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单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
自
主
预
习
探
新
知
坐标原点
单位长度
非负半轴
纵坐标v
sin
α
横坐标u
u＝cosα
合
作
探
究
提
素
养
正弦、余弦函数的定义
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当
堂
达
标
固
双
基
谢
谢
答案
P(u,
v)
M
O
解析答案单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
【教学目标】
【核心素养】
理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．(重难点)
通过学习任意角的正弦、余弦的定义，培养数学抽象素养．
【教学过程】
一、基础铺垫
1．任意角的正弦、余弦函数的定义
（1）单位圆的定义
在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．
（2）如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：
正弦函数
余弦函数
定义
点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin_α
点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos_α
思考1：对于任意角α，sin
α，cos
α都有意义吗？
[提示]
由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin
α，cos
α都有意义．
二、合作探究
1.正弦、余弦函数的定义
【例1】
已知角α的终边在射线y＝2x(x>0)上，求角α的正弦值和余弦值．
[解]
法一：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，
则y＝2x(x>0)．又因为x2＋y2＝1，
所以于是sin
α＝y＝，
cos
α＝x＝.
法二：在角α的终边上任取一点P(x，y)(x>0)，则OP＝＝＝|x|，
又因为x>0，所以OP＝x.
所以sin
α＝＝，cos
α＝＝.
【规律方法】
求任意角的正弦函数、余弦函数值有两种方法：
?1?利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角α的终边与单位圆交于点P?u，v?，则v＝sin
α，u＝cos
α.
?2?利用正弦、余弦函数定义的推广.根据初中锐角三角函数的定义，设P?x，y?是角α的终边上任意一点，P到原点的距离r＝|OP|＝，则sin
α＝，cos
α＝.
2.课堂小结
利用定义求α的正弦函数值与余弦函数值时，注意结合图形求出α的终边与单位圆的交点坐标，即得值．
三、课堂练习
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）正弦函数、余弦函数的自变量都是角．(
)
（2）正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，这样有利于对三角函数的研究．(
)
（3）对正弦函数f(x)＝sin
x有f＝f，所以是函数f(x)的周期．(
)
（4）若f(x)是定义域为R且周期为2的函数，则f(－1)＝f（1）．(
)
[答案]
（1）√
（2）√
（3）×
（4）√
2．已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的三角函数值．
[解]
因为x＝2，y＝－3，
所以r＝＝.
于是sin
α＝＝＝－，
cos
α＝＝＝，
tan
α＝＝－.
3单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
【学习目标】
理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．
【学习重难点】
正弦、余弦的定义.
【学习过程】
一、初试身手
1．已知P(3,4)是终边α上一点，则sin
α等于(
)
A.
B.
C.
D.
2．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(
)
A.
B.
C.
D.
3．已知sin
θ·cos
θ<0，那么角θ是(
)
A．第一或第二象限角
B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第二或第四象限角
4．若函数f(x)是以为周期的周期函数，且f＝1，则f的值是(
)
A．1
B．－1
C．±1
D．无法确定
二、合作探究
【例1】
已知角α的终边在射线y＝2x(x>0)上，求角α的正弦值和余弦值．
【例2】若点P(2m，－3m)(m<0)在角α的终边上，则sin
α＝________.
【学习小结】
1．任意角的正弦、余弦函数的定义
（1）单位圆的定义
在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．
（2）如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：
正弦函数
余弦函数
定义
点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin_α
点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos_α
【精炼反馈】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）正弦函数、余弦函数的自变量都是角．(
)
（2）正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，这样有利于对三角函数的研究．(
)
（3）对正弦函数f(x)＝sin
x有f＝f，所以是函数f(x)的周期．(
)
（4）若f(x)是定义域为R且周期为2的函数，则f(－1)＝f（1）．(
)
2．已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的三角函数值．
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