课题：16.4
角的平分线（第1课时）
教材分析
本节知识是在学习了角平分线的定义及其度量法作法；两条直线互相垂直，垂线的概念及用三角尺作垂线的方法；全等三角形，等腰三角形等知识后进行的。它首先探索了角平分线的尺规作法，并在此基础上接着学习了过一点作已知直线垂线的尺规作法。它们是几何的基本作图，也是今后进一步学习、
研究几何知识的重要基础。
教学目标
知识目标
1.掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性。2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法。
能力目标
1培养学生用直尺和圆规作图的能力及有条理地语言表达能力。2.培养学生分析问题和解决问题的能力。
情感价值
在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中，培养学生的几何直觉；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性。
教学重点
角平分线及垂线的尺规作法
教学难点
角平分线的尺规作法的探索过程
教学设想
1.本节课在设计时我曾想通过等腰三角形的三线合一的性质来设计，但考虑到学生对这一性质掌握不够，于是就按三角形全等的知识来设计。2.在探索角平分线的尺规作法时，原考虑利用教材第110页B组复习题的第1题改编做一个简易的平分角的仪器来解决这一重、难点，但考虑到时间不够，也考虑到学生的接受能力，就降低了难度，利用折纸做的角来突破难点。3.本节课的两个练习较难，且课后习题没有关于本节课的题目，所以利用练习的第2题，另补充了一道题作为课后作业，同时鼓励学生做好预习，为下一节课打下了伏笔。4.教学方法设计为引导——发现法
教
具
三角板，圆规，纸做的角
教学过程设计
教学流程
教师活动
学生活动
温故知新导入新课温故知新导入新课
1.提出问题：什么是角平分线？2.如图，已知∠AOB，如何作∠AOB的角平分线呢？
3.度量法：用量角器作∠AOB的角平分线。4.说明：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴。5.设问：除了这种方法外，还有什么方法能作呢？这就是我们这节课要解决的问题。6.板书课题：角的平分线
回忆思考回答
启发诱导探究新知
【活动1】1.出示一个纸质的角，提问：你能作出这个角的平分线吗？2.根据学生回答，折叠法，折痕所在的射线就是角平分线。3.用剪刀对折叠后的角进行修剪。4.让学生观察修剪后的角，提问：能从中发现什么？
根据学生回答，适当提示：边相等。加上字母O、A、B、D、E、P,
即OD=OE,DP=EP。5.问题：已知∠AOB，求作：∠AOB的角平分线。6.点题：前面我们所讲的是度量法及折叠法，今天将探索运用直尺和圆规来作角平分线。7.怎样用直尺和圆规来作角平分线？提示学生能否从折纸角中得到启示8.如何在∠AOB的内部找到P点呢？9.归纳角的平分线的作法并板书作法。10.证明作法的正确性。11．任作一个角，用直尺和圆规作出它的角平分线。
思考观察交流回答归纳回答作图
承前启后深入探究
【活动2】1．问题：你能作一个平角的角平分线吗？2．问题：这个作图可以看着是什么？如何写已知，求作？3．刚才作的是点在直线上的，你能过直线外一点作已知直线的垂线吗？4.提示学生：刚才我们是利用全等来操作的，这个题也可以利用全等来操作。5.板书作法并作图。6.点题：你能否用全等来证明作法的正确性。7.任作一条直线，任取一个点，过这个点作这条直线的垂线。
作图思考交流回答作图
应用反思注重参与
【活动3】做第135页练习第1题
交流作图
归纳小结强化思想
1.本节课你学习了哪些知识？（学会了两种基本尺规作图：作角平分线，作垂线。）2.通过进一步的探索你有何收获？
交流回答
作
业
1.第135页练习第2题2.（补充）如图，已知△ABC，求作⑴∠BAC的角平分线
⑵BC边上的高3今天我们学习了角平分线的作法，那么角平分线还有什么奥秘呢？请同学们预习第135-136页内容。
板书设计
16.4角平分线作法
作法
作法(共7张PPT)
16.4
角的平分线
一、教学目标
1.使学生掌握角平分线定理及其逆定理，培养学生探索知识的能力。
2.使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等。
3.渗透点的集合的数学思想。从事物特殊性入手，总结归纳事物的一般性。体现在研究问题时注意纯粹性与完备性，准确、全面地思考问题。
二、教学重点和难点
1.重点：（1）角平分线的性质和判定。（2）点到角的边的距离要强调垂直关系。
2.难点：（1）分清文字命题中的题设（已知）和结论，掌握证明题格式。（2）把角平分线看作点的集合。
三、教学方法
引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法。
四、教学手段
利用投影仪、教具（等腰三角形纸片）使教学反馈速度快、直观。
五、教学过程
（一）复习提问
1.角平分线的概念，角平分线与三角形的角平分线的区别和联系。
2.点到直线（或射线）距离的意义。
（二）引入新课
第一册已经介绍过角的平分线的概念，那么它有什么重要性质呢？怎样找到这个角的平分线？同学们首先看（教具）。
（1）有一张剪好的纸片，怎样找这个角的平分线？（引导学生回答）。
（2）大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线，如图3－48。如果我们把对折的纸片继续折一次，然后把纸片展开，就会出现两条折痕，如图3－49中的PM和PN，不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等长的折痕我们可以找出无数对。由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其它的性质，这节我们就来研究这个问题。
（三）讲解新课
定理1
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
要向学生讲明，证明这个定理，首先要分清题设和结论，既为写已知、求证做准备，又为引入逆命题及讨论原、逆命题的关系打基础，然后把条件和结论具体化，符号化，写出已知、求证和证明。
题设：一个点在一个角的平分线上。
结论：它到角的两边的距离相等。
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥⊥OB，垂足分别是D、E，（如图3－50）
求证：PD＝PE。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）。
在△PDO和△PEO中，
∠PDO＝∠PEO（已知），
∠AOC＝∠BOC（已知），
OP＝OP（公共边），
∴△PDO≌△PEO（AAS）。
∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）。
定理应用所具备的条件和定理的作用：条件有三个，角的平分线，点在该平分线上，垂直距离。作用是证明线段相等。
如图3－51，填写使BC＝BD成立所需的条件：
，
BC＝BD。
猜想图3－51中，由BC⊥AC于点C，BD⊥AD于点D，BC＝BD，可以得到什么结论？
用文字语言概括上述猜想，并说明这个命题与定理1有什么联系与区别？
定理2
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
引导学生分析条件、结论，画出图形，写出已知、求证和证明。
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD＝PE，如图3－52。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
证明：经过点P作射线OC。
∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直定义）。
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
OP＝OP（公共边），
PD＝PE（已知），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。
∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的对应角相等）。
∴OC是∠AOB
的平分线。
想一想：
在一个角的内部，除角平分线上的点以外，还能找到“到角的两边距离相等”的点吗？为什么？
在角平分线上，是否有“到角的两边距离不相等的点”呢？为什么？
由定理1、2可知，在一个角内，到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上；反过来，角的平分线上的点到角的两边距离相等。于是得到下面的结论：
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
此结论为以后研究轨迹打下基础。
例：已知：如图3－53，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，B、D为垂足，线段AC平分∠C，求证：BC＝DC。
分析：要证BC＝DC，须证点C在∠A平分线上，
须证∠1＝∠2，即证90°－∠3＝90°－∠4，这由已知条件线段AC平分∠C便可得证（利用投影仪）。
小结：
（1）定理1是角平分线的性质定理，只要证出一射线是某角的平分线，就可知道它上面的点到角的两边距离相等，利用它可以证明线段相等；定理2是角平分线的判定定理，只要证出一个点到角的两边距离相等，就可以判定该点与顶点联线是这个角的平分线，利用它可以证明角相等。
（2）用这两个定理，一定具备两个垂直距离（即点到直线的距离）。证明过程中要直接应用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这样作实际是重新证了一次定理）。
（四）作业16.4角的平分线水平测试
A卷
选择题（每题5分，共25分）
如图1，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则下列结论中错误的是（
）
A.
PC=PD
B.OC=OD
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=PC
如图2，△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足，则下列四个结论：（1）AD上任意一点到点C、D的距离相等；（2）AD上任意一点到AB、AC的距离相等；（3）AD⊥BC且BD＝CD；（4）∠BDE=∠CDF,其中正确的个数是（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3．如图，L1.L2.L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（
）
A.
一处B.
二处
C.
三处
D.四处
4．下列说法中，错误的是
（
）
三角形任意两个角的平分线的交点在三角形的内部
任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
三角形两个角的平分线的交点到三边的距离相等
三角形两个角的平分线的交点在第三个角的平分线上
与相交两直线距离相等的点在（
）
一条直线上
一条射线上
两条相互垂直的直线上
两条相互垂直的射线上
填空题（每题5分，共25分）
如图4，已知AB∥CD，OA平分∠BAC，OC平分∠AOD，OE⊥AC于点E，且OE=2，则两平行线间的距离为
如图5，在△ABC中，∠C＝，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=20，BD︰CD=5︰3，则D到AB的距离DE是
如图6，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝，BD是角平分线，DE⊥BC，若BC＝10，则△DEC的周长为
如图7，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，若∠A＝，则∠BOC＝
三角形三条角平分线相交于一点，且这一点到
的距离相等．
解答题（每题10分，共50分）
已知：如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于M．求证：AM⊥EF
如图，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E,且CF、DE交于点D，BD=CD．
求证：AD平分∠BAC
已知：如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD．
求证：BE=CF
已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰在DC上．
求证：AP⊥BP;
若∠D＝，猜想AB、AD、BC之间有何数量关系？请证明你的结论．
如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B，AD是角平分线．
求证：AB=AC+CD
《角的平分线》单元测试B卷
一．选择题（每题5分，共25分）
1．如图1所示，△ABC中，∠C＝，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，若AC＝3cm，则AE+DE等于（
）
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
2．如图2所示，△ABC中，∠C＝，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则△DEB
的周长为（
）
A.5cm
B.6cm
C.7cm
D.8cm
3．如图3所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论错误的是（）
A.DE=DF
B.AD上任意一点到E、F点的距离相等
C.AE=AF
D.BD=DC
4．如图4所示，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中，不正确的是（
）
A.TQ=PQ
B.∠MQT=∠MQP
C.
∠QTN
=
D.
∠NQT=∠MQT
5．如图5所示，四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的长的大小关系是（
）
A.AB＞AD+BC
B.AB=AD+BC
C.AB＜AD+BC
D.无法确定
二．填空题（每题5分，共25分）
1．到一个角的两边距离相等的点在
2．△ABC内有一点P，点P到三边的距离都相等，则点P的作法是
3．已知：如图6，△ABC的外角∠CBD和∠BCE
的平分线BF、CF相交于点F，连接AF，则∠1和∠2的大小关系是
4．如图7，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM和DM的大小关系是
5．如图8，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠ECB的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在∠BAC的平分线上；②BP=CP；③点P到AD、AE、BC的距离相等．把你认为正确的结论的序号写在横线上
三．解答题（每题10分，共50分）
1．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB＝，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE＝BD．求证：BD平分∠ABC
2．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD,BD平分∠ABC．
求证：∠A＋∠C＝
如图，AB=AC,CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，DC、BE相交于F．
求证：AF平分∠BAC
如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB于E，自E作BC的平行线交AC于点F，交∠C的外角平分线于点G．
求证：EF=FG
5．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，在DB上取点M，使MD=DC，作MN∥AB，交AD于点N，MN与AC的大小关系如何？请说明理由．
《角的平分线》单元测试
附加题
已知：如图①所示，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D,交AC于点E．求证：DE=BD+CE．
如图②所示，若F是∠B的平分线与∠C的外角平分线的交点，其他条件不变．
求证：DE=BD－CE
若F是∠B和∠C外角平分线的交点，其他条件不变．
求证：DE=BD＋CE
答案与提示
A卷
一．选择题1.D
2.C
3.
D
4.
B
5.C
二．填空题1.4
2.
3.
10
4.
5.三角形三边
三．解答题
1．先证△AFD≌△AED,得AF=AE,再证△AFM≌△AEM得∠AMF=∠AME.又因为∠AMF＋∠AME＝，所以∠AMF=∠AME＝．
2．先证△ECD≌△FBD,得ED=FD，又由FC⊥AB,BE⊥AC可得结论．
3．利用角平分线的性质可得DE=DF,再证△BDE≌△CDF．
4．（1）略（2）AB=AD+BC,提示：过点P
作AB的垂线．
5．在AB上截取AE=AC，过点E作EF⊥BD，垂足为F．先证△AED≌△ACD再证△EBF≌△EDF．
B卷
一．选择题
1.B
2.B
3.D
4.D
5.B
二．填空题
1．这个角的角平分线上
2．作两内角平分线，交点即为所求
3．∠1＝∠2
4．MC=MD
5．①、③
三．解答题
1．提示：延长AE、BC相交于点F，可证△ACF≌△BCD，得AF=BD、AE=EF．
2．提示：在BC上截取BE,使BE=AB,连接DE.证△ABD≌△EBD
3．提示：证△DAC≌△EAB
和
△FAD≌△FAE
4．提示：分别证EF=FC;FC=FG得EF=FG
5．
MN=AC；提示：过点C作CE∥MN，交AD的延长线于点E．证：△MDN≌△CDE
附加题
提示：利用平行线和角平分线证DF=BD,EF=CE得DE=DF+EF=BD+CE；
(1)(2)类似得证．
