复数的三角表示式
【学习目标】
了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.
【学习重难点】
复数的三角形式.
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？
2．复数的辐角、辐角的主值是什么？
二、合作探究
1．复数的代数形式与三角形式的互化
角度一
代数形式化为三角形式
【例1】把下列复数的代数形式化成三角形式：
（1）＋i；
（2）－i.
角度二
三角形式化为代数形式
【例2】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
（1）4；
（2）(cos
60°＋isin
60°)；
（3）2.
【学习小结】
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
【精炼反馈】
1．复数1－i的辐角的主值是(
)
A．π
B．π
C．π
D．
2．复数9(cos
π＋isin
π)的模是________．
3．arg(－2i)＝________．(共22张PPT)
复数的三角表示式
模
×
×
×
√
谢
谢
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验证·反馈·达标复数的三角表示式
【教学目标】
了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.
【教学重难点】
复数的三角形式.
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？
2．复数的辐角、辐角的主值是什么？
二、基础知识
复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值：
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
■名师点拨
（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
（2）复数0的辐角是任意的．
（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.
（4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
三、合作探究
1．复数的代数形式与三角形式的互化
角度一
代数形式化为三角形式
【例1】把下列复数的代数形式化成三角形式：
（1）＋i；
（2）－i.
【解】（1）r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，
所以cos
θ＝，即θ＝，
所以＋i＝2.
（2）r＝＝2，cos
θ＝，
又因为－i对应的点位于第四象限，
所以θ＝.
所以－i＝2.
【规律方法】
复数的代数形式化三角形式的步骤
（1）先求复数的模．
（2）决定辐角所在的象限．
（3）根据象限求出辐角．
（4）求出复数的三角形式．
[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．
角度二
三角形式化为代数形式
【例2】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
（1）4；
（2）(cos
60°＋isin
60°)；
（3）2.
【解】（1）复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.
4＝4cos
＋4isin
＝4×＋4×i
＝2＋2i.
（2）(cos
60°＋isin
60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°.
(cos
60°＋isin
60°)＝×＋×i
＝＋i.
（3）2
＝2
＝2.
所以复数的模r＝2，辐角的主值为π.
2＝2cos
π＋2isin
π
＝2×＋2×i
＝1－i.
【规律方法】
复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）.
四、课堂检测
1．复数1－i的辐角的主值是(
)
A．π
B．π
C．π
D．
解析：选A．因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角的主值为π.
2．复数9(cos
π＋isin
π)的模是________．
答案：9
3．arg(－2i)＝________．
答案：π
