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17.1勾股定理
直角三角形是一类特殊三角形，它的三边具有一种特定的关系，该关系称为勾股定理，早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用弦图证明了这定理。2002年，世界数学家大会在北京召开，大会会徽上的图形就是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理所做的“弦图”。用它作为会徽是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定。
本章就来学习勾股定理、它的逆定理以及它们的应用。
2002年世界数学家大会会徽
探究
1.如图是一个行距、列距都是1的方格网，在其中作出一个以格点为顶点的直角三角形ABC，然后，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。
思考：三个正方形面积SⅠ、SⅡ、SⅢ之间有怎样的关系？用它们的边长表示，能得到怎样的式子？
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
A
C
B
SⅠ+SⅡ=SⅢ
在行距、列距都是1的方格网中，再任意作出几个格点直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，如图。并以SⅠ、SⅡ、SⅢ分别表示它们的面积。
探究
A
C
B
b
c
a
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
A
C
B
c
b
a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
观察左图，并填写：SⅠ= 个单位面积，SⅡ= 个单位面积，SⅢ= 个单位面积。
观察右图，并填写：SⅠ= 个单位面积，SⅡ= 个单位面积，SⅢ= 个单位面积。
A
C
B
b
c
a
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
A
C
B
c
b
a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
探究
9
9
18
9
16
25
每一个图中的三个正方形面积之间的关系是SⅠ+SⅡ=SⅢ；
用它们的边长表示，就是a2+b2=c2。
A
C
B
b
c
a
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
A
C
B
c
b
a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
探究
下面每一个图中的三个正方形面积之间有怎样的关系？用它们的边长表示。
交流 通过上面的探究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗？
定理 直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理。
如果直角三角形的两直角边用a、b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为a2+b2=c2.
操作 请大家将手中的四个全等的直角边长分别为a、b，斜边为c的直角三角形，拼成如图所示的正方形，并找出图中的面积关系。
A
B
C
a
c
b
c
c
c
c
a
b
B1
a
b
C1
F
a
b
D1
G
a
b
A1
E
H
图中的面积关系是：
S正方形EFGH-4S△ABC=S正方形A1B1C1D1
由此，你能得出勾股定理的证明方法吗？
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.求证：a2+b2=c2.
证明 取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的边长为a+b的正方形EFGH。
可以证明四边形A1B1C1D1是边长为c的正方形（为什么？）。
且 S正方形EFGH-4S△ABC=S正方形A1B1C1D1
即 (a+b)2-4× ab=c2.
化简，得a2+b2=c2.
注意：上面我们用面积计算证明了勾股定理，但这不是惟一的证明方法，请大家阅读课本第15页的《数学史话——勾股定理》。
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.
(1)a=6，b=8，求c；(2)a=8，c=17，求b.
2.在Rt△ABC中，∠B=90°，a =3，b =4，求c.
3.在直角三角形中，已知两边的长为3和4，求第三边的长.
勾股定理的最大作用就是用在计算上，请同学们用勾股定理来解答下列各题：
运用勾股定理时应注意：
⑴在直角三角形中，认准直角边和斜边；
⑵两直角边的平方和等于斜边的平方。
课堂小结 与同伴交流下面问题。
本节课中我们是如何得到勾股定理的？
又是如何证明勾股定理的？
你还了解哪些关于勾股定理的历史和它的证明方法？
作业：课本习题17.1中第1、2、3题.
下节课我们将进一步学习勾股定理的应用，敬请期待。课题：§17.1勾股定理（1课时）
教学目标：
知识与技能：探索直角三角形三边关系，了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
过程与方法：（1）、经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。（2）、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的能力，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
情感态度与价值观：（1）、介绍我国古代勾股定理研究方面所取得的成就，感受数学文化，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。（2）、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。
教材分析
勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形边的数量关系。它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理 的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
教学重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握勾股定理及其应用。
教学难点：理解勾股定理的演绎和推导过程。
教学方法：探讨法、发现法等。
教具准备：多媒体、网格纸。
教学过程
一、创设情境——观察探索——形成概念
引入 首先创设这样一个问题情境：（用多媒体播放视频）“某楼房二楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火 ”
[设计意图及设想]问题设计具有一定的挑战性,目的是激发学生的探究欲望,教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题。学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就有办法解决了。这种以实际问题为切入点引入新课，不仅自然，而且反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点。
1、（用多媒体投影）如图是一个行距、列距都是1的方格网。问：
每一个最小格点正方形面积是多少？
然后，在方格网中投影显示出以格点为顶点等腰直角△ABC，并显示分别以三角形的各边为边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。
问：1、三个正方形面积SⅠ、SⅡ和SⅢ分别是多少？它们之间有怎样的关系？如用它们的边长表示，能得到怎样的式子？（思考、与同伴交流）
[设计意图及设想] 从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们从中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。
2、在上一题的基础上，设置下列问题情境：
在行距、列距都是1的方格网中，再作一个格点不等腰直角△ABC，分别以三角形的各边为边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。让学生在课前备好的网格纸上画图，然后投影出图。根据上述我先后安排如下三个探究题：
（1）、三个正方形面积SⅠ、SⅡ和SⅢ分别是多少？（思考、分组讨论、交流）（学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积.或者，将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C面积）。
（2）、SⅠ、SⅡ和SⅢ是什么关系？（思考、分组讨论、交流）
（3）、如用它们的边长a,b,c表示，能得到怎样的式子？（思考、分组讨论、交流）
[设计意图及设想]
这样设计不仅渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高.而且突破难点，为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到了提高，这对后面的学习及有帮助。
根据上述的问题的探究，可安排如下面探究题：你们发现直角三角形三边的长有怎样的关系？能用简练的语言概括出来吗？（学生分组讨论、小组代表发言）
结论：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
二、创设情境——合作探究——推理论证
介绍全世界的数学家和数学爱好者都为勾股定理的证明付出过努力，使得这一定理至今有几百种证法并介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
1、设置下列问题情境：如图在直角△ABC中，∠C＝90°AB=C，BC=a, AC=b,
求证：a2+b2=c2
让学生按图示拼图。问：（1）所拼的图中，边长为C的四边形是正方形吗？为什么？
（2）让学生根据理解写出证明的推理过程。
[设计意图及设想]让学生亲身体验勾股定理的探索与验证，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合思想，发展创造性思维能力.
由传统的数学课堂向实验的数学课堂转变.
2、可向学生介绍下列两种方法，激发学生的兴趣
方法二: “赵爽弦图”法.将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形,
方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所
形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90 ,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90 .
∴ ∠DEC = 180 ―90 = 90 .
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于.
又∵ ∠DAE = 90 , ∠EBC = 90 ,
∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.
∴ .
∴ .
以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说明。
[设计意图及设想]让学生模拟数学家的思维方式和思维过程,体会探索的快乐。
3、（定理命名）.约 2000年前,代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾, 较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中，如果勾为3,股为 4,那么弦为5.这里 .人们还发现,勾为6,股为8,那么弦一定为10.勾为5,股为12,那么弦一定为13等.所以我国称它为勾股定理.
西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理。
[设计意图及设想]对学生进行爱国主义教育，增强学生的民族自豪感.
三、即时训练——巩固新知
1、课本第6页练习 第1、2、题
2、Rt△ABC的两边长分别是3和4，则第三边长的平方为多少？
3、已知等边三角形ABC的边长是6cm．求：（1）高AD的长；（2）△ABC的面积。
4、如图，一个3cm长的梯子，AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
思路点拨：从BD=OD-OB可以看出，必需先求OB，OD，因此，可以通过勾股定理在Rt△AOB，Rt△COD中求出OB和OD，最后将BD求出．
教师活动：制作投影仪，提出问题，引导学生观察、应用勾股定理，提问个别学生．
学生活动：观察、交流，从中寻找出Rt△AOB，Rt△COD，以此为基础应用勾股定理求得OB和OD．
[设计意图及设想]补充课堂练习，让学生对本节课的知识进行最基本的运用，为下节课勾股定理的应用做好铺垫.
四、课堂总结——提高认识
主要通过学生回忆本节课所学内容，从内容、应用、数学思想方法、获取新知的途径方面先进行小结，后由教师总结。
五、布置作业
1、课本P8 习题17.1 第1、2、3、题
2、体会本堂课你所获得成功的经验，写好数学日记，同学交流
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
A
C
B
A
C
B
c
b
a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
A
B
C
a
c
b
c
c
c
c
a
b
B1
a
b
C1
F
a
b
D1
G
a
b
A1
E
H17.1 勾股定理同步测试
一、选择
1.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
2.若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（ ）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
3. 某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元
4. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2
5.．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（ ）
A、4 B、3 C、5 D、4.5
7.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A、2㎝ B、3㎝ C、4㎝ D、5㎝
8.下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正确的是（ ）
A、①② B、①③ C、①④ D、②④
9.如图，牧童家在B处，A、B两处相距河岸的距离AC、BD分别为500m和300m,且C、D两处的距离为600m，天黑牧童从A处将牛牵到河边去饮水，在赶回家，那么牧童最少要走（ ）
A.800m B.1000m C.1200m D.1500m
10. 已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A、5 B、25 C、7 D、15
二、填空题
11.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
12. 等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为 ，面积为 .
13如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
14. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱。
15. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.
16. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．
17. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则AB＝ .
18. 一架2.5米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端0.7米.如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将滑动 米。
三、解答题
19.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计强的厚度，请计算阳光透过的最大面积。
20.如图所示，铁路上有A、B两点（看做直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看做两个点），AD⊥AB，BC垂直AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？
21.有一根高为16米的电线杆在A处断裂，如图所示，电线杆顶部C落到离电线杆底部B8m远的地方，求电线杆的断裂处A离地面有多高？
22. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m，这辆小汽车超速了吗？
参考答案
选择
1.D 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.B 8.C 9.B 10.A
二、填空
11. 12.6cm ; 48cm2 13.4 14.612 15.49 16.6,8,10 17.13cm 18.0.8m
三、解答题
19. 100m2 20.距离A点16千米处即AE=16千米。
21.6m 22.BC=72km,这辆小汽车超速了
北
南
A
东
第5题图
A
B
E
F
D
C
第4题图
150°
20m
30m
第3题图
A
B
C
D
第9题图
A
C
D
B
E
第7题图
A
B
D
C
第6题图
A
B
C
D
第15题图
第13题图
第14题图
5m
13m
3m
4m
20m
第19题图
D
C
A
B
第20题图
第21题图
A
C
B
A
小汽车
小汽车
B
C
观测点
