来稿时间：2010年12月25日 数学学科 九年级 编辑 叶子
圆的认识同步训练
圆的基本元素同步训练
一：判断正误
⑴弦的垂直平分线必过圆心;
⑵平分弦的直径垂直于弦;
⑶直径相等的两圆是等圆;
⑷长度相等的两条弧是等弧;
⑸ 圆中最大的弦是通过圆心的弦;
⑹一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能相等;
⑺ 半径是弦，弦是半径;
⑻ 相等的弦所对的弧相等;
二：选择
若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）
A、 B、 C、 或 D、 a+b或a-b
三：解答题1 .用一根长为a米的绳子，围成一个圆或正三角形或正方形，所围成的图形哪一个面积最大
2.已知☉O的半径是5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8求tan∠OPA
圆的基本元素同步训练答案
一：判断正误 分析： 准确判断的前提是建立在对概念的正确理解上。同学们一定要过好概念关！
解： ⑴ ⑶ ⑸正确，其他错误
二：选择题C
三：解答题 1：圆的面积最大
2：分析：本题分两种情况讨论：P是线段AB上一点或P是线段AB外的一点。
解： ⑴ P是线段AB上一点， 如图
过点O 作OC⊥AB，垂足为C
则OC垂直平分AB
∴AC=BC=4 PC=1
在直角△OAC中 OC==3
在直角△POC中 tan∠OPA= = 3
⑵P是线段AB外的一点， 如图
过点O 作OC⊥AB，垂足为C
同法解得tan∠OPA= =
圆的对称性同步训练
一、选择题：
1、下列命题中正确的是（ ）
A、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；
C、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；
D、弦的垂线平分弦所对的弧。
2、如图，⊙O中，直径CD＝15cm，弦AB⊥CD于点M，OM∶MD＝3∶2，则AB的长是（ ）
A、5cm B、7cm
C、12cm D、15cm
3、已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12 cm，CD＝16 cm， 则AB和CD的距离是（ ）
A、2cm B、14cm
C、2cm或14cm D、2cm或12cm
4、若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为1，则圆的半径长为（ ）
A、1 B、 C、2 D、
二、填空题：
1.已知在⊙O中弦AB的长为8cm ，圆心到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为 cm。
2、如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE＝2，EB＝6，ED＝3，则⊙O的半径为 。
3、等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝1200，BC＝10 cm，则△ABC的外接圆半径为 。
4、圆内一弦与直径相交成300的角，且分直径为1 cm和5 cm两段，则此弦长为 。
5.（2010年兰州）7. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为
A．15 B．28 C．29 D．34
第5题图
三、计算或证明题：
1、如图，Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。
2、如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。
3、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长。
4.如图，☉C经过原点且与两坐标轴分别交与点A与点B，
点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120 ，求
☉C的半径和圆心C的坐标。
同步训练参考答案
一、选择题：1.B 2.C 3.C 4.D
二、填空题：
1、⊙O的半径为5cm；2、；3、cm；4、cm； 5：B
三、计算或证明题：
1、AB＝5，AD＝；
2、解：连结OC，过点O作OM⊥CD于M，则CM＝MD
∵CD＝16，AB＝8，在Rt△OMC中，因OC＝10
∴OM＝
∵AE⊥CD，BF⊥CD，OM⊥CD，∴AE∥OM∥BF
∴，
∴
∴AE－BF＝2OM＝12
3、提示：连结OE，由得OE垂直平分BC于F，AB为直径，则∠ACB＝900，BC＝。∴CF＝，EC＝
圆周角同步训练
一、填空题
1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为2a，则弦AB所对的
圆心角的度数是
2．如图1，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=__
3.(2010台州市)如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为 ( )
4.（玉溪市2010） 如图6，在半径为10的⊙O 中，OC垂直弦AB于点D，
AB＝16，则CD的长是 ．
解答题 1：如图，弦AB的长等于⊙O的半径，
点C在圆上，求∠C的度数．
．
2：已知：如图P7-5，AD是△ABC的高，AE
是△ABC的外接圆直径．
求证：AB·AC=AE·AD．
3：已知：如图P7-6，OA是⊙O的半径，以OA为直径的
⊙C与⊙O的弦AB相交于点D．
求证：D是AB的中点．
4：已知：如图P7-7，⊙O中，半径OA⊥OB，
C是OB延长线上一点，AC交⊙O于D，∠C=40°．
求AD弧的度数．
同步训练参考答案
一、填空题
1：120o 2：90o 3：25o 4：4
2：解：此题已知AB的长等于⊙O的半径，故连接OA，OB后可得是等边三角形，则∠AOB=60°，利用圆周角定理，可得∠C==30°．
2：证明：连结BE．
∵∠ADC＝∠ABE＝90°，∠C＝∠E，
∴△ADC∽△ABE．
∴AB·AC＝AE·AD。
3：证明：连结OD，
∵AO是⊙C直径，
∴∠ADO＝90°．∴点D是弦AB的中点．
4：解：连结OD，
∵∠AOC＝90°， ∠C＝40°，
∴∠A＝50°．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝50°．
∴∠AOD＝180°-50°×2＝80°．
∴AD弧的度数80°．
圆的认识测试题
一、相信你的选择（每小题3分.本题共18分）
1．有4个命题：
①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；
③圆中最大的弦是过圆心的弦；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．
其中真命题是………………………………………………………………………（ ）
（A）①③ （B）①③④ （C）①④ （D）①
2.，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．如图1，小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1所示，为配到
与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是
（ ）
A．第①块 B．第②块
C．第③块 D．第④块
4．下列说法中正确的有：（ ）个
（1）垂直平分弦的直线经过圆心
（2）平分弦的直径一定垂直与弦
（3）一条直线平分弦，那么这条直线垂直这条弦。
（4）平分弦的直线，必定过圆心。
（5）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 如图2，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，
则E、F两点到直线AB的距离之和为 ( )
A. 3cm B. 4cm C. 8cm D. 6cm
6.（08梅州）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC．则四边形OACB是（ ）
A．正方形 B.长方形
C．菱形 D．以上答案都不对
二、试试你的身手：（每小题3分.本题共42分）
7．圆是轴对称图形，它的对称轴是 .
8．圆是中心对称图形，它的对称中心是 .
9．经过A、B两点作圆，圆心在
10．圆内一点到圆的最远距离为11cm，最近距离为5cm，
则圆的半径为 cm
11．如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在⊙O的区域内，
∠ACB是危险角. ∠ACB满足 时轮船有触礁的危险。
12．如图, 矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E,
GB=8cm, AG=1cm, DE=2cm, 则EF=___cm .
13．半径为R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆周角为
14．已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分，则圆心到弦AB的距离为 cm.
三．挑战自我（本大题共60分）
1.（10分）如图所示，是⊙O的一条弦，，垂足为，交⊙O于点，点在⊙O上．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
2、（10分）如图4，内接于⊙O，，，求⊙O的半径
3. （12分）“圆材埋壁”是我国古代著名
数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小从锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图2，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB＝10寸，求直径CD的长为.
4. （14分）（云南中考题）如图3，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求和的度数.
图3
5. （14分）如图4，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为G，F是CD延长线上的一点，AF交⊙O于点E，连结CE。若CF=10，，求CE的长.
一．相信你的选择
1.A． 2.D 3. B 4. A 5. D 6. C 7. 经过圆心的任意一条直线 8.圆心 9. AB的中垂线上 10. 8 11. 大于∠ACB 12. 6 13. 300 或 1500 14. 2
三．挑战自我
1.解：（1）， AD弧=DB弧
（2），，为直角三角形，
，，
由勾股定理可得
2.圆的半径为2cm。
3. 分析：连接半径OA，CD=26，
4. 的度数为20°.
5.解：连结AD.以CE=8
A
B
P
O
C
（23-1）
P
A
B
C
O
（23-2）
（第3题）
A
B
O
C
D
A
B
C
我先从小丽的袋子中抽出—张卡片，再从小兵的袋子中抽出—张卡片.
O
D
图6
图1
第6题
E
B
D
C
A
O
第1题图
(图4)来稿时间：2010年12月25日 数学学科 九年级 编辑 庞旭久 笔名.叶子 联系方式
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圆的认识
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一：圆的基本元素知识要点
1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一圈，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．要点：(1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；(2)圆是一条封闭曲线.
2.直径与弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 直径是弦；只有经过圆心的弦才是直径，直径是最大的弦。
3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.大于半圆的弧叫做优弧.小于半圆的弧叫做劣弧. 半圆是弧，但在一般情况下弧不是半圆，只有直径的两个端点分成的两条弧才是半圆。4.在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
二。 圆的对称性知识要点
1.圆是轴对称图形。圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴. 2.圆是中心对称图形。无论绕圆心旋转多少度，它都能和自身重合，对称中心就是圆心.
3、垂直于弦的直径
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
三：圆心角，圆周角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
垂径定理及其应用
垂径定理及其推论反映了圆的重要的性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆的计算和作图提供了方法和依据．
三．用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理解决问题
例3 如图，⊙O的弦CD与直径AB成30°角，CD把AB分成1cm和5cm的两部分，求CD弦的弦心距OM和CD的长.
解 ∵ AE＝1cm ， BE＝5cm，
∴ AB＝6cm ， OE＝2cm.
在 Rt△OEM中 ，∠OEM＝30°.
OM＝OE＝1cm .
连结OD.在Rt△OMD中，OD＝OB＝AB＝3cm，OM＝1cm，由勾股定理得，
DM＝＝＝（cm）.
∵ OM⊥CD， ∴ 由垂径定理得，
CD＝2DM＝4(cm).
圆周角定理应用剖析
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。由此可推得，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
例1、如图3，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，求⊙O的直径
解：过点A作圆的直径AE，交圆O于点E，连接BE，
如图4，所示，在Rt直角三角形ADC 中，根据勾股定理，得：，所以，AD=4，
又因为，AE是圆的直径，所以∠ABE=90°，
所以，∠ABE=∠ADC，又因为，∠C=∠E，
所以，△ABE∽△ADC，所以，AB：AD=AE：AC，所以，AE==5，
所以圆O的直径为5。
例2、如图8，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为 ⊙O的直径，AD=6，求BC的长
解析：因为BD为 ⊙O的直径，根据圆周角定理，得：
∠C=∠D，∠DAB=90°。
又因为，∠BAC=120°，AB=AC，
所以，∠C=∠CBA=∠D=30°，∠DBA=60°，所以，∠DBC=30°
在Rt直角三角形ABD 中，得：cos30°=， 又AD=6，
所以，BD=4，
如图8，连接DC，则∠BCD=90°，在Rt直角三角形BCD 中，∠DBC=30°，BD=4，
得：cos30°=，BC=4×=6。
例3 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)．此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？
分析 如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？
解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨作出⊙BMN，显然，A点在⊙BMN外，设MA交圆于C，则
∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，
因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.
得：cos30°=，BC=4×=6。
圆中易错题辩析
1．下列语句正确的是（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；④长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
错解：选D．
诊断：没有正确掌握圆的有关性质，①、④应强调在同圆或等圆中，
②应注意弦不是直径。
正解：选A．
2．如图1，⊙O的直径为4，弦，P是弦AB上
的一个动点，则OP长的取值范围是___________．
错解：0诊断：此题构思巧妙，通过创设新情境考查了垂径定理及勾股定
理的运用，得出上述错误答案的原因是忽视了点到直线间的距离垂线段最短．
正解：1≤OP≤2．
3. 已知⊙O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数．
错解：如图3-3-4，圆周角为30°．
正确解法：如图3-3-5，∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形．∴∠AOB=60°．
∴∠C=30°．∴∠D=150°．∴弦AB所对的圆心角为60°，所对的圆周角为30°或150°．
错解分析：错解中忽略了弦与弧的差别，同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等或互补，本题漏掉一个．
4 已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=，AD=1，求∠CAD的度数．
错解：如图3-3-6，连接BC、BD．∠CAD=∠DAB＋∠CAB=105°．
正确解法：如图3-3-6和3-3-7，
由题解中得∠DAB=60°，∠CAB=45°，
∴图3-3-7中有∠DAC=∠DAB－∠CAB=15°．
∴∠DAC的度数为15°或105°．
解错分析：错解中只考虑到弦AC和AD在直径AB同侧的情况，而忽略了AD和AC在AB两侧的情况.
要点精析
圆的认识主要考查圆的重要性质以及和圆有关的角、线段的计算，另外也会考查圆与勾股定理、相似三角形知识的综合应用．
例1如图，在⊙O中，弦平行于弦 HYPERLINK "http://www./" ，若，则 HYPERLINK "http://www./" ____度．
【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系．
【思路点拔】∵∠B= HYPERLINK "http://www./" ∠AOC，
∴∠B=40°
∵AD∥BC
∴ HYPERLINK "http://www./" ∠B =40°
【答案】填：40
解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同时还要根据平行线的性质进行解题．
例2.⊙O半径为5，两条平行弦长分别为8和6，求两条平行弦之间的距离。
解：（1）当两弦在圆心异侧时，如图，设AB∥CD，
AB=6，CD=8，过O作直径EF⊥AB于M，则EF⊥CD
于N，由垂径定理，
∴
（2）当两弦在圆心O同侧时，同理可知
【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧．
【答案】填：7㎝或1㎝
例3如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．
（1）求证：AH ·AB=AC2；
（2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE·AF=AC2；
（3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP·AQ=AC2是否成立(不必证明)．
【思路点拔】（1）连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC ．
∴ HYPERLINK "http://www./" ， 即AH·AB=AC2 ．
（2）连结FB，易证△AHE∽△AFB，
∴ AE·AF=AH·AB，
∴ AE·AF=AC2 ．
(也可连结CF，证△AEC∽△ACF)
（3）结论AP·AQ=AC2成立．
【答案】 （3）结论AP·AQ=AC2成立．
数学广角
如图5，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．
分析：本题是一道设计新颖独特的开放性作图题，
用“无刻度单位的直角三角板”作弦的中点，又把
问题放到一个有趣的脸谱中，去找两耳连线的中点
D，增强了题目的趣味性．
解：如图6，用直角三角板作圆的一条直径，用
同样方法再作圆的另一条直径如图7，得圆心O,在
图8中作TH的垂线l交TH于D，则点D
就是TH的中点．
·
O
P
B
A
图1
A
D
C
B
O
