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周期变化
自
主
预
习
探
新
知
重复出现
重复
非零实数T
f(x＋T)＝f(x)
最小正周期
合
作
探
究
提
素
养
类型一：周期现象的判断
类型二：周期函数的定义及其应用
当
堂
达
标
固
双
基
谢
谢
答案
解析答案周期变化
【教学目标】
1．了解现实生活中的周期现象．
2．了解周期函数的概念．
【教学重难点】
了解周期函数的概念．
【教学过程】
一、基础铺垫
1．周期现象
（1）以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．
（2）要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．
思考1：“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的特征？
[提示]
周而复始，重复出现．
2.周期函数
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．
(2)如果所有周期中存在一个最小的正数，称为最小正周期.
二、合作探究
【例1】
（1）下列变化中不是周期现象的是(
)
A．“春去春又回”
B．钟表的分针每小时转一圈
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某交通路口每次绿灯通过的车辆数
（2）水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升．
（1）D
[由周期现象的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象．故选D．]
（2）解：因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1
920(升)．
【规律方法】
（1）应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的．
（2）只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．
【例2】 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋π)＝f(x)，当x∈时，f(x)已知，求f＋f的值．
[思路探究] 利用周期函数及奇函数的定义将角转化到，再利用特殊角的三角函数求值．
[解] ∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
又∵f(x＋π)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为π，
∴f＋f
＝f＋f
＝f＋f
＝－f＋f
1．(变条件)在例2中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝－f(x)”，求f＋f的值．
[解] 由f(x＋π)＝－f(x)知
f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)，
∴f(x＋2π)＝f(x)．知f(x)的周期为2π.
∴f＋f＝f＋f
＝f＋f，
又∵f(x)是奇函数，
∴原式＝＝－f＋f
2．(变条件、变结论)在例2中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝”，则函数f(x)的周期为________．
2π [由f(x＋π)＝得f[(x＋π)＋π]＝＝f(x)，∴f(x＋2π)
＝f(x)．∴函数f(x)的周期为2π.]
3．(变条件)把例2中的条件“函数f(x)是定义在R上的奇函数．且满足f(x＋π)＝f(x)”改为“函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x－π)＝f(x＋π)”，求f＋f的值．
[解] ∵f(x)是偶函数．∴f(－x)＝f(x)，
又∵f(x－π)＝f(x＋π)．
令x＝x＋π得f(x)＝f(x＋2π)，
∴函数f(x)的周期为2π.
∴f＋f＝f＋f
＝f＋f
【规律方法】
常见周期函数的形式?
周期函数除常见的定义式f?x＋T?＝f?x?外，还有如下四种形式：
?1?f?x＋a?＝－f?x?.?2?f?x＋a?＝.?
?3?f?x－a?＝－.?4?f?x－a?＝f?x＋a?.?
以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数.
三、课堂总结
1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．
2．周期函数可以用来描述周期变化的规律.
四、课堂练习
1．下列现象不是周期现象的是(
)
A．钟摆摆心偏离铅垂线角度的变化
B．游乐场中摩天轮的运行
C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数
D．太阳的东升西落
C
[A，B，D所述都是周期现象，而C中“向上的数字是奇数”不是周期现象．]
2．已知函数y＝f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝________.
1 [f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.]
4周期变化
【学习目标】
1．了解现实生活中的周期现象．
2．了解周期函数的概念．
【学习重难点】
了解周期函数的概念．
【学习过程】
一、初试身手
1．下列变化是周期现象的是(
)
A．地球自转引起的昼夜交替变化
B．随机数表中数的排列
C．某交通路口每小时通过的车辆数
D．某同学每天打电话的时间
2．如图所示是某人的心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常．
二、合作探究
【例1】
（1）下列变化中不是周期现象的是(
)
A．“春去春又回”
B．钟表的分针每小时转一圈
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某交通路口每次绿灯通过的车辆数
（2）水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升．
【例2】
若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋π)＝f(x)，当x∈时，f(x)已知，求f＋f的值．
[思路探究]
利用周期函数及奇函数的定义将角转化到，再利用特殊角的三角函数求值．
1．(变条件)在例2中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝－f(x)”，求f＋f的值．
2．(变条件、变结论)在例2中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝”，则函数f(x)的周期为________．
3．(变条件)把例2中的条件“函数f(x)是定义在R上的奇函数．且满足f(x＋π)＝f(x)”改为“函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x－π)＝f(x＋π)”，求f＋f的值．
【规律方法】
常见周期函数的形式?
周期函数除常见的定义式f?x＋T?＝f?x?外，还有如下四种形式：
?1?f?x＋a?＝－f?x?.?2?f?x＋a?＝.?
?3?f?x－a?＝－.?4?f?x－a?＝f?x＋a?.?
以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数.
【学习小结】
1．周期现象
（1）以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．
（2）要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．
思考1：“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的特征？
[提示]
周而复始，重复出现．
2.周期函数
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．
(2)如果所有周期中存在一个最小的正数，称为最小正周期.
【精炼反馈】
1．下列现象不是周期现象的是(
)
A．钟摆摆心偏离铅垂线角度的变化
B．游乐场中摩天轮的运行
C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数
D．太阳的东升西落
C
[A，B，D所述都是周期现象，而C中“向上的数字是奇数”不是周期现象．]
2．已知函数y＝f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝________.
1
[f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.]
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