答案不惟一，如等．
26. 答案：解：（1）图中有三对全等三角形：
△△，△△，△△．
（2）证明△△．
证明：垂直平分，
，．
又，△△．
27. 答案：C
28. 答案：相等．可以连接，由可知．
29. 答案：Ｄ
30. 答案：Ａ
31. 答案：，，
又
即，
又根据证，
．
32. 答案：相等．可以连接，首先由“”可知：，因此，同理可得，又由“”可知，因此．最后可由“”得，所以
33. 答案：在和中，
．
34. 答案：： ，，，即，又，，，．
35. 答案：D
36. 答案：B
37. 答案：不一定．与可能相等,也可能不相等．
直观地解释：上的位置不定，因此的关系也不定．
逻辑地解释：所在的两个三角形，无法确定其是否全等，因此的关系不一定．
38. 答案：事实上有四对全等的三角形．
理由分别是：
的理由：“角边角”，即
的理由．“边角边”，即
的理由：“边角边”．即
的理由：“边角边”．即
39. 答案：证明：，
．
又，，
△△．
．
40. 答案：情况一：已知：
求证：（或或）
证明：在△和△中
△△
即．
情况二：已知：
求证：（或或）
证明：在△和△中
，
△△
．
41. 答案：小明和同伴的测量方法是正确的．由于在和中，（测得），（对顶角相等），（测得），于是，因而可得，所以量出的长，就是两点间的距离．
42. 答案：由，，可得，又由于直线与交于点，可知（对顶角相等），再加上条件，根据“”有，从而，即测得的长就是两点间的距离．
43. 答案：（1）．
（2）新方法：如图：
从出发沿河岸作射线，且使，在上截取，过作，使在一条直线上，则的长就是之间的距离.道理同上．
44. 答案：因为，，根据“”证 ，．
45. 答案：根据“”证，，再根据“”证，，，即．
46. 答案：Ｄ
47. 答案：是的中点．
48. 答案：证明：，（已知）
（垂直的定义）
在和中，
（全等三角形的对应角相等）
（等式性质）
即
．
49. 答案：D
50. 答案：（1）证明：由题意得，
．
．
（2）若，则有Rt△Rt△．
，
Rt△Rt△．
说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：
Rt△ Rt△、Rt△ Rt△、Rt△ Rt△．
从中任选一对给出证明，只要正确的都对．
1
2
3
4
2
1
3
4
A
D
B
O
E
C
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
1
2
3
4
2
1
A
D
B
C
F
E
A
B
C
E
D
A
E
P
M
B
F
C
D
N
A
C
B
D
F
E
A
E
P
M
B
F
C
D
N(共18张PPT)
学习目标
1、经历探索三角形全等条件的过程，体会分析问题的方法。积累数学活动的经验。
2、掌握三角形全等的“角边角”、“角角边”的条件。
3、利用“角边角”、“角角边”判别两个三角形全等，解决一些简单的实际问题。
15.2三角形全等的判定
如图，小明不慎把一块三角形的玻璃打碎成两块。试问：小明应该带哪一块碎片到商店去才能配一块与原来一样的三角形玻璃？
1、情境创设
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
解：带第Ⅱ块去。
Ⅱ
2、探索活动
活动一：猜想、测量、验证
观察图中的三角形：
1、先观察，猜一猜哪两个三角形是全等三角形
2、你认为需要测量各个三角形中的哪些数据
3、哪些条件决定了△ABC ≌△FDE
4、 △ABC 与△PQR有哪些相等的条件？为什么它们不全等？
A
B
3
60°
40°
C
3
40°
60°
P
R
Q
40°
60°
E
F
D
3
活动二：做一做
1、画线段AB=5cm ，再画∠BAP=45°，∠ABQ=60°，AP与BQ相交于点O。
2、剪下所画的△ABC与同桌进行比较。
3、你能得到什么结论。
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写成“角边角”或“ASA”。
A
B
P
Q
C
45°
60°
活动三：想一想
如图，ABC与MNP中， ∠ A= ∠ M，∠ B= ∠ N，BC=NP， △ ABC ≌ △ MNP吗 ？为什么？
解： △ ABC ≌ △ MNP。
∵ ∠ A= ∠ M， ∠ B= ∠ N 。
∠ C= 180 ° -∠ A - ∠ B，
∠ P= 180 ° -∠ M - ∠ N。
∴ ∠ C= ∠ P 。
∵ BC=NP ， ∠ B= ∠ N 。
∴ △ ABC ≌ △ MNP。
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”。
A
B
C
M
N
P
3、例题教学
1、如图OP是∠ MON的角平分线， C是OP上的一点，CA⊥ OM， CB⊥ON，垂足分别为A、B， △ AOC ≌ △ BOC吗 ？为什么？
O
B
N
P
M
C
┎
┛
A
解： △ AOC ≌ △ BOC。
∵ CA ⊥ OM， CB⊥ON。
∴ ∠ CAO= ∠ CBO=90 ° 。
∵ OP是∠ MON的平分线，
∴ ∠ AOC= ∠ BOC 。
又∵ OC= OC 。
根据“AAS”，可得。
∴ △ AOC ≌ △ BOC 。
O
B
N
P
M
C
┎
┛
A
若改变C点的位置，那么 △ AOC 与 △ BOC仍然全等吗 ？
问题1：
你发现什么结论
角平分线上的点到角两边的距离相等.
问题2：
OP是∠ MON的平分线.
（1）若OA=OB，则△ AOC ≌ △ BOC吗？为什么？
O
B
N
P
M
C
A
问题2：
OP是∠ MON的平分线.
（2）若∠ ACP= ∠ BCP，则△ AOC ≌ △ BOC吗？为什么？
O
B
N
P
M
C
A
问题2：
OP是∠ MON的平分线.
（3）若CA ∥ ON， CB∥OM，则△ AOC ≌ △ BOC吗？为什么？
O
B
N
P
M
C
A
A
O
B
C
若OA ∥ BC， OB∥AC，图中有相等的边和角吗？为什么？
（4）若AC ⊥ OP于点C交OM于A，交ON于点B，则△ AOC ≌ △ BOC吗？为什么？
问题2：
OP是∠ MON的平分线.
O
B
N
P
M
C
┎
A
（5）若AB=AC，AD平分∠ BAC，则AD ⊥ BC吗？BD=CD吗？ ∠ B=∠C吗？为什么？
问题2：
A
B
C
D
问题2：
（6）若仅知道AB=AC，如何得到∠ B=∠C呢？
A
B
C
（1）在△ ABC 内找一点P，使P点到△ ABC 的三边的距离相等？
问题3：
A
B
C
（2）△ ABC 的内角平分线和外角平分线交于点M，则点M到△ ABC 的三边的距离相等吗？
问题3：
A
B
C
M
D
F
E
┎
┎
┎
（3）三条公路相交于A、B、C三点，要建一座加油站P，使它三条公路的距离相等。满足条件的加油站P点有几个？
问题3：
A
B
C
P1
P2
P3
P4
4、小结
1、探索了三角形全等的条件：ASA、AAS。
2、掌握角平分线的性质-----角平分线上的点到角两边的距离相等。
