课题 17.2勾股定理的逆定理. 课型 新授 时间
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教学目标 1、通过具体情景（古埃及人的绳子上所打的结）向学生介绍了一些特殊的三角形，这类三角形的各边长都满足a2+b2=c2。通过对这类三角形的观察让学生猜想勾股定理的成立。2、给出勾股定理的逆定理后，让学生掌握证明过程。
重 难 点 重点：用构造性方法证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题。难点：勾股定理的逆定理的证明方法。
学习过程 备注
一、课前预习与导学 1．（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_______；若AB=4，BC=2，则AC=_________． （2）一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm、3cm，则第三边的长是_________．3．要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m．问至少需要多长的梯子？二、新课思考:（一）、1 据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图。这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角。知道为什么吗？ 这节课我们一起来探讨这个问题，相信同学们会感兴趣的.2. 用圆规、直尺作△ABC，使AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，如图，量一量∠C，它是90°吗？再画一个△ABC，使它的三边长分别是5cm、12cm、13cm，这个三角形有什么特征？为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？（二）.猜想 : 如果一个三角形的三边长a、b、c满足下面的关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形吗？ 已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，并且a2+b2=c2，如图（1）.求证：∠C=90°.证明 作△A’B’C’，使∠C’=90°， A’C’=b，B’C’=a，如图（2）， 那么A’B’2=a2+b2.（勾股定理）又∵a2+b2=c2，（已知）∴A’B’2=c2，A’B’=c (A’B’＞0) 在ABC和A’B’C’中， ∵BC=a=B’C’， CA=b=C’A’， AB=c=A’B’， ∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴∠C=∠C’=90°， ∴△ABC是直角三角形 归纳总结 通过上面的证明可以得到如下定理.勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.（三）.下面来看定理的应用.例1 根据下列三角形的三边a、b、c的值，判断三角形是不是直角三角形。如果是，指出哪条边所对的角是直角？（1）a=7，b=24，c=25；（2）a=7，b=8，c=11.解（1）∵最大边是c=25，c2=625，a2+b2=72+242=625，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角. 第（2）题由同学们仿照上面自己解答例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n＞1）.求证：△ABC为直角三角形.分析：在a、b、c三边中，哪一条边是最大的边？需要得出什么，才能证明△ABC为直角三角形？请同学们自己完成证明过程.能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.思考：除3、4、5外，再写出3组勾股数.想想看，可以怎样找？（四）.巩固训练1.判断下列三个边长组成的三角形是不是直角三角形？（1）a=2，b=3，c=4.（2）a=9，b=7，c=12.（3）a=25，b=20，c=15.2.在△ABC中，三边长a、b、c满足(a+c)(a-c)=b2，则△ABC是什么三角形？3.给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来判断课桌面的角是直角？用这种办法能判断柱子是否与地面垂直吗？（五）小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？1.勾股定理的逆定理.2.勾股定理与它的逆定理之间有何关系？3.勾股定理的逆定理是如何证明的？4.应用该定理的基本步骤有哪些？ （六）作业 课本第12页习题17.2中1、2、3、4.
教学反思:
5
A
4
3
C
B17.2勾股定理的逆定理
一、选择题（本大题共8小题；每小题3分，共24分）
（下列各题都有代号为A、B、C、D的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的，请把正确结论的代号填入题号后的括号内）
1．下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，3 B. 7，24，25
C．6，8，10 D. 3，4，5
2．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）
A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25
C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10
3．直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ）
A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm
4．下列命题中是假命题的是( )
A. △ABC中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC是直角三角形.
B. △ABC中,若a2=(b+c)(b－c),则△ABC是直角三角形.
C. △ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC是直角三角形.
D. △ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC是直角三角形.
5．若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是 ( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
6．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能
7．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）cm2
A 6 B 8 C 10 D 12
8．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A．25海里 B. 30海里 C. 35海里 D. 40海里
二、填空题（本大题共6小题；每小题3分，共18分）
把答案填在题中横线上．
9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；
（2）b=8，c=17 ，则=
10．已知甲、乙两人从同一处出发，甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距 千米．
11. △ABC中，若，AC=，则∠A= °，AB= ，S△ABC =
12. 等边三角形的边长为6，则它的高是________
13．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
14. 在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________
三、解答题（本大题共6小题；共58分）
15. 在△ABC中，BC=m2-n2，AC=2mn，AB=m2+n2(m＞n)。
求证：△ABC是直角三角形。
16. 如图，一根旗杆在离地面处决裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高？
17．作图题： 在数轴上作出对应的点. （保留作图痕迹，不写作法）
18．已知：如图，在△ABC中，AB ＝15，BC ＝14，AC＝13．求△ABC的面积．
19. 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点。
求证：AB2+3BC2=4BD2。
20. 已知：如图，四边形ABCD中，∠B，∠D是Rt∠,∠A=45°若DC=2cm, AB=5cm,
求AD和BC的长
21．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D C D A A D
一、选择题
二、填充题
9．13,60 10．5 11．5 12．30,6, 13． 14．或13
三、解答题
15．28m 16．18+6 17．不能 18. 18 19. 因为AC=5，CB=4，AB=3，所以△ABC是直角三角形 20.
北
南
A
东
第8题
A
B
E
F
D
C
第7题
D
A
B
C
A
B
C
D
L(共8张PPT)
17.2 勾股定理的逆定理
据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图。这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角。知道为什么吗？
这节课我们一起来探讨这个问题，相信同学们会感兴趣的.
做一做
用圆规、直尺作△ABC，使AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，如图，量一量∠C，它是90°吗？
A
B
C
5
4
3
∠C是直角吗？
再画一个△ABC，使它的三边长分别是5cm、12cm、13cm，这个三角形有什么特征？
为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？
猜想 如果一个三角形的三边长a、b、c满足下面的关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形吗？
证明 作△A’B’C’，使∠C’=90°，
A’C’=b，B’C’=a，如图（2），
那么A’B’2=a2+b2.（勾股定理）
又∵a2+b2=c2，（已知）
∴A’B’2=c2，A’B’=c (A’B’＞0)
在ABC和A’B’C’中，
∵BC=a=B’C’，
CA=b=C’A’，
AB=c=A’B’，
∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)
A
B
C
b
c
a
（1）
A′
B′
C′
b
a
（2）
∴∠C=∠C’=90°，
∴△ABC是直角三角形.
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，并且a2+b2=c2，如图（1）.
求证：∠C=90°.
归纳总结 通过上面的证明可以得到如下定理.
勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
下面来看定理的应用.
例1 根据下列三角形的三边a、b、c的值，判断三角形是不是直角三角形。如果是，指出哪条边所对的角是直角？
（1）a=7，b=24，c=25；
（2）a=7，b=8，c=11.
解（1）∵最大边是c=25，c2=625，
a2+b2=72+242=625，∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.
第（2）题由同学们仿照上面自己解答.
例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n＞1）.求证：△ABC为直角三角形.
分析：在a、b、c三边中，哪一条边是最大的边？需要得出什么，才能证明△ABC为直角三角形？
请同学们自己完成证明过程.
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.
思考：除3、4、5外，再写出3组勾股数.想想看，可以怎样找？
练习
1.判断下列三个边长组成的三角形是不是直角三角形？
（1）a=2，b=3，c=4.
（2）a=9，b=7，c=12.
（3）a=25，b=20，c=15.
2.在△ABC中，三边长a、b、c满足(a+c)(a-c)=b2，则△ABC是什么三角形？
3.给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来判断课桌面的角是直角？用这种办法能判断柱子是否与地面垂直吗？
小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？
1.勾股定理的逆定理.
2.勾股定理与它的逆定理之间有何关系？
3.勾股定理的逆定理是如何证明的？
4.应用该定理的基本步骤有哪些？
作业 课本第13页习题18.2中1、2、3、4.
